Операции над множествами

означает, что иА не равно В (). Если, то множествоА называется собственным подмножеством множества В, а множество В — собственным надмножеством множества А.

Покажем, что пустое множество является подмножеством любого множества А. Допустим, что утверждение ложно, т. е. существует хотя бы один элементх, который принадлежит множеству , который не является элемен­том множестваА. Но множество не имеет элементов. Значит, утверждениеистинно.

Пример 1.1.4

1. Множество А = {а, b, с} является собственным подмножеством множества B = {а,b,с,d,е}.

2. Множество студентов юридического факультета — подмножество множе­ства всех студентов университета.

3. Множество четных натуральных чисел является собственным подмноже­ством множества всех натуральных чисел.

4. Множество натуральных чисел является подмножеством множества всех целых чисел, а множество целых чисел — подмножеством множества всех рациональных чисел.

Пусть U — некоторое множество, тогда В(U) — множество всех подмно­жеств множества V. В этом случае множество U называют универсальным, а множество В(U) — множеством-степенью или булеаном множества U. Например, если [U = {1,3, 5}, то В((U) = {, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3,5},{1,3,5}}.

Рассмотрим пространство 1 и определим в нем четыре операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение.

Объединением , двух множеств М_a и М_ь является множество М, состоящее из элементов множества М_a и из элементов множества М_ь:

.{или}

Объединением множеств А и В называется множество, в состав которого вхо­дят те и только те элементы, которые входят в состав хотя бы одного из этих множеств. Полученное множество обозначается , т. е. .

Пример 1.1.5

1. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {1, 3, 4, 6}, тогда = {1, 2, 3, 4, 6}.

О Пусть Ч — множество всех четных натуральных чисел, а H — множество всех нечетных натуральных чисел, тогда = N, где N — множество всех натуральных чисел.

Пересечением двух множествМ_a и М_ь является, множество М, состоящее из элементов, которые принадлежат как множеству М_a, так и множеству М_b.

{и}

Часто союз «и» заменяют знаком &:

{&}

Пересечением множеств называется множество, которое состоит из элементов, входящих в состав как множестваА, так и множества В. Получен­ное множество обозначается , т.е.. Если , то множестваА и В называются непересекающимися.

Пример 1.1.6

Пусть А, В, Ч, Н означают множества из предыдущего примера, тогда:

• = {1,3};

• ;

• ;

• .

Пусть А — множество прямых, которые проходят через точку а некоторой плоскости, а В — множество прямых, которые проходят через точку b этой же плоскости. Тогда = {l}, где l — прямая, которая проходит через точки а и b.

Операции пересечения и объединения допускают следующее обобщение. Пусть задано семейство множеств . Тогда

Если пересечение пустое множество , то такие множества называютсянепересекающимися.

Разностью М_a\М_b множеств М_a и М_b является множество М, состоящее из элементов, принадлежащих множеству М_a и не принадлежащих множеству М_a:

{&}

В данном случае М_а не обязательно должно являться подмножеством М_а, но если оно является подмножеством, то разность М_a\М_b означает дополнение к М_b в М_a.

Разностью множеств А и В называется множество B\А = {a | аВ и аА}. Очевидно, что В \ А = В\ (). Если , то В \ А называется дополнени­ем множества А в множестве В и обозначается А'_B или просто А', когда В можно определить по контексту.

Симметрическая разность

.

Симметричной разностью множеств А и В называется множество .

Дополнение

;

Операция дополнения подразумевает, что задан некоторый универсум U (1): . В противном случае операция дополнения не определена.

Двуместные операции

Введенные операции объединение, пересечение, разность, являются двуместными.

Рассмотрим операцию дополнения, являющуюся одноместной.

Дополнением (разность) множестваМ является множество

Операции объединения, пересечения, разности и дополнения проиллюстрированы на рис. 1.3,а, б, в, г соответственно; результирующее множество каждой операции, изображено заштрихованной областью.

Порядок выполнения операций

Используя эти операции, можно выражать одни множества через другие, при этом сначала выполняется одноместная операция дополнения, затем пересечения и только затем операция объединения (разности). Для изменения этого порядка в выражении используют скобки.

Пример 1.2. Рассмотрим операцию дополнения множества, являющегося пересечением множеств М_a и М_b. Ее результат совпадает с объединением дополнений этих множеств ; в этом можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера (рис. 1.4).

Таким образом, множество можно задать выражением, в которое входят идентификаторы (указатели) множеств, операции и, быть может, скобки. Такой способ задания множества называется аналитическим.

Пример 1.2.

Пусть А: = {1,2,3}, В: = {3,4,5}. Тогда ={1,2,3,4,5},= {3}, А\В = {1,2},= {1,2,4,5}.Если определён универсум U:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, то ={0,4,5,6,7,8,9},={0,1,2,6,7,8,9}.

Теоретико-множественные тождества.