книги из ГПНТБ / Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений

мой нижней строке (теперь уже) табл. 37, затем глав­ ный элемент таблицы и т. д. Когда в самой нижней строке не будет ни одного положительного значения, задача считается решенной — это и будет искомый ми­ нимум. В нашем примере минимум достигается уже на третьем шаге вычислений, и симплекс-таблица прини­ мает иной вид (табл. 41).

174

Таким образом, минимальная стоимость добычи и переработки руды равна 8314 тыс. руб. при условии, что

применяться ни первый, ни второй типы технологии, на руднике В не должен применяться второй тип, а на руд­ никах В и Г не должен применяться третий тип (с руч­ ной сортировкой в забое). Только при соблюдении ука­ занных условий может быть достигнута минимальная стоимость добычи и переработки руды на указанных четырех рудниках с применением рассмотренных трех типов технологии.

3. НЕЛИ НЕЙНО Е П Р О ГР А М М И РО В А Н И Е

Задачи математического программирования, где целевая функция и (или) ограничения нелинейны или требуется целочисленность переменных, относятся к не­ линейному программированию. Решаются такие задачи, как правило, значительно труднее, чем задачи линей­ ного программирования. При решении задач нелиней­ ного программирования применяются в основном мето­ ды вычислений, приводящие только к приближенным результатам, а для некоторых задач вычислительные методы вообще пока не разработаны.

В дальнейшем будут рассмотрены следующие задачи нелинейного программирования:

1 ) статические детерминированные нелинейные зада­

чи (в данном параграфе;)

2 ) динамические детерминированные задачи (в сле­

дующем параграфе); 3) статические стохастические задачи (гл. 4).

Наиболее распространенный и эффективный метод решения задач нелинейного программирования состоит в преобразовании задач к такому виду, который по­ зволяет применять симплексный метод. Такое преобра­ зование в большой степени зависит от типа нелинейной задачи. В одних случаях вообще ие требуются преобра­ зования, в других аппроксимация необходима, причем ее можно довести до любой требуемой точности за счет увеличения количества вычислений.

Второй метод решения задач нелинейного програм­ мирования основан на применении рекуррентных соотно­ шений Р. Веллмана [13, 55].

175

Третьим известным методом решения задач нелиней­ ного программирования может быть назван градиент­ ный метод.

Наконец, последний метод — классическая оптимиза­ ция, заключающаяся в применении дифференциального исчисления. Однако практически этот метод приме­ няется очень редко из-за трудоемкости вычислений. Классические методы оптимизации применяются в ос­ новном при теоретических исследованиях. Три первых метода обычно применяют для решения практических задач ( о н и будут рассмотрены ниже).

Преобразование нелинейных задач в приближенные линейные

Преобразование нелинейных задач в линейные является одним нз способов приведения нелинейных за­ дач к такому виду, чтобы можно было для 11X решения

применить симплекс-метод.

Некоторые нелинейные функции могут быть пред­ ставлены в виде суммы линейных функций, например

Нелинейные функции, которые могут быть приведены к линейному виду указанным способом, называются се­ парабельными.

В нелинейных задачах нелинейными могут быть как целевая функция, так и ограничения.

Рассмотрим пример преобразования нелинейной за­ дачи в линейную. Представим себе, что па одном из рудников возможно применение двух систем разработ­ ки— камерной с массовым обрушением целиков и гори­ зонтальными слоями с полной закладкой выработанно­ го пространства твердеющими смесями п селективной выемкой. Первая система позволяет достигнуть высокой производительности труда и низкой себестоимости до­ бычи 1 т руды, но приводит к большому разубоживаншо. Вторая система позволяет добыть руду с меньшим разубоживанпем, но очень трудоемка, и себестоимость

176

(млн. r/год), через х2 объем добычи руды горизонталь­ ными слоями с полной закладкой выработанного прост­ ранства твердеющей смесыо и селективной выемкой (млн. т/год). На основании исследований па данном руднике были получены следующие соотношения: себе­ стоимость 1 кг металла в добытой руде (С|)

Ci — 2Xl + X.,;

себестоимость добычи и переработки 1 кг металла (С2)

С2 = 2xi -f Зхг;

содержание металла в добытой руде (Z, %)

Z 1 12лу — x^ -j-- Хо.

