2. Погрешности результатов

ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

2.1 Источники и классификация погрешностей.

Анализ погрешности результатов вычислений должен являться непременной частью при математическом моделировании объекта.

Причины возникновения погрешностей:

1. математическая модель объекта не является точной ее копией (неточно задаются исходные данные).

2. Применяемый математический метод дает приближенное решение задачи.

3. При вводе данных в ЭВМ и выполнении математических операций производится округление чисел.

В результате получаются соответствующие погрешности:

• неустранимая погрешность

• погрешность метода

• вычислительная погрешность.

Пример: математическая модель движения маятника представляется уравнением:

φ(t) – угол отклонения маятника;

l – длина маятника ;

μ – коэффициент трения;

t – время.

В данной модели уже заложена неустранимая погрешность, поскольку она соответствует объекту лишь приближенно.

Данное дифференциальное уравнение не решается в явном виде. При применении математического метода возникает погрешность метода, а при выполнении арифметических операций – вычислительная погрешность.

П

~

устьI – точное значение параметра;

~

I – значение параметра, соответствующее математическому описанию;

~

I_n – значение параметра при реализации численного метода;

I_n^* – приближенное значение параметра, получаемое при вычислениях.

Т

~

~

огда ρ₁=|I – I| – неустранимая погрешность;

~

ρ₂=|I – I_n| – погрешность метода;

ρ₃=|I – I_n^*| – вычислительная погрешность.

П

~

олная погрешность ρ₀=ρ₁+ ρ₂+ ρ₃ = |I – I_n^*|

2.2 Абсолютная и относительная

ПОГРЕШНОСТЬ. ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА. ЧИСЛО

ВЕРНЫХ ЗНАКОВ.

Пусть А – точное значение параметра;

а – приближенное его значение.

Тогда абсолютной погрешностью приближения a называют величину

|A – a| ≤ ∆(a)

Отсюда следует, что точное число А заключено в границах

a–∆(a) ≤ A ≤ a+∆(a)

Следовательно, a–∆(a) есть приближенное число А по недостатку, а a+∆(a) – приближенное число А по избытку. Для краткости пользуются записью

A = a±∆(a)

Пример 1. Определить абсолютную погрешность числа а=3,14, заменяющего число π.

Решение: т.к.

3,14<π <3,15, то |π – a|<0,01

Следовательно, ∆(a)=0,01

Абсолютная погрешность не достаточна для характеристики точности числа. Так, например, если при измерении длин двух стержней получено

l₁=100,8±0,1 см и l₂=5,2±0,1 см

то качество первого измерения выше, чем второго.

Точность данных измерений оценивается абсолютной погрешностью, приходящейся на единицу длины, называемой относительной погрешностью, т.е. относительной погрешностью называют величину

δ(a) = =

Если ∆a<<a, то δ(a)= и обычно вычисляется в процентах.

Известно, что всякое число а может быть представлено в виде, например:

141,59…=1∙10²+4∙10¹+1∙10⁰+5∙10^-1+9∙10^-2+…

Введем понятие значащей и верной цифр.

Значащими цифрами числа а называются все цифры с первой ненулевой слева.

Например:

а=0,005860

Все подчеркнутые цифры являются значащими.

Значащую цифру называют верной, если абсолютная погрешность этого числа меньше или равна половине единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Например: для числа 2,15 абсолютная погрешность не превосходит 0,005, если абсолютная погрешность меньше 0,005, то следует писать 2,150 – это и есть верные значащие цифры.

Часто возникает необходимость в округлении чисел. Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-ой значащей цифры. При этом:

1) если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся знаки остаются без изменения;

2) если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;

3) если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;

4)если же первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).

Пример 1. Округляя число π=3,14159… до пяти, четырех и трех значащих цифр, получим приближенные числа 3,1416; 3,142; 3,14 с абсолютными погрешностями, меньшими 0,5∙10^-4; 0,5∙10^-3; 0,5∙10^-2.

