книги из ГПНТБ / Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений

производительность рудника, равная соответственно 1,0; 1,2; 1,5 и 2,0 млн. т/год, ац -— величина выигрыша (про­ игрыша). Без пояснительных записей платежная мат­ рица (4.17) имеет вид

В качестве критерия оценки оптимальной производи­ тельности рудника может быть принята сумма капи­ тальных затрат н их эксплуатационных расходов, при­ ходящихся на один год, или эффективность капитальных вложений (стоимость 1 г руды, приходящаяся на 1 руб. капитальных вложений.)

Пусть для различных стратегий природы и человека суммы капитальных затрат и эксплуатационных расхо­ дов, определенные проектными расчетами, составляют (в млн. руб.):

Поскольку при выборе оптимальной производитель­ ности рудника неизвестны реальные запасы, целесооб­ разно оценку эффективности каждого из решений про­ водить не непосредственно по абсолютным суммарным затратам, а по потерям затрат в результате принятия неправильного решения. К примеру, для первой страте­ гии человека (производительность рудника 1 млн. т/год) суммарные затраты составляют 75 млн. руб. для запа­ сов 20 млн. т, 90 млн. руб. — для запасов 25 млн. г, ПО млн. руб. — для запасов 30 млн. т, 150 млн. руб.— для запасов 40 млн. г.

Определим возможные потери затрат при неправиль­

214

если фактические запасы руды составят 25 млн. г, то ежегодно придется тратить 90 млн. руб. (на 15 млн. руб.

больше, чем при запасах 20 млн. г, т. е. 90—75=15);

если фактические запасы будут 30 млн. т, то ежегод­ ный перерасход (потери) составит 110—75 = 35 млн. руб., для запасов 40 млн. г — 75 млн. руб. (150—75 млн. руб.).

Аналогично определяем потери для 2, 3 и 4-й страте­ гий человека, т. е. для производительностей рудника 1,2; 1,5 и 2,0 млн. т/год.

Результаты определения потерь от ошибочно приня­ того решения сведем в платежную матрицу Мр

ошибочного решения, равная 15 млн. руб. в соответст­ вии с (4.13) н (4.16). Это значит, что по критерию сум­ марных капитальных и эксплуатационных затрат в год наиболее оптимальной является 3-я стратегия человека (производительность рудника 1,5 млн. т/год), обеспечи­ вающая минимальные из возможных максимальных по­ терь (обеспечивающая «минимальный риск»).

точка, как правило, отсутствует, поэтому решение игры заключается в интервале ст=пи'п maxßj,- — тахтіпщ ц.

Теперь, пользуясь вторым критерием (максимальная эффективность капиталовложений), определим опти­ мальную производительность рудника. Для этого по­ строим платежную матрицу М2, элементами которой бу­ дут значения эффективности капитальных вложений для всех стратегий природы и человека. Эти значения, как и другие, относящиеся к одному конкретному варианту, могут быть определены проектными расчетами.

215

максимальный из минимальных выигрышей (максималь­ ная из минимальных гарантированных эффективность капиталовложений), равный 9,0 [решение задачи (4.20)].

В соответствии с (4.20) оптимальной стратегией че­ ловека по критерию эффективности капиталовложений является выбор производительности рудника

1.2 млн. т/год.

Как видно из примера, по первому критерию сле­

ходимо учитывать значимость критериев. Пусть в нашем примере критерий суммы годовых затрат имеет опре­ деляющее значение, тогда оптимальным будет решение построить рудник производительностью 1,5 млн. т/год, что обеспечит минимальный из максимально возможных риск перерасходования суммарных годовых затрат в ус­ ловиях неопределенности с величиной запасов, оцени­ ваемых в пределах от 20 до 40 млн. т.

Приведенный пример показал, что методы теории игр могут быть с успехом применены в проектировании и прогнозировании в условиях неопределенности исход­ ной информации.

Пример 2. Рассмотрим возможность приложения матричных игр при планировании добычных работ при разработке жильных месторождений ценных руд с уче­ том случайного характера природных условий.

Жильная площадь, подлежащая отработке по состоя­ нию на определенный период времени, может быть рас­ пределена по ее продуктивности:

ЛХ< Л ,‘< . . - < А п.

2 1 6

Продуктивность жп.пыюй площади А,- выражается в ки­

qt кг металла, рассчитанных в соответствии с математи­ ческой моделью себестоимости 1 кг.

Сумма затрат на горные работы по добыче продук­

Проблема заключается в том, чтобы выполнить пла­ новое задание по добыче Q т металла при минимальной стоимости единицы (1 кг) продукции. При этом план добычи продукции придется выполнять по рудным жи­ лам с различной продуктивностью жилыюй площади Л,-. Величина qi в этом случае означает запланированное количество металла, подлежащее добыче в г-м выемоч­ ном поле. Фактический объем добычи q^w) будет отли­ чаться от запланированного па величину ±га,-.

