книги из ГПНТБ / Чесноков, Н. И. Оптимизация решений при разработке урановых месторождений

можно. Поэтому преимущество применения вероятност­ ных векторов-строк п матриц очевидно.

Вернемся к примеру. Пусть в какой-то из дней на фабрику поступила руда с содержанием металла А. Тогда па следующий день в соответствии с условием задачи поступит руда с содержанием металла А, Б или В с вероятностью РА, выражаемой вектором-строкой

Рл (0,5 0,25 0,25).

Через 2 дня на фабрику поступит руда с содержанием

А, Б, В с вероятностями Р:

РА = 0,5-0,5 + 0,25-0,5 + 0,25-0,25 = 0,437,

РБ = 0,5-0,25 + 0,25-0 + 0,25-0,25 = 0,188,

Р в = 0,5-0,25 + 0,25-0,5 + 0,25-0,5 = 0,375.

Эти расчеты можно более наглядно проиллюстрировать рисунком (рис. 13), где изображены два шага марков­ ского процесса (обозначения и конкретные значения вероятностей взяты из рассматриваемого примера). Значения вероятностей по каждой ветви перемножаются, а затем на каждом шаге процесса вероятности, относя­ щиеся к одноименному параметру (или переменной), складываются, что равносильно перемножению ,матриц. Сравнение результатов расчета по графику (см. рис. 13) и перемножение матриц показывают их полную равно­ значность. Если через 1 день вероятность поступления

Если через 1 день после поступления сорта А вероят­ ность поступления сорта Б равна 0,25, то еще через день вероятность поступления сорта А после сорта Б будет 0,25-0,5 = 0,125 (см. первый столбец матрицы Р ) . Ана­ логично вероятность поступления сорта А через 2 дня (при сорте В — через I день) равна 0,25-0,25 = 0,0625. Общая вероятность поступления руды сорта А через 2 дня будет равна сумме произведений вероятностей по­ ступления руд различных сортов через 1 день на вероят­ ности поступления сорта /1 после поступления соответ­

ствующих сортов А, Б и В.

112

Таким образом, вероятность поступления на фабри­ ку руды сорта А через 2 дня равна произведению век­ тора строки А на столбец А матрицы Р . Аналогично для сортов Б и В вероятности поступления руды раз-

Р

ЕА - 0,2500

0,1250

0 ,0 6 2 5

0 ,0 3 7 5

2 6 = 0,1250

0,0000

0,0625

0,1875

2 В = 0,1250

0,1250

0,1250

0,5750

Е (4*6*8) = 0,4375

0,1875

0,3 7 5 0

1,0000

Р и с. 13. Графическое изображение вероятности поступления руды на фабрику (цепь Маркова).

ных сортов по дням выглядят следующим образом. На­

іез 2 дня на завод поступит руда с вероятностями

А Б В

и, сколько бы ни умножали As на матрицу Р , данный вектор-строка практически не изменится.

Как видно из изложенного, вероятность поступления

Рассмотренный пример является примером марков­ ского процесса, или марковской цепи. Марковская цепь— это конечный стохастический процесс, состояния которого изменяются только в дискретные моменты вре­ мени. Марковская цепь полностью определена, если ис-

114

ходное состояние процесса фиксировано и для любого п соблюдается условие

А п= Ап_,Р.

Для расчета марковской цепи необходимо знать ис­

Выполнив аналогичные расчеты по определению ве­ роятностей поступления руды сортов А, Б и В на обога­ тительную фабрику после поставки на фабрику сорта Б (исходный пункт расчета), получим соответственно

лучается, если принять за исходный пункт поставку на обогатительную фабрику руды сорта В, т. е.

ты говорят о том, что мы имели дело с особым типом марковских процессов, позволяющих относительно бы­ стро определить долгосрочный прогноз (особенно если переход из одного состояния в другое происходит через 1 день, как принято в рассматриваемом численном при­

мере, в течение месяца, квартала или года). Такой тип

8* 115

марковских цепей называют регулярным, и отличие его от других состоит в том, что какая-то степень матрицы вероятностей перехода цепи не содержит элементов, равных нулю.

Любая матрица вероятностей перехода, не содержа­ щая нулей, определяет регулярную марковскую цепь.

В качестве примера нерегулярной марковской цепи можно рассмотреть, например, матрицу перехода

Такая матрица в любой степени содержит нуль в правом верхнем углу.