Задача состоит в том, чтобы при себестоимости до­ бычи 1 кг металла в руде не выше 4 руб. и себестоимо­ сти добычи и переработки не более 6 руб. за 1 кг металла определить максимальное содержание металла в добытой руде и соотношение систем разработки, обес­ печивающих соблюдение указанных условий.

Иначе данную задачу можно переписать следующим

Как видно из задачи, целевая функция нелинейная, а ограничения линейные.

Попробуем целевую функцию представить в виде, удобном для применения симплекс-метода, т. е. преобра­ зовать ее в линейную. Перепишем целевую функцию в виде суммы двух функций:

разовывать и выражать через другие переменные, пре­ образующие нелинейные зависимости в кусочно-линей­ ные.

Для преобразования /у(хі) разобьем область изме­ нения Хі на интервалы Ах,(1-= 0,25. При этом следует

иметь в виду, что ли не может быть более 2,0, как это видно из функции М л-,) 11 ограничений, т. е. 0 ^ л',^2.

+ 0,18756з + 0,062564 — 0,06255s — 0,187566 — 0,312567 —

178

8

ныв; 2 öft= 0,2561 + 0,2502 0,256з + 0,2564 + 0,256s + 0,256g-Ь

”Ь 0,2507 ~Ь 0,2568-

Таким образом, нелинейная задача преобразована в линейную и может быть решена симплекс-методом.

Применив для решения уже преобразованной задачи

за счет добычи руды камерной системой с обрушением

1 кг металла в руде не выше 4 руб. и себестоимость до­

бычи и переработки 1 кг металла не более 6 руб.

В связи с большой трудоемкостью расчеты здесь не приводятся. В работах [26, 35, 38, 55] можно более под­ робно познакомиться и с другими методами линейной аппроксимации нелинейных задач, включая случаи не­ линейности как целевой функции, так и ограничений и квадратичного программирования, также позволяющего применять для решения симплекс-метод.

Градиентный метод решения нелинейных задач

Градиентный метод является также приближен­ ным и заключается в последовательном приближении к решению задачи. Каждый шаг решения при использова­

12* 179

нии данного метода постепенно приближает к точке максимума пли минимума в зависимости от поставлен­ ной задачи. Граднентный метод применяется в основном при решении нелинейных задач на быстродействующих электронно-вычислительных машинах. Он не требует сепарабельности функции, однако необходимым усло­ вием является дифференцируемость и непрерывность как самих функций, так и их первых и вторых произ­ водных.

Метод назван градиентным потому, что при решении нелинейных задач используется вектор частных произ­ водных функций, называемый градиентом функции.

Если, например, частные производные вычислены в ка­ кой-то определенной точке у \ = { х п , *12, •••,*іл), то гра­

диентом будет в данном случае либо вектор, либо точка в /г-мерном пространстве. При этом вектор из этой точ­ ки направлен в сторону максимальной скорости измене­ ния значения функции.

; = ( 1, /г). После этого находят значения компонент вто­ рой точки у2 по формуле r/2j= і/іj+ ctiAf(t/ij); аналогич­

но далее

( 3 . 7 8 )

где а — коэффициент, порядок определения которого бу­ дет рассмотрен в числовом примере.

В результате выполнения указанных расчетов полу­

(точке максимума или минимума в пределах области, фиксируемой ограничениями).

При определении значения а следует иметь в виду, что при слишком большом а число шагов будет меньше,

180

но появится опасность пропустить в промежутке между двумя соседними точками искомый оптимум. Чрезмер­ ное уменьшение а может привести к неоправданно боль­ шому числу приближений (шагов). Кроме того, направ­ ление градиента не всегда совпадает с линией, соеди­ няющей начальную точку с точкой оптимума, в связи с чем могут иметь место отклонения от этой линии и обус­ ловленное этим замедление скорости сходимости. В на­ стоящее время существуют методы выбора оптимальных коэффициентов [55] и расчета поправок к градиенту с использованием вторых частных производных для сни­ жения отклонения от линии, соединяющей начальную и оптимальную точки.

