книги из ГПНТБ / Экономика газовой промышленности

(9-25), (9-26), (9-27), ко второму — (9-28), (9-29). Ограниче­ ния первого блока (с учетом дополнительного ограничения) образуют вспомогательную p-задачу, ограничения второго блока — вспомогательную у-задачу.

Для формирования вспомогательных задач примем сле­ дующие обозначения: вектор любого опорного решения вспо­ могательной у-задачи — Уѵ‘, матрица коэффициентов при неизвестных в ограничениях (9-25), (9-26), (9-27) — S; вектор свободных членов ограничений (9-25) — (9-27)

А — (ßj',. . . , öl, • • •»Op, Qi, . . . , <7/)т

(где символ т — знак транспонирования — указывает, что вектор А, компоненты которого выписаны в строку, являет­ ся вектором-столбцом); каждая компонента вектора А — ах, причем

т = 1, 2 , . . . , (т + р + /).

' Запишем следующие соотношения в векторной форме:

I

Отличительной особенностью вспомогательной задачи является значительно меньшее количество ограничений, чем в исходной математической модели осенне-зимнего периода. Вместо группы ограничений в исходной задаче (9-28) во вспомогательной задаче записывается одно дополнительное ограничение (9-39).

p-задача реализуется на ЭЦВМ модифицированным симп­ лекс-методом. Для отыскания разрешающего столбца (вво­ димого в базис векторов) запишем задачу, сопряженную за­

при ограничениях-неравенствах при несвободных переменных

Ѵ =1

при несвободных переменных при ограничениях-неравенствах

рѵ > 0; ѵ = 1, 2, .. .N

Имея значения двойственных переменных (определяемых из последней строки симплекс-таблицы p-задачи), можем определить, какое из ограничений сопряженной задачи

(9-41) — (9-44) не выполняется, т. е.

262

Запишем неравенства (9-45) и (9-46) следующим образом:

263

Оценки функционала задачи (9-50) — (9-52) изменяются и формируются на каждой итерации p-задачи. Опорное ре­ шение у-задачи (на каждой итерации p-задачи) находится следующим образом.

Полагаем, что в каждом из уравнений системы (9-51) только одно неизвестное отличается от нуля, т. е. решением системы является вектор Уѵ, для каждого j только одна из компонент которого у**, либо zy*r, либо уѴ* отличается от

нуля и равна

Индекс этой компоненты (для каждого / = 1, 2, ..., п) вычисляется из следующих соотношений:

для множества уцг

для множества z,'/r

max — (ult • • • »

Для множества искусственных переменных у/ оценки в функционале (9-50) равны нулю.

Таким образом, опорное решение вспомогательной у-за- дачи (на каждой итерации p-задачи) находится весьма про­ сто, не требуя использования специальных методов линейно­ го программирования. Благодаря этому упрощается вычи­ слительная схема всего алгоритма решения модели осеннезимнего периода.

При реализации на ЭЦВМ информация, которая необ­ ходима для формирования вектора, вводимого в базисное множество векторов вспомогательной p-задачи, сосредото­

264

чивается в удобной для вычисления исходной матрице, пред­ ставленной на рис. 3.

Любое неизвестное, размещенное в /-й группе (/ = 1, 2, ..., п) исходной матрицы, для которого оценка Aifr, ли­ бо А//,, либо А/ [определяемая по формулам (9-53), (9-54)] равна шах, приравнивается на каждой итерации р-задачи свободному члену своей группы b'j.

Реализация на ЭЦВМ математической модели осеннезимнего периода практически начинается с этапа отыскания

Рис. 3. Формирование информационной матрицы при реализации методом декомпозиции системы математических моделей для определе­ ния перспективных потоков газа Украинской ССР.

оптимального решения. Так как все ограничения подзада­ чи второго периода являются неравенствами, необходимость в отыскании опорного решения вспомогательной р-задачи отпадает.

Алгоритм несколько видоизменяется (в связи с необхо­ димостью отыскания опорного решения р'-задачи) при реали­ зации на ЭЦВМ математической модели первого периода, так как большинство ограничений группы (9-22) являются строгими математическими равенствами.

Особенности алгоритма решения модели весенне-летнего периода. Разделим матрицу ограничений модели первого периода также на два блока. К первому из них отнесем огра­ ничения (9-20), (9-21), ко второму — (9-22), (9-23). Ограни­ чения первого блока образуют вспомогательную р'-задачу, ограничения второго блока — вспомогательную у' -задачу.

Вводим следующие обозначения: вектор любого опорно­ го решения вспомогательной у'-задачи — Хѵ; матрицу коэф­

265

фициентов при неизвестных в ограничениях (9-20), (9-21) — S1; вектор свободных членов ограничений (9-20), (9-21)

(m + /). Запишем соотношения:

каждая компонента вектора Р '(ѵ) обозначается р'(,ѵ). Сфор­ мируем вспомогательную р'-задачу.

