9.Вычисление значений функции.

9.1 Постановка задачи.

Постановка задачи.

При вычислении с помощью ЭВМ значений функции, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана формула.

Предварительное вычисление всех нужных степеней аргумента х², х³,... обычно не выгодно, так как требует довольно большого числа операций. При вычислении значений многочлена n-ой степени для получения степеней до хⁿ требуется n–1 умножений. Кроме этого нужно ещё n умножений на коэффициенты, т.е. всего 2n–1 умножений к n сложений. Меньшего количества действий – n умножений и n сложений – требует вычисление многочлена по так называемой схеме Горнера, с которой мы сейчас познакомимся.

9.2 Схема горнера для вычисления

ЗНАЧЕНИЙ ПОЛИНОМА.

Из курса алгебры известна теорема Безу, которая утверждает, что остаток от деления многочлена f(x) на двучлен x-α равен значению многочлена при x=α, т.е. f(α).

Обозначив частное от деления полинома n-ой степени f(x) на x-α через φ(x), а остаток через b_n, можно записать.

f(x)= (x-α)φ(x)+ b_n, где b_n=f(α) (9.1)

Если f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n; и φ(x)=b₀x^n-1+...+b_n-2x+b_n-1, то мы имеем тождество:

a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n-1x+a_n = (x-α) (b₀x^n-1+...+b_n-2x+b_n-1)+b_n (9.2)

Раскрывая скобки в правой части тождества (9.2) и сравнивая коэффициенты в левой и правой частях тождества, находим:

a0=b0 a (9.3) 1=b1– αb0 a2=b2-αb1 . . . . . . . . . . . . .

a_n-1=b_n-1-αb_n-2

a_n=b_n-αb_n-1

Равенство (9.3) перепишем в виде:

b0=a0 b (9.4) 1=a1+αb0 b2=a2+αb1 . . . . . . . . . . . . . .

b_n-1=a_n-1+αb_n-2

b_n=a_n+αb_n-1

С помощью полученных выражений можно вычислить последовательно все коэффициенты частного и остаток b_n, равный f(α). Эта схема вычисления f(α) и называется схемой Горнера.

При ручном счёте (при нахождении одного значения многочлена) вычисления записывают с помощью схемы.

	a0	a1	a2	...	an-1	an
α	b0	b1	b2	...	bn-1	bn

Числа в нижней строке вычисляются последовательно слева направо с использованием равенств (9.4) .

ПРИМЕР: Вычислить частное и остаток от деления многочлена x⁴+3x³+2x²+x+3, на (x-1,3). Пользуясь приведённой схемой, находим:

	1	–3	2	1	3
1,3	1	–3 +1*1,3=–1,7	2+(–1,7)*1,3= –0,21	1+(–0,21)*1,3=0,727	3+0,727*1,3=3,9451

Итак, частное есть многочлен x³-1,7x²-0,21x+0,727, а остаток, равный значению многочлена в точке х=1,3 есть 3,9451.

Таким образом, формулы (9.4) позволяют, не производя деления, определять коэффициенты частного φ(x), а также остаток b_n = f(α). Практически вычисления осуществляются по следующей схеме, называемой схемой Горнера.

+	a0 a1 a2 … an	α
	b0α b1α … bn-1α
	b0 b1 b2 … bn =f(α)

ПРИМЕР вычислить значение полинома:

P(x) = 3x³ + 2x² – 5x +7 при х = 3.

РЕШЕНИЕ Составляем схему Горнера:

+	3 2 –5 7	3
	9 33 84
	3 11 28 91=f(3)

Итак, частное есть φ(x) = 3x2 + 11x + 28 и остаток равный значению полинома в точке x=3 есть 91.

Если в формулах (9.4) подставить каждую предыдущую формулу в последующую, то получатся такие равенства:

b1 = a1 + αa0 b2 = a2 + α(a1 + αa0) b3 = a3 + α(a2 + α(a1 + αa0)) ……………………………...

Дойдя до последней формулы и переписав правую часть в обратном порядке, получим:

b_n = f(α) = ( … ((a₀α + a₁)α + a₂)α + … + a_n-1)α + a_n

Таким образом, для вычисления многочлена

f(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n-1x + a_n

его следует представить в виде:

f(x) = ( … ((a₀x + a₁)x + a₂)x + … + a_n-1)x + a_n.

ПРИМЕР. Составить таблицу значений многочлена x4 – 3x3 + 2x2 + x +3 для значений x от 1 до 2 с шагом 0,2.

РЕШЕНИЕ. Представим заданный многочлен в виде:

(((x – 3)x + 2)x + 1)x + 3

Расписку для выполнения вычислений вручную осуществим в виде таблицы:

(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
x	(1) – 3	(2) ∙ (1) + 2	(3) ∙ (1) + 1	(4) ∙ (1) + 3
1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0	– 2,0 –1,8 –1,6 –1,4 –1,2 –1,0	0,00 –0,16 –0,24 –0,24 –0,16 0	1,000 0,808 0,664 0,616 0,712 1,000	4,0000 3,9696 3,9296 3,9856 4,2816 5,0000