6. Приближенное дифференцирование

И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1 Использование конечных разностей для

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В случае задания функции в виде таблицы, для вычисления ее производной пользуются ее конечно-разностным представлением.

Так, первая производная функции y = f(x) есть

, ∆y = f(x+∆x) – f(x)

∆x – приращение x,

а так как при табличном задании функции не стремится к нулю, то в качестве производной функции принимается выражение

.

Такое представление производной называется её конечно-разностной аппроксимацией , поскольку ∆x и ∆y имеют конечные значения.

В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаются разные формулы для вычисления производной в одной и тоже точке:

– с помощью левых разностей:

=

– с помощью правых разностей:

=

– с помощью центральных разностей:

=

Можно найти такие выражения для старших производных:

Для более точной аппроксимации производной нужно использовать значение функции во многих точках.

6.2 Использование интерполяционных

ПОЛИНОМОВ.

Предположим, что функция f(x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом h=x_i-x_i-1 может быть аппроксимирована первым интерполяционным многочленом Ньютона(4.4)

y ≈ y₀ + q∆y₀ + + … +

где q = .

Дифференцируя этот многочлен по переменной х с учётом правила дифференцирования сложной функции

можно получить формулы для вычисления производных любого порядка:

Вторая производная будет иметь вид:

,

Число слагаемых в этих формулах зависит от количества точек, используемых для вычисления производных.

Пример: вычислить в точке x=0,1 первую и вторую производные функции, заданной таблицей:

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1,2833 1,8107 2,3606 2,9577 3,5969 0,5274 0,5599 0,5971 0,6392 0,0325 0,0372 0,0421 0,0047 0,0049 0,0002

Здесь h=0,1; q = = 1.

Заполняя таблицу конечными разностями и используя вышеполученные формулы, находим:

6.3 Численное интегрирование.

Пусть дана непрерывная функция f(x) на отрезке [a,b] который мы разобьём на n отрезков. Требуется вычислить определённый интеграл на этом отрезке от f(x). Геометрически это означает, что необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции, которая равна

определённому интегралу. Определённым интегралом от f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы, при которой длина элементарных отрезков стремится к нулю, т.е.

Однако на практике вычисления определённого интеграла используются нечасто, т.к. не каждая функция f(x) имеет первообразную и часто f(x) задается в табличном виде. Поэтому применяются методы численного интегрирования.

1) Метод прямоугольников.

Он использует непосредственную замену определённого интеграла интегральной суммой, т.е.

В развёрнутом виде эти формулы записываются в следующем виде. Учтем, что ∆x= x_i+1 – x_i = h.

В первой формуле за высоту прямоугольников применяется левая сторона криволинейной трапеции, а во второй – правая сторона. Если в формуле прямоугольников за высоту принимать значение функции в серединах элементарных отрезков, то формула получается более точной. Этот метод ещё называется методом средних.