книги из ГПНТБ / Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений

ции А [см. уравнения (3.106)], минимальное значение которых и будет и2(с). Так, например, а2(10)=24,6. Однако в данном случае я“ = 10 и х°=2, что противоре­

0, 1, 2, 3 и 4 (3.110). Для каждого л'э рассчитаем значе­

вать, так как совершенно очевидно, что они еще больше.

194

Таким образом, минимальные дополнительные потери металла на перерабатывающем заводе при неравномер­ ной поставке руды по каждому сорту возможны, если суточная производительность технологической схемы А равна 6 тыс. т руды и каждой из схем переработки Б и В равна 2 тыс. труды.

При указанной производительности технологических схем переработки руды минимальные дополнительные потери металла составляют 65,8 кг/сутки, или минималь­ ный возможный экономический ущерб от дополнитель­

13* 195

Г Л А В А 4

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Е> предыдущих главах были рассмотрены методы принятия оптимальных решений в ус­ ловиях, когда целевая функция имеет однозначное реше­

ние. (Методом динамического программирования может быть найдена оптимальная траектория системы.) На практике далеко не все задачи можно решить с помощью целевой функции, экстремум которой определен одно­ значно. Некоторые переменные и параметры целевой функции и ограничений для условий производства, осо­ бенно в горнодобывающей и перерабатывающей урано­ вой промышленности, являются величинами случайными. Игнорирование случайного характера переменных и па­ раметров и замена их средними величинами может при­ вести к ошибочному решению, связанному с серьезными экономическими последствиями (см. ниже).

Задачи математического программирования, в кото­ рых некоторые переменные или параметры являются случайными величинами, называются задачами стоха­ стического программирования. Эти задачи могут быть как статическими, так и динамическими, или, как их иногда называют, одношаговыми и многошаговыми

[ 3 5 , 5 5 ] .

К первому классу задач относятся те, для кото­ рых достаточно принятия одного решения, а если при­ нимается несколько решений, то реализация случайных параметров не влияет на последующие решения. Ко вто­ рому классу задач стохастического программирования следует отнести все остальные, в которых принимаются два или более решения для различных моментов вре­ мени и на последующие решения могут влиять не только решения, принятые ранее, но н изменения некоторых случайных параметров в будущем.

197

1.СТАТИЧЕСКОЕ СТ О ХАСТИ ЧЕСК О Е

ПР О ГР А М М И РО В А Н И Е

Рассмотрим пример, в котором переменные, входящие в целевую функцию, имеют случайный харак­ тер. Таким примером может служить определение опти­ мальной производительности схем переработки иа обо­ гатительной фабрике в условиях весьма неравномерной поставки руды разных сортов.

раз выше, чем в руде 3-го (0,025%), и в 4 раза выше,

В соответствии с утвержденным планом переработки руды сменная производительность обогатительной фаб­ рики составляет 10 тыс. т/смена. Проведя соответствую­ щие преобразования, выражение (4.1) можно предста­ вить в виде

где Ар выражено в тыс. т, а х\, х2 и Хз — в г.

На основании проведенных исследований определено, что средние величины поставки металла в руде 1, 2 и 3-го сортов равны соответственно 4, 2 и 1 т/смена, а распределение плотности вероятностей количества по­ ставляемого иа обогатительную фабрику металла пред­ ставляет собой пуассоновское распределение. Кроме того, как показал анализ, поставка избыточного количе­ ства 1 г металла в руде 1-го сорта сверх имеющейся для этого сорта на обогатительной фабрике мощности из-за сокращения времени цикла переработки приводит к уве­ личению потерь до 15 кг металла на 1 г металла в ис­ ходной руде, для 2-го сорта эти потери составляют 10 кг, для 3-го — 7 кг.

Цель состоит в том, чтобы определить для заданных условий оптимальную производительность схем перера­ ботки на обогатительной фабрике, обеспечивающую ми-

198

шшалыіые потери металла из-за неравномерности по­ ставки руды по отдельным сортам.