Фактор риска а является величиной случайной. Его возникновение связано с характерными геологическими особенностями месторождений рассматриваемого типа, и исключить его при планировании добычи по отдель­ ным выемочным полям не представляется возможным. Однако при планировании добычи по п выемочным по­ лям величина а,- может быть определена из статистики предприятия.

Для каждого щ (і = \ , п ) существует функция плотно­

сти распределения вероятности ср(а,-) которая в случае нормального распределения имеет вид

Если предположить, что фактический объем добы­

того металла при отработке всей запланированной жиль-

П

ной площади 2 меньше, чем было запланировано

;=і

'217

быча продукции в следующем выемочном поле или ре­ зервных блоках должна осуществляться с затратами на 1 кг металла, не превышающими Кн-

Естественно, что производственное предприятие заин­ тересовано в том, чтобы себестоимость 1 кг металла в конечном продукте, а также фактор риска а, были ми­ нимальными.

Функция ф ((Хі ) , как правило, не имеет нормального

распределения. Если исходить из нормального распре­ деления средней некоторой выборки размером п из ко­

— СО

означает вероятность того, что средний фактор риска а,- выборки размером п не превышает величину Х|<.ѵ2< ...

..

Если выполнить эти расчеты для всех значений и,-

(і=1,п) и всех продуктивностей А,-, можно составить матрицу вероятностей Р (т < х ) величины риска (воз­ можной ошибки), характеризующих запланированную продуктивность жильной площади А,- (табл. 51).

218

С помощью генератора случайных чисел берется слу­ чайная выборка случайных чисел. Функция распределе­ ния Рі (<хі<.х) рассчитывается по специальной подпро­ грамме.

На основе изложенного можно сформировать сле­ дующую игру. Стратегия игрока А (производственное предприятие) состоит в выборе п площадей с продуктив­ ностью А;. Природные факторы отражаются частостью фактора риска .ѵ случайной выборки размером п. Затра­ ты на запланированную продукцию в і-м выемочном поле составляют

С учетом фактора риска а,- фактическая продуктивность в /-м участке составит

причем величина а,- в данном случае характеризуется вполне определенной вероятностью. Функцию возмож­ ных потерь можно записать в следующем виде:

219

единицу металла в конечной продукции технологической цепи горнорудного производства должен осуществляться для к вариантов результирующих векторов:

Это составит ряд вариантов для каждого из результи­ рующих векторов /,-. Чтобы сократить объем вычислении, явно не выгодные стратегии из игры исключают. При этом считается, что /-я. стратегия игрока А доминирует над его к-и стратегией, если

Мгра сводится к распределительной задаче линейного программирования и решается на ЭВМ. Получаемое ре­ шение определяет такое распределение площадей очист­ ной выемки F(Ai), при котором затраты на единицу ко­ нечной продукции минимальны. При этом обеспечи­ вается условие дополнительной добычи наименьшего количества металла из резервных блоков.

суммарных затрат, связанных с потерями за счет ожи­ дания в очереди на обслуживание потока требований, а также от простоя средств обслуживания при недоста­ точном числе клиентов.

Очередь считается замкнутой, если поток требований на обслуживание образует замкнутую систему. Напри­ мер, экскаватор на карьере с прикрепленными к нему автомашинами образуют замкнутую систему.

Если система массового обслуживания не образует замкнутой ‘очереди, она называется разомкнутой. Замк­ нутая система с весьма большим числом требований может рассматриваться как разомкнутая.

Если в любой момент времени обслуживается только одно требование (один клиент), то система называется одноканальной, если несколько-— многоканальной. При поэтапном обслуживании клиентов каналами, располо­ женными в некоторой последовательности, система мас­ сового обслуживания называется многофазовой. Приме­ ром одноканальной системы может служить одиночный пункт РКС на потоке впутрпшахтного транспорта.

220

Двухклетевон подъем полезного ископаемого с гори­ зонта является примером двухкапальной системы.

Если поток требований превышает возможности соот­ ветствующих каналов обслуживания, образуются оче­ реди (рис. 17). Требования па обслуживание очереди выбирают в соответствии с совокупностью правил, фор­ мулирующих дисциплину очереди.

Канады о5служи8ания

Входящий

поток

оО О О О О О

Р и с. 17. Общая схема систем массового обслуживания.