Практически данная [/-задача ничем не отличается от вспомогательной р-задачи, сформированной для модели вто­ рого периода. В обоих задачах записываются ограничения-

равенства (9-39) и (9-59).

Однако в первом случае (при реализации модели второго периода) возможность определения опорного решения вспо­ могательной у-задачи, состоящего только из искусственных переменных, исключала необходимость отыскания опорно­

266

го решения p-задачи. В данном случае подобная возмож­ ность исключена, так как большинство ограничений груп­ пы (9-22) являются равенствами. Поэтому преобразуем вспомогательную р'-задачу таким образом, чтобы все ее ^ограничения были неравенствами," и запишем к преобразо­ ванной задаче сопряженную.

Прямаяр'-задач (преобразованная): Сопряженная задача:

при ограничениях-неравенствах при несвободных переменных

при несвободных переменных и при ограничениях-неравенствах

Запишем неравенства (9-69) и (9-70) следующим образом:

267

Подставив в формулу (9-72) соотношение (9-55), получим выражение

Тогда на этапе нахождения опорного решения р'-задачи вспомогательная у'-задача будет иметь следующий вид. Максимизировать

_Sm-H - U r .

Итерационный процесс нахождения опорного решения вспомогательной р'-задачи заканчивается тогда, когда зна­ чение вспомогательного функционала ср преобразованной задачи (9-61) — (9-64) становится равным нулю. Затем сле­ дует этап нахождения оптимального решения модели весенне­ летнего периода. Он не отличается от описанного выше про­ цесса формирования вспомогательных задач и реализации модели второго периода.

Таким образом, задачи отдельных временных периодов решаются практически по одной и той же вычислительной схеме, которую удается упростить за счет использования особенностей структуры матрицы ограничений каждой ма­ тематической модели.

268

§ 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Вычисленные параметры, определяющие систему огра­ ничений и функционал каждой математической модели от­ дельных временных периодов (в первую очередь модели осенне-зимнего периода), располагаются в определенном порядке в матрице S (см. рис. 3). Количество групп перемен­ ных п в матрице 5 равно количеству ограничений, относя­ щихся ко второму блоку отдельных подзадач. В каждой группе переменные располагаются в таком порядке, в ка­ ком они входят в соответствующее ограничение этого

блока.

Суммарное количество столбцов л матрицы определяет­ ся количеством переменных в подзадаче (с учетом искус­ ственных переменных, дополняющих ограничения второго блока до строгих математических равенств). Количество строк т матрицы определяется количеством ограничений, относящихся к первому блоку каждой подзадачи, (т + 1)-й строкой матрицы является строка коэффициентов, с ко­ торыми соответствующее переменное входит в функционал модели. В (т + 2)-й строке матрицы проставляются значе­ ния (для каждой группы) свободных членов ограничений

ется значение коэффициента, с которым данное неизвестное

коэффициентов для искусственных переменных матрицы равен 0.

При реализации на ЭЦВМ вспомогательной р (р')-зада- чи исходная симплекс-таблица на нулевой итерации имеет форму, представленную на рис. 4.

Размерность симплекс-таблицы определяется количе­ ством ограничений, относящихся к первому блоку матема­ тических моделей отдельных временных периодов (т + 3) х X (т + 5). Первые т базисных компонент на нулевой итера­ ции приравниваются к значениям свободных членов соот­ ветствующих ограничений первого блока.

Таким образом, вся исходная информация (т. е. значения параметров, входящих в систему ограничений и функционал математической модели), необходимая для решения задачи,

269

сосредоточивается в исходной матрице и нулевой симплекстаблице.

Следует отметить, что симплекс-таблица в записанной вы­ ше общей форме соответствует случаю, когда итерационный процесс начинается с этапа отыскания опорного решения. При реализации математической модели осенне-зимнего периода (с этапа отыскания оптимального решения) значение вспомо­ гательной формы ф = 0, вследствие чего (т + 2)-я строка и (т + 2)-й столбец симплекс-таблицы являются нулевыми.

Рис. 4. Форма исходной симплекс-таблицы на нулевой ите­ рации при реализации на ЭЦВМ вспомогательных р (р*)-задач системы математических моделей.

Практически после подготовки исходных матриц (мат­ рицы S и симплекс-таблицы) начинается этап непосредствен­ ного решения задачи.

С учетом особенностей разработанного метода решения математических моделей отдельных временных периодов разработана алголическая программа, транслированная для ЭЦВМ БЭСМ-6. В результате реализации математической модели на ЭЦВМ определяются значения искомых перемен­ ных, характеризующих направления использования пото­ ков газа (в определенный период года) в различных отраслях народного хозяйства республики.

В программе предусмотрены возможность выдачи на пе­ чать (наряду с конечными результатами) значений базисных компонент симплекс-таблицы в оптимальном плане на по­ следней итерации вспомогательной р (р')-задачи, значений целевой формы, вектора-строки симплекс-множителей в оп­ тимальном плане, а также опорные планы вспомогательной

270