Теорема умножения вероятностей

Событие А называется независимым по отношению к событию В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. В противном случае событие А называется зависимым от события В.

События, ни коем образом не влияющее друг на друга, называется независимыми событиями. А события не являющиеся взаимоисключающими влияют друг на друга.

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Вероятность появления хотя бы одного из 2 совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Доказательство:

Для наступления события А, достаточно, чтобы произошло хотя бы одно из следующих несовместных событий: A*B или неА*B. Аналогично для наступления события B.

Лекция №2 19.02.13

Математически условие независимости события А от события В записывают в виде :

Теорема:

Вероятность произведения для совместного наступления нескольких событий равна произведению вероятностей одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленные в предположении, что все предшествующие события имели место.

Доказательство:

Для доказательства теоремы применим метод полной метаматической индукции. Пусть теорема имеет место для n-1 события:

Введем событие С как произведение n-1 событий:

тогда в силу аксиомы умножения веротностей запишем, что

ч.т.д.

Следствие 1:

Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство:

Т.к. событие А не зависит от В, то

На основании аксиомы умножения вероятностей:

Из следствия 1 вытекает, что понятие завсимости и независимости событий взаимно. В связи с этим можно дать новое определение, независимых событий.

Два события называются незавсимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий, содержащая либо все остальные события, либо часть из них есть события независимые.

Если независимы в совокупности, то

будут независимыми.

Следствие 2:

Вероятность произведения независимых совокупностей событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

Формула сложения n событий

Формула полной вероятности

Пусть некоторое событие А может наступить или не наступить с одним из ряда несовместных событий , составляющих полную группу. События такого рода обычно называют гипотезами. Известно также условные вероятности наступления события А при составлении каждой из указанных гипотез.

Вероятность события А определяется по следующей теореме:

Вероятность события А, которое может произойти вместе с одной и гипотез равна сумме парных произведений вероятностей каждой из этих гипотез на отвечающее им условие вероятности наступления события А.

Эта формула носит название функции полной вероятности&

Доказательство:

Т.к. гипотезы образуют полную группу, то событие А можно представить в виде следующей суммы событий:

Т.к. события не совместны, то и событие также несовместно. Это позволяет применить для определения вероятности события А теорему сложения вероятностей несовместных событий.

Вероятность произведения находится по аксиоме умножения вероятностей :

ч.т.д.