§8. Производные обратных тригонометрических функций.

Пусть y=arcsinx, где -1≤x≤1 и

Обратная функция имеет вид x=siny, причем если

Используя правило дифференцирования обратной

функции, получим

Так как при то, получаем

Следовательно, имеем т.е. (

2. Пусть y=arccosx, тогда x=cosy, причем -1≤x≤1 и 0≤y≤π.

На основании правила дифференцирования обратной функции имеем

Так как siny>0 при 0<y<π, то

Поэтому

Таким образом,

3.Пусть y=arctgx и , следовательно ,x=tgy.

Имеем

Таким образом,

4.Пусть y=arcctgx

тогда x=ctgy.

Имеем

т.е.

Пример.

§9. Производная показательной функции.

Для нахождения производной показательной функции воспользуемся правилом дифференцирования обратной функции.

Если то и

Отсюда

Следовательно,

Таким образом,

В частности, если то

Примеры.

1.

2.

4.

§10.Таблица основных формул дифференцирования.

На этом этапе темы «Производная» целесообразно составить следующую таблицу производных , гдеF– одна из основных элементарных функций. Напомним, что основными элементарными функциями принято называть следующие: степенную функцию, показательную функцию, логарифмическую функцию , четыре

тригонометрические функции и четыре обратные тригонометрические функции .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Пример.

Найдите производную функции .

Решение. Согласно формулам 5) и 7) имеем:

Найдите производные следующих функций:

1); 9)

2)10)

3)11)

4)12)

5)13)

6)14)

7)15)

8)16)

§11. Производные высших порядков.

Пусть функция y=f(x) в каждой точке интервала (a;b) имеет производную. Производную называют производной первого порядка или первой производной функции .

Рассмотрим функцию . Еслиg(x) имеет производную в точке , то эту производную называют производной второго порядка или второй производной функции в точке х и обозначают .

Коротко: вторая производная – это производная от первой производной, т.е.

.

Аналогично определяется производная порядка n, где .

Производной n-го порядка от функции называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается символом или

Пример 1.

Если , то

;

;

;

.

Пример 2.

Найти , если.

;

.

Найти производные второго порядка следующих функций:

1) ;2) ; 3);

4) ; 5); 6)

§ 12. Экстремум функции. Возрастание и убывание функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, и непрерывна в точке.

Пусть называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки, в которой привыполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие точки экстремума:

В точках экстремума производная или не существует.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Достаточные условия экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки.

а) Если при и при (т.е. при переходе через точкупроизводная меняет

знак “+” на “–“), то точка является точкой максимума.

б) Если при и при (т.е. при переходе через точкупроизводная меняет знак “–” на “+“), то точкаявляется точкой минимума.

Пусть в критической точке функцияf(x) имеет вторую производную (значит, ). Если при этом , то– точка максимума; если же то– точка минимума; если же , то вопрос о наличии экстремума в этой точке остается открытым.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a;b], если для любыхиxна этом отрезке , когдаx<x.

Аналогично определяется убывание функции на отрезке.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x):

если , то функция возрастает;

если , то функция убывает.

Чтобы найти экстремум функции нужно:

Найти и критические точки, в которых или не существует.

Определить знак слева и справа от каждой критической точки.

Далее можно найтиии построить кривую.

Пример.

Исследуйте на экстремум функцию .

Решение. Найдем экстремум функции, пользуясь первой производной.Данная функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Найдем производную, приравняем ее нулю и найдем критические точки. Имеем:

;

следовательно, - критические точки. Теперь исследуем знак производной в окрестности каждой из этих точек.

– + – + х

-2 0 2

при - функция убывает,

при - функция возрастает,

при - функция убывает,

при - функция возрастает.

Следовательно, - точка минимума, x=0- точка максимума,- точка минимума. Следовательно, имеем два минимума и максимум .

Найдите интервалы возрастания и убывания функций:

Найти экстремум функции и построить ее график