4.4 Интерполяционная формула

ЛАГРАНЖА.

В случае непостоянного шага интерполирования

x_i – x_i-1 = h_i ≠ const при i=1,2,…,n

используется так называемая интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] даны n+1 значений аргумента x0, x1, x2, …, xn и для функции y=f(x) известны соответствующие значения f(x0)=y0, f(x1)=y1, … , f(xn)=yn Строится поленом Ln(x), имеющий в заданных узлах x0, x1, ..., xn те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что Ln(xi) = yi (i=0, 1, …, n) Такой поленом имеет вид:

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.

4.5 Линейная и квадратичная

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Рассмотрим два частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.

При n=1 мы имеем две точки – (x₀,x₁), и получим из формулы (4.6) уравнение прямой y=L₁(x), проходящей через эти точки

y=L₁(x)= y₀ + y₁

При x₀=a, x₁=b получим y = y₀ + y₁

При n=2 получим уравнение параболы, проходящей через 3 точки x₀=a, x₁=b, x₂=c

L₂(x) = y₀ + y₁ + y₂ = y₀ + y₁ y₂

Пример 1 Для функции y=sinπx построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы x₀=0, x₁=, x₂=.

Решение Вычислим соответствующие значения функции y₀=0, y₁= sin = , y₂= sin =1

Применяя формулу (4.6), получим:

L₂(x) = y₀ + y₁ + y₂ = ∙ 0 + ∙ + ∙ 1 = x – 3x²

Пример 2 С помощью интерполяционной формулы Лагранжа вычислить значение функции при значении аргумента x^*=323.5, приняв n=3. В соответствии с вариантом выбрать исходные данные из таблицы 4 индивидуального задания.

i	x	y
0	321,0	2,50651
1	322,8	2,50893
2	324,2	2,51081
3	325,0	2,51188

Решение Подставим значения x^*, x_i и y_i в интерполяционную формулу Лагранжа (4.6)

L(x^*) = y₀ + y₁ + y₂ +

Получим:

L(323,5) = 2,50651 ∙ + 2,50893 ∙ + 2,51081 ∙ +2,51188∙ = –0,07996 + 1,18794 + 1,83897 – 0,43708 =2,50987

Таким образом, в точке x^*=323,5 функция f(x^*)=2,50987.

5. Определение параметров эмпирических

ФОРМУЛ.

5.1 Подбор эмпирических формул.

Пусть при обработке экспериментальных данных получена таблица данных

x0	x1	x2	…	xn
y0	y1	y2	…	yn

Необходимо построить зависимость y=f(x), приближенно отображающую эти данные.

Вид эмпирической формулы может быть произвольным. В этом случае предпочтение отдается наиболее простым формулам.

Более строгий выбор эмпирической формулы производится на основе анализа i-ых конечных разностей по данным таблицы. Если расстояние между узлами ∆x_i = x_i – x_i-1 = const, то:

1) при условии ∆y_i≈const следует в качестве эмпирической формулы использовать линейную зависимость

y = ax + b;

2) при ∆²y_i≈const – квадратичную

y = ax² + bx + c;

3) при ∆³y_i≈const – кубическую

y = ax³ + bx² + cx + d;

и т.д.

рассмотрим несколько методов определения параметров эмпирических формул.

5.2 Метод выбранных точек.

Пусть получена некоторая таблица данных y=f(x). На плоскости XOY нанесем эти точки

(*), а затем проведем кривую φ(x), примыкающую к этим точкам, и выберем на этой линии точки (◦). Число выбранных точек должно быть равным количеству исходных параметров. Координаты этих точек измеряются и используются для вычисления коэффициентов эмпирической зависимости.

Если используется эмпирическая зависимость

φ(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ

то для вычисления n+1 коэффициентов a_i нужно задать n+1 точку. В результате получим систему n+1 линейных уравнений

a₀+a₁x₀+a₂+…+a_n =y0

a₀+a₁x₁+a₂+…+a_n=y₁

… … … …

a₀+a₁x_n+a₂ +…+a_n =y_n

т.к. значения x_i и y_i (i=0,1,2,…,n) известны.