3.4 Решение систем линейных уравнений

МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается х₁ из всех последующих уравнений. Затем с помощью второго уравнения исключается х₂ из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-ого) уравнения не останется лишь один член с неизвестным x_n, т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное в этом уравнении неизвестное x_n. Далее, используя это значение из предыдущего уравнения, вычисляем x_n-1 и т.д. Последним найдем x₁ из первого уравнения.

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 3

РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Система задана в таблице 3.

ТАБЛИЦА 3

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
0, 1	x1+x2+2x3+3x4=1 3x1–x2–x3–2x4=–4 2x1+3x2–x3–x4=–6 x1+2x2+3x3–x4=–4	x1+2x2+3x3+4x4=5 2x1+x2+2x3+3x4=1 3x1+2x2+x3+2x4=1 4x1+3x2+2x3+x4=–5	2x1–x2+3x3–2x4=4 3x1+3x2+3x3+2x4=6 3x1–x2–x3+2x4=6 3x1–x2+3x3–x4=6
2, 3	x1+2x2+3x3–2x4=6 x1–x2–x3–3x4=8 3x1+2x2–x3+2x4=4 2x1–3x2+3x3+x4=–8	x1+3x2+5x3+7x4=12 3x1+5x2+7x3+x4=0 5x1+7x2+x3+3x4=4 7x1+x2+3x3+5x4=16	2x1–6x2+2x3+2x4=12 x1+3x2+5x3+7x4=12 3x1+5x2+7x3+x4=0 5x1+7x2+x3+3x4=4
4, 5	5x1–x2+x3+3x4=–4 x1+2x2+3x3–2x4=6 2x1–x2–2x3–3x4=8 3x1+2x2–x3+2x4=4	4x1–2x2+x3+4x4=3 2x1–x2+x3+3x4=1 3x1–x3+2x4=–3 2x1+2x2+2x3+3x4=–6	–x1+x2+x3+x4=4 2x1+x2+2x3+3x4=1 3x1+2x2+x3+2x4=1 4x1+3x2+2x3+x4=–5
6, 7	2x1–x2+2x3+2x4=–3 3x1+2x2+x3–x4=3 x1–3x2–x3–3x4=0 4x1+2x2+2x3+54=–15	x1–2x2+3x3–4x4=–2 2x1+3x2+4x3–5x4=8 3x1–x2–x3+7x4=–2 2x1–x2+6x3–3x4=7	3x1+2x2+5x3–x4=3 2x1–3x2–3x3+4x4=1 4x1+x2+3x3+2x4=3 5x1–2x2+x3+3x4=5
8, 9	2x1–x2+5x3–x4=1 3x1–3x2–2x3–5x4=2 x1–x2+2x3+3x4=10 3x1+2x2+7x3–2x4=1	3x1+x2+2x3–x4=8 2x1–3x2–3x3+x4=–3 4x1+2x2+5x3+3x4=6 x1+2x2–4x3–3x4=–3	2x1+3x2+5x3+x4=6 3x1+x2–x3+5x4=0 2x1–x2+3x4=–5 2x1+2x2–x3+7x4=–3

ПРИМЕР: Решить систему методом Гаусса

2x₁+x₂–0,1x₃+x₄=2,7

0,4x₁+0,5x₂+4x₃–8,5x₄=21,9

0,3x₁–x₂+x₃ + 5,2x₄=–3,9

x₁+0,2x₂+2,5x₃–x₄=9,9

РЕШЕНИЕ: Прямой ход. Приведем систему к треугольному виду. Исключим х₁ из второго, третьего и четвертого уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 2, получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 0,4x1+0,5x2+4x3–8,5x4=21,9 0,3x1–x2+x3 + 5,2x4=–3,9 x1+0,2x2+2,5x3–x4=9,9

Затем умножим первое уравнение на 0,4 и результат вычтем из второго, затем умножим на 0,3 и вычтем из третьего, затем первое уравнение вычтем из четвертого. Получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение исключим из полученной системы и оставим его в качестве первого уравнения треугольной системы. Получим систему:

0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение разделим на 0,3 и получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Исключим х₂ из второго и третьего уравнений по аналогии с предыдущим. Получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2 16,425x3 – 28,3x4=77,575 6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение исключаем из системы и оставляем его в качестве второго уравнения треугольной системы. Получим систему:

16,425x3 – 28,3x4=77,575 6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение разделим на 16,425 и исключим х₃ из второго уравнения:

x3 – 1,72298x4=4,72298 1,11998x4=–1,11998

Первое уравнение полученной системы берем в качестве третьего уравнения треугольной системы, а второе уравнение – в качестве четвертого уравнения треугольной системы.

Таким образом получим треугольную систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 x2+13,4x3–29x4=71,2 x3 – 1,72298x4=4,72298 1,11998x4=–1,11998

Обратный ход. Из треугольной системы находим:

х₄=–1; х₃=3; х₂=2; х₁=1.