Методы теории массового обслуживания в последнее время находят все большее применение при решении за­ дач оптимизации сложных систем. Успешно использу­ ются указанные методы и для решения горнотехнических задач. В частности, теория массового обслуживания успешно используется для расчетов п выбора рациональ­ ных режимов и условий эксплуатации комплекса шахт­ ных механических систем в их взаимодействии с горно­ техническими параметрами добываемого рудного сырья.

Можно утверждать, что работоспособность шахтного технологического комплекса зависит от числа отказов его механических систем, а также от числа отказов по горнотехническим причинам. Поэтому расчеты опти­ мальных режимов и выбор рациональных условий экс­ плуатации такой системы могут производиться с ис­

ностно-статистическими методами, позволяющими сум­ мировать влияние указанных отказов на эффективность функционирования системы и выражать это влияние че­ рез обобщающие показатели.

Функционирование сложных механических систем и шахтных комплексов характеризуется суммой чередую­

221

щихся периодов активности (полезной работы) п сбоев (простоев), связанных с различного рода отказами.

Отказы и простои сложных комплексов шахтного оборудования в их взаимодействии с горнотехническими параметрами добываемого рудного сырья связаны как с механическими поломками, так и с признаками горно­ технического характера в виде необходимости дробле­ ния негабаритов, зависании горной массы при ее исте­ чении из выпускных отверстий, поломок крепи горным давлением или при взрывных работах, ухудшении сани­ тарно-гигиенических условий труда за допустимые пре­ делы и др. Кроме того, перерывы в работе шахтных механических комплексов связаны с ожиданием поступ­ ления горной массы и прочими организационными фак­ торами. Поэтому количественную взаимосвязь периодов функционирования элементов сложных шахтных меха­ низированных комплексов можно описать с помощью методов теории массового обслуживания, а также ис­ пользовать эти методы для решения широкого круга задач оптимизации численного состава п режимов экс­ плуатации шахтных механических систем.

К сложным системам шахтных механизированных комплексов относятся механические устройства очистных блоков, внутришахтного транспорта, включая автомати­ зированные устройства подземных рудосортировочных контрольных станций, опрокиды, компенсаторы высоты, конвейерные линии, бункерные устройства, шахтный подъем, оборудование поверхностных шахтных комплек­ сов и т. д. по всей технологической цепи производства уранодобывающих предприятий вплоть до отправки то­ варного концентрата потребителям. Увязка технологиче­ ских звеньев горнорудного производства на основе характеристик надежности применяемых механических устройств, машин и механизмов и оптимизация режимов их функционирования по соответствующему экономиче­ скому критерию представляют значительный производст­ венный интерес. Задачи оптимизации сложных систем такого рода могут решаться с использованием методов теории массового обслуживания.

Теория массового обслуживания может быть эффек­ тивно использована при расчетах, связанных с опреде­ лением объемов подземных и поверхностных бункерных устройств с учетом вероятности их нахождения в загру­ женном или свободном состоянии [16, 40].

222

В качестве системы массового обслуживания может быть рассмотрена система подземной добычи руды на руднике, в которой добытая рудная масса в единицу времени (за смену) представляет поток требований, а комплекс машин, механизмов и механических устройств очистных блоков — обслуживающие аппараты. Поль­ зуясь этим принципом, можно определить вероятность отказа механических устройств, машин и механизмов в обслуживании потока требований (потока добывае­ мого полезного ископаемого), что равноценно вероятно­ сти потерн части производительности очистного блока

вединицу времени. В свою очередь это позволяет опре­ делить вероятность безотказного обслуживания потока требований (потока добываемого полезного ископаемого

впроцессе добычи) забойными механическими устройст­ вами, а также оценить надежность комплекса забойного

механического оборудования и определить необходимый резерв.

Математическая формулировка задач массового об­ служивания включает сумму двух видов потерь — от ожидания обслуживания и от простоя средств обслужи­ вания.

Некоторые несложные задачи могут быть сведены к математическим моделям в форме окончательных ана­ литических зависимостей. Большинство же систем мас­ сового обслуживания в общем виде описывается диффе­ ренциальными уравнениями в частных производных.

Законы, определяющие моменты поступления требо­ ваний в систему и время обслуживания, носят характер некоторых распределений вероятностей. Математический аппарат теории массового обслуживания наиболее раз­ работан и успешно используется для решения задач оптимизации сложных систем при случайном (пуассо­ новском) потоке требований и экспоненциальном рас­ пределении времени обслуживания [43, 56].

В соответствии с пуассоновским характером распре­ деления требования иа обслуживание с равной вероят­ ностью могут поступать в любой момент времени неза­ висимо от времени, прошедшего с момента поступления предшествующего требования.

Допущение об экспоненциальном законе распределе­ ния времени обслуживания значительно упрощает мате­ матический аппарат, применяемый для оптимизации си­ стемы.

2 2 3