Приведем пример использования градиентного мето­ да для решения нелинейной задачи. Для простоты и сравнения рассмотрим нелинейную задачу предыдуще­ го раздела и решим ее с использованием градиентного метода.

В данном примере следует найти maxZ = 2xi—х^+ + х2 при условии 2хі + а'2^4, 2хі+ 3x2^6.

Определим частную производную целевой функции

где у = (хі, хг) — обозначение точек; (2—2хь 1 )— коор­ динаты точек градиента, представленные в виде векто­ ра-строки (это и есть вектор частных производных).

Примем за исходную (начальную) точку начало ко­ ординат, т. е. г/0= (0, 0). Вычислим для этой точки гра­ диент, т. е. подставим значения у0 в выражение (3.79), тогда

Следующая точка в соответствии с (3.78) будет иметь координаты yi^yo + aiZ'(уо): подставив значения, по­ лучим

181

максимально допустимое значение а = 0,857. Зная допу­ стимое значение а, можно определить максимально воз­ можное. Для этого в целевую функцию подставляем значение у\ из уравнения (3.81):

Z = 2-2х — (2а)2 -|- а, дифференцируем ее и приравниваем нулю:

можное значение а меньше допустимого, и мы не дохо­

т. е. отличается от градиента Z'(y0), а это значит, что и двигаться дальше мы должны в сторону нового гра­ диента:

Откуда «9= 0,8125, что означает 0 ^ а 2^0,8125.

Второе ограничение дает ос2<0,8125, что легко про­ верить. Подставляя в целевую функцию значение у2 из уравнения (3.85), дифференцируя и приравнивая ее нулю, получаем максимально возможное а2:

Z = 2 (1,25 — 0,5'Ло) — (1,25 — 0,5х,)2 4- 0,625 + „,

Z' = — 1 + 1,25 — 0,25аа + 1 = 0 ,

а2 = 5.

Итак, мы можем принять а2 = 0,8125. Тогда, подставляя

значения у\, а2, Z'(уі) в (3.85), получим координаты третьей точки, приближающей нас к максимуму:

или

№ = (0,844; 1,44).

182

В точке у2 градиент Z' (у2) [см. уравнение (3.79)] тогда

будет иметь следующее значение:

Z'(y,) = (2 — 2-0,844; 1,00) = (0,312; 1). (3.87)

Четвертая точка в соответствии с (3.79) должна иметь координаты

Уз — (0,844; 1,44)+ (-0,0022).(0,312; 1,0),

или

у3 = (0,844; 1,438).

Градиент в четвертой точке определять нецелесооб­ разно, поскольку координаты третьей и четвертой точек находятся практически рядом, т. е. мы уже вплотную подошли к точке максимума Z.

Сравните: У2 —(0,844; 1,44) и і/3= (0,844; 1,438). Про­

верим еще раз полученные данные с точки зрения вы­ полнения граничных условий: 2а'і+ х2< 4,2-0,844 +

+ 1,438 = 3,126<4, 2х\ + Зх2< 6,2 • 0,844 + 3-1,438 = 6,00.

Проверка показала, что точка максимума находится на граничной липни 2л'і+ З х 2 = 6.

Вычислим теперь значение целевой функции в най­ денной точке: ma.\Z = 2 - 0,844—0,8442+ 1,438 = 2,426. Ра­ нее для этой же задачи было получено х'і = 0,75, я?=1,5,

ZMUKC= 2,4374.

Сравнение результатов расчета двумя разными ме­ тодами показывает, что разница между ними составляет менее 0,5% и не может играть существенной роли при оценке точности того или другого приближенного мето­ да. Конечно, можно было бы продолжить расчеты на­ шего примера с помощью градиентного метода и даль­ ше, но, как только что было указано, к существенному повышению точности определения оптимума это все равно не привело бы.

183