4.3 Интерполяционная формула ньютона.

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

N(x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)(x – x₁)+ … + a_n(x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n-1) (4.2)

График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е. N(x_i) = y_i (i=0,1,2,…n). Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена; учитывая, что x_i – x_i-1=h:

N(x₀) = a₀ = y₀

N(x₁) = a₀ + a₁(x₁ – x₀) = a₀ + a₁h = y₁

N(x₂) = a₀ + a₁(x₂ – x₀) + a₂(x₂ – x₀)(x₂ – x₁) = a₀ + a₁h + 2a₂h² = y₂

.... … … … … … …

Отсюда найдем коэффициенты:

a₀ = y₀; a₁ = = ;

a₂ = = =

Аналогично можно найти и другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

a_k = k = 0, 1, …, n.

Подставляя эти выражегия в формулу (4.2), получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

N(x) = y₀ + (x – x₀) + (x – x₀) (x – x₁) + …

+ (x – x₀) (x – x₁)…(x – x_n-1) (4.3)

Конечные разности ∆^ky₀ вычисляются по формуле (4.1).

Формулу (4.3) часто записывают в другом виде. Для этого введем переменную

q = , тогда

x = x₀ + qh, = = q – 1,

= q – 2, … , = q – n + 1

Тогда формула (4.3) примет вид:

N(x) = N(x₀ + qh) = y₀ + q∆y₀ + ∆²y₀ + …+ ∆ⁿy₀ (4.4)

Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Оно может интерполировать данную функцию y=f(x) на всем отрезке изменения аргумента [x₀, x_n] слева направо. С точки зрения повышения точности расчетов целесообразно произвести интерполяцию этой функции в интервале аргумента [x₀, x_n] справа налево. В этом случае

q = , т.е. q<0

тогда интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

N(x) = N(x_n + qh) = y_n + q∆y_n-1 + ∆²y_n-2 + … + ∆ⁿy₀ (4.5)

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.

Из первого полинома Ньютона (4.4) при n=1 имеем линейную интерполяцию

N(x) = y₀ + q∆y₀

При n=2 – квадратичную N(x) = y₀ + q∆y₀ + ∆²y₀.

На практике используются полиномы 1, 2 и 3 степени.

ПРИМЕР 4.2

Применяя I и II формулы интерполяционного многочлена Ньютона, вычислить в точке x = 0,1 значение функции y = f(x), заданной таблицей:

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y	∆5y
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	1,272 4,465 5,644 5,809 3,961 2,101	3,193 1,179 0,165 –1,848 –1,860	–2,014 –1,014 –2,013 –0,012	1,000 –0,999 2,001	–1,999 3,000	4,999

Процесс вычислений удобно свести в ту же таблицу. Каждая последующая конечная разность получается путем вычитания в предыдущей колонке верхней строки из нижней.

При x=0,1 имеем q = = = 0,5

Проводим вычисления по формуле (4.4)

f(0,1) ≈ N(0,1) = 1,272 + 0,5 ∙ 3,193 + (–2,014) + ∙ 1,000 + + ∙ (–1,999) + ∙ 4,999 = 1,272 + 1,597 + +0,2518 + +0,06249 + 0,07809 + 0,1367 = 3,398.

Для сравнения проведем аналогичные вычисления по формуле (4.5). В этом случае:

q = = = –4,5.

Тогда

f(0,1) ≈ N(0,1) = 2,101 – 4,5 ∙ (–1,860) + ∙ (–0,012) + ∙2,001 + ∙ 3,000 + ∙ 4,999 = =2,101 + 8,370 – 0,09450 + 13,13 + 7,383 – 1,231 = 3,402

Видно, что здесь происходит незначительная потеря точности.

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 4

1. Вычислить значение функции с помощью первой интерполяционной формулы Ньютона при значении аргумента x^*.

2. Вычислить значение функции с помощью интерполяционной формулы Лагранжа при значении аргумента x^*, приняв n=3. Исходные числовые данные приведены в таблице 4.

ТАБЛИЦА 4

	0,1,2			3,4,5,6			7,8,9
	x	y	x*	x	y	x*	x	y	x*
0, 1	5 10 15 20 25	0,0872 0,1736 0,2588 0,3420 0,4226	7	7 10 13 16 19	0,1219 0,1736 0,2250 0,2756 0,3256	8	9 13 17 21 25	0,1564 0,2250 0,2924 0,3584 0,4226	11
2, 3	6 12 18 24 30	0,1045 0,2079 0,3090 0,4067 0,4226	9	11 15 19 23 27	0,1908 0,2588 0,3256 0,3907 0,4540	12	8 13 18 23 28	0,1392 0,2250 0,3090 0,3907 0,4695	10
4, 5	10 14 18 22 26	0,1736 0,2419 0,2424 0,3584 0,4226	12	1 5 9 13 17	0,0175 0,0872 0,1564 0,2250 0,2924	3	2 7 12 17 22	0,0349 0,1219 0,2079 0,2924 0,3746	4
6, 7	3 8 13 18 23	0,0523 0,1392 0,2250 0,3090 0,3907	5	4 8 12 16 20	0,0698 0,1392 0,2079 0,2756 0,3420	6	12 17 22 27 32	0,2079 0,2924 0,3746 0,4540 0,5299	14
8, 9	14 18 22 26 30	0,2419 0,3090 0,3746 0,4384 0,5000	16	15 19 23 27 31	0,2588 0,3256 0,3907 0,4540 0,5150	17	16 20 24 28 32	0,2756 0,3420 0,4067 0,4695 0,5299	18

ПРИМЕР 1.

С помощью интерполяционной формулы Ньютона вычислить в точке x^*=19 значение функции, заданной в таблице 4.

РЕШЕНИЕ. Составим таблицу конечных разностей.

i	x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y
0 1 2 3 4	17 23 29 35 41	0,2924 0,3907 0,4848 0,5736 0,6541	0,0983 0,0941 0,0888 0,0805	–0,0042 –0,0095 –0,0083	–0,0053 0,0012	0,0065

∆y0 = y1 – y0 = 0,3907 – 0,2924 = 0,0983

∆y1 = y2 – y1 = 0,4848 – 0,3907 = 0,0941

∆2y2 = ∆y1 - ∆y0 = 0,0941 – 0,0983 = –0,0042

и так далее.

По первой интерполяционной формуле Ньютона (4.4), ограничиваясь конечными разностями четвертого порядка, имеем:

N(x) = y₀ + q∆y₀ + ∆²y₀ + ∆²y₀ + ∆³y₀ + + ∆³y₀

Т.к. x^*=19, h=6 и x₀=0,2924, то q= = = 0,17

Получим:

N(0,1) = 0,2924 + 0,17 ∙ 0,0983 + ∙ (–0,0042) + ∙(–0,0053) + ∙ 0,005 = 0,309164.

Таким образом, при x_*=19 значение функции N(x^*) = 0,309164.