Для одной (любой) из схем переработки потери ме­ талла из-за случайного характера поставки руды можно представить в следующей форме:

где \i — потерн металла при поставке 1 т металла в ис­ ходной руде сверх имеющейся мощности /'-й схемы пере­ работки; а,- — количество поставленного металла в исходной руде на /'-/о схему; х,-— установленная произ­ водительность /-й схемы для переработки руды /'-го сор­ та; p{Ui, ß,-)— вероятность поставки а,- — количества металла в исходной руде и ß,- — среднего количества металла в исходной руде /'-го сорта, поставляемого на обогатительную фабрику.

В связи с тем что на фабрику поступают три сорта руды, которые перерабатываются соответственно на трех технологических схемах, суммарные потери металла со­ ставят

199

со

личество металла в исходной руде, поставленной в из­ бытке.

На основании равенства (4.7) выражение (4.5) мож­ но переписать в виде

П = min£] у, [3; Р (а £— 1, ßi) — х( Р (а,-, ß,)]. (4.8)

Таким образом, получена нелинейная функция, экстремальное значение которой можно найти с по­ мощью метода динамического программирования. Ре­ куррентные соотношения для рассматриваемого примера будут выглядеть следующим образом:

(Ѳ) = min (у,- [ßi Р (х£— 1, ß,-) —

Вычислим сначала значение Яі(Ѳ):

Яі (Ѳ) = 7l [ßxP (хх - 1, ßx) - хгР (хь ß,)]. (4.10)

Подставив значения переменных в формулу (4.10) и приняв для упрощения расчетов только четные значения

л'і ( 0 ^ л'і^ — , O ^ x ^ или 0 ^ Х і^ 2 0 ), получим

щ0 . 5

значения Яі(Ѳ), приведенные в табл. 45.

200

Значения Р (а,-, ß,) находят по таблицам распределе­ ния Пуассона. Как видно из табл. 45, потери металла нз-за неравномерности поставки руды 1-го сорта на обо­ гатительную фабрику тем меньше, чем выше производи­ тельность первой схемы переработки руды, на которой перерабатывается руда 1-го сорта.

минимальное значение которой и будет А2(х2, 0). Вычислим А2 (х2, 0) для всех значений х2 и 0. Тогда

для а'2 = -|-, равных 0, 1, 2, 3, 4 и 5, получим следующие

значения А2(х2, 0). Для Ѳ= 10.

Д2 (л'2, 10) = {10 [2Я (.ѵ2 — 1, 2)—\пР (л-,, 2)] 4- А, (10 — 2х2)).

Из табл. 46 видно, что тіпА 2(л'2, 10) =3,30, т. с. при х2(Ѳ)=3,0; значит, А2(.ѵ'2, 10) =3,30 при х2 = 3,0.

201

Из табл. 48 видно, что минимальные потери металла из-за неравномерности поставки руды 1-го и 2-го сортов на обогатительную фабрику могут быть обеспечены только в случае, если на первой схеме будет перераба­ тываться 8,0 т металла в исходной руде, а на второй схеме-— 3,0 г металла в руде. Эти потери составляют 3,3 кг металла во всей исходной руде.

Третьим шагом расчетов будет определение мини­ мальных потерь металла из-за неравномерности постав­ ки руды на обогатительную фабрику, включая и 3-й сорт.

В соответствии с выражением (4.9)

К (Ѳ) = min (уз [ß3P {х3— 1, ß3) —

0<Л-3< —

03

Х3Р (*з, ß3)] -f' Ä-2 (Ѳ — %Ѵ'3)).

Расчет Хз аналогичен определению Хг\ и результаты его приведены в табл. 49.

что означает: при производительности схем по перера­ ботке 1-го сорта 8 г металла в исходной руде за смену,

203