§4. Производная сложной функции.

Рассмотренные нами правила дифференцирования результатов арифметических действий не дают еще возможности вычислять производные от многих элементарных функций. Возьмем, например, функцию , которая не является ни суммой, ни произведением, ни частным более простых элементарных функций, и поэтому правила предыдущего параграфа к ней неприменимы. При этом является сложной функцией: , , и ее производную можно найти с помощью правила дифференцирования сложной функции, которое читается так.

Если функция имеет производную в точкеx, а функция имеет производную в точке , то сложная функция также имеет производную в точкеx, причем .

Опуская аргумент и используя другое обозначение для производных, формулу можно переписать в виде .

Доказательство:

Придадим x приращение ∆x, оно вызовет приращение ∆u промежуточного аргумента u=φ(x),

которое в свою очередь повлечет изменение функции y на некоторую величину ∆y.

Для отыскания производной y′ нужно найти при∆x→0.

Представим отношение в виде

Тогда в силу правила предельного перехода в произведении получим:

( ∆u→0 при ∆x→0, так как u=φ(x)- непрерывная функция).

Так как

то мы приходим к доказанной формуле.

Пример 1.

Найдите производную функций:

а) ; б) ; в)

г) .

Решение.

а) Данная функция является сложной функцией: где Тогда

и .

Заменив uнаmx, окончательно получим .

б) Полагая , где , и применяя правило дифференцирования сложной функции, имеет:

в) Здесь , где .

Имеем ;

.

г) где . Имеем , .

Пример 2.

Найдите производную функции .

§ 5. Дифференцирование обратной функции.

Пусть (1)

есть дифференцируемая функция от аргумента xв некотором интервале (a,b).Если в уравнении (1)yрассматривать как аргумент,аxкак функцию, то эта новая функция , где называется ,как мы знаем, обратной по отношению к данной.Нашей задачей является: зная производную функции найти производную обратной ей функции предполагая ,что обратная функция существует и непрерывна в соответствующем промежутке.

Теорема. Если для функцииy=f(x)

существует обратная функция ,

которая в рассматриваемой точке имеет производную , отличную от нуля, то в соответствующей точкеxфункция имеет производную,

равную , т.е. справедлива формула

Доказательство. Возьмем приращение ∆y,тогда

Так как есть функция монотонная, то ∆x.

Рассмотрим тождество

Так как при ∆x→0 и ∆y→0,то т.е.

§6.Производная логарифмической функции.

Теорема.Производная от функции равна т.е. если то

Доказательство. Если ∆yесть приращение функции соответствующее приращению∆x аргумента x, то

Умножим и разделим на x выражение, стоящее в правой части последнего равенства:

Обозначим величину через .Очевидно,при ∆x→0 и данномx. Следовательно,

Но, как известно

Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числу e, то логарифм этого выражения стремится к Поэтому окончательно получаем

Заметив, что полученную формулу можно переписать так:

Отметим важный частный случай этой формулы: если

т.е. если то

§7. Производные функций y=tgx , y=ctgx.

Теорема 1.Производная от функцииtgxравна т.е. если то

Доказательство. Так как

то по правилу дифференцирования дроби получаем

Теорема 2.Производная от функцииctgxравна т.е. еслиy=ctgx, то

Доказательство. Так как то

Пример .

Если ,то