Пример 2. Округляя число 1,2500 до двух значащих цифр, получим приближенное число 1,2 с абсолютной погрешностью, равной 0,5∙10^-1=0,05.

СВЯЗЬ ЧИСЛА ВЕРНЫХ ЗНАКОВ С ОТНОСИТЕЛЬНОЙ

ПОГРЕШНОСТЬЮ.

ТЕОРЕМА. Если положительное приближенное число имеет n верных знаков, то относительная погрешность его δ(а) не превосходит величину

δ(а)≤0,1^n-1/2a_m,

где a_m – первая значащая цифра числа а.

Пример: определить относительную погрешность числа а, если вместо числа π взять а=3,14.

В нашем случае a_m=3, n=3 отсюда δ(а) ≤ = = 0,1666%

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 1

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

1. Определить, какое равенство точнее.

2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки.

3. Найти абсолютные и относительные погрешности, если они имеют только верные числа.

Задания приведены в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
0 1	1) 6/7=0,857; =2,19; 2)5,435±0,0028; 3)8,345.	1)2/21=0,095; =4,69; 2)2,4543±0,0032; 3)0,347.	1)4/17=0.235; =3,24; 2)0,5748±0,0034; 3)0,5748.
2 3	1)15/7=2,14; =3,16; 2)2,3485±0,0042; 3)2,3445.	1)12/11=1,091; =2,61; 2)0,12356±0,00036; 3)12,45.	1)6/11=0,545; =9,11; 2)2,3485±0,0042; 3)41,72.
4 5	1)13/17=0,765; =5,56; 2)3,6878±0,0068; 3)14,862.	1)7/22=0,318; =3,60; 2)27,1548±0,0016; 3)0,3648.	1)17/11=1,545; =4,243; 2)0,8647±0,0013; 3)2,4516.
6 7	1)5/3=1,667; =6,16; 2)13,537±0,0026; 3)62,74.	1)51/11=4,64; =5,91; 2)38,4258±0,0014; 3)6,743.	1)6/7=0,857; =6,40; 2)32,7488±0,0012; 3)3,425.
8 9	1)17/19=0,895; =4,12; 2)3,6878±0,0013; 3)0,3825.	1)16/7=2,28; =3,32; 2)5,6483±0,0017; 3)16,383.	1)7/3=2,33; =7,61; 2)0,39642±0,00022; 3)26,3.

ПРИМЕРЫ

Заданы:

1) а₁ = 9/11 = 0,818 и а₂ == 4,24;

2) 72,353±0,026;

3) 0,4357.

РЕШЕНИЕ:

1. Находим с большим числом десятичных знаков а₁=9/11=0,81818…, а₂==4,2426…

Вычислим абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

∆a₁ = | 0,81818–0,818 | ≤ 0,00019

∆a₂ = | 04,2426–4,24 | ≤ 0,0027

Предельные относительные погрешности составляют:

δ₁ = ∆a₁/а₁ = 0,00019/0,818 = 0,00024 = 0,024%

δ₂ = ∆a₂/а₂ = 0,0027/4,24 = 0,00064 = 0,064%

Т.к. δ₁<δ₂, то равенство 9/11 = 0,818 является более точным.

2. Здесь а = 72,353±0,026. По условию погрешность ∆a = 0,026 < 0,05. Это значит, что в числе 72,353 верными являются цифры 7, 2, 3. По правилам округления найдем приближенное значение числа, сохранив десятичные доли:

а₁ = 72,4; ∆a₁ = ∆a+∆_окр = 0,026 + 0,047 = 0,073

Полученная погрешность меньше 0,5. Поэтому надо уменьшить число цифр в приближенном числе до двух.

а₂ = 72; ∆a₁ = ∆a+∆_окр = 0,026 + 0,353 = 0,379

Так как ∆a₂<0,5, то обе оставшиеся цифры верны.

3. Так как все четыре цифры а=0,4357 верны, то абсолютная погрешность ∆а=0,00005, а относительная погрешность

δ_а = = ∙ 100 = 0,01147