Регулярность марковских цепей имеет следующий вероятностный смысл: марковская цепь является регу­ лярной, если в некоторый момент времени процесс мо­ жет оказаться в любом из состояний цепи независимо от его начального состояния.

Самый простой метод проверки цепи на регуляр­ ность заключается в том, что нужно проследить, яв­ ляются ли элементы степеней матрицы вероятностей перехода положительными. При этом нет необходимости вычислять истинные значения этих элементов. Доста­ точно обозначить любой элемент через а, если он не ра­ вен нулю, и через нуль, если он равен нулю.

■Например,

нужно исследовать (проверить) на регулярность. Пере­ пишем матрицу Р в виде

ивозведем ее в степень:

Я2 =

116

Таким образом, доказано, что эта матрица вероятно­

б) строки матрицы Т образуют одинаковый вероят­ ностей вектор t;

в) все компоненты вектора положительны.

Таким образом, утверждается, что для больших п долгосрочный прогноз можно дать раз и навсегда неза­ висимо от значений п, т. е. рц приблизительно равно для всех больших п. Кроме того, долгосрочный прогноз не зависит от начального состояния исследуемого про­ цесса. Другими словами, ta = tj зависит только от рас­ сматриваемого состояния ßj, а не от начального состоя­ ния. Поэтому вероятность состояния aj после достаточ­

или в виде одной матрицы

117

Полученный в примере предел означает, что независи­ мо от исходного состояния (какую бы руду на обога­ тительную фабрику ни поставили в первый день) за длительный период времени на фабрику будет постав­ лено 40% руды сорта А 20%, руды сорта Б и 40% руды сорта В. Этот период времени в соответствии с расче­

служить надежным показателем месячного, кварталь­ ного и годового планирования, если на содержание ме­ талла в поставляемой руде не влияют еще какие-либо существенные факторы.

руде сорта В\ 0,400; 0,200; 0,400 — удельное количество руды соответственно сортов А, Б и В в долях единицы.

Подставив.эти значения в (2.54), получим

и более, целесообразно планировать среднее содержа­ ние металла в поступающей на обогатительную фабрику руде, равное 0,078%. На основании этой величины сле­ дует планировать и выпуск металла в концентрате.

Область применения теории марковских цепей, есте­ ственно, не ограничивается рассмотренным численным примером. Методы расчета марковских цепей могут быть с успехом использованы при поисках и разведке месторождений, их разработке и переработке руд. Ши­ рокое применение марковские процессы находят в рас­ четах надежности комплексов шахтного оборудования, образующих взаимосвязанные системы. Методы расчета марковских цепей целесообразно применять при плани-

118

роваиии и прогнозировании в условиях стохастического изменения показателей и с учетом фактора времени.

Более подробно методы расчета марковских процес­ сов рассмотрены в работах [8 , 36, 38, 48], на основании

которых был подготовлен настоящий раздел.

4. МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)

Метод Монте-Карло нередко называют методом статистических испытаний или методом стохастического моделирования.

Идея метода заключается в разработке стохастиче­ ской модели процесса на основе известных распределе­ ний плотности вероятностей, характеризующих процесс, с применением таблиц случайных чисел.

Рассмотрим первый пример. На карьере, отрабаты­ вающем месторождение с неравномерным оруденением, при очистных работах экскаватор с помощью радиомет­ ра производит раздельную погрузку руды и пустой по­ роды. Причем в автосамосвалах, используемых для перевозки пустой породы, пе разрешается транспорти­ ровать руду и, наоборот, в рудных автосамосвалах не допускается транспортировка пустой породы.

На транспортировке руды от забоя до бункеров за­ нято 5 автомашин. В среднем за смену на карьере добы­

и других причин объем добычи руды за смену колеб­ лется в значительных пределах и, как показал анализ,

119

(табл. 16). Выполненные расчеты показали, что стан­ дартное отклонение добычи руды за смену равно 245 т. Производительность одного автосамосвала на транспор­

40 т/смена. Имея перечисленные исходные данные, мож­ но определить, насколько полно выделенные 5 автосамо­ свалов используется на транспортировке руды,

Особенность метода Монте-Карло состоит в том, что каждое число одного распределения можно скомбини­ ровать с другим. Учитывая, что количество добываемой за смену руды и производительность одного автосамо­ свала на доставке руды от забоя до бункеров — случай­ ные величины, комбинация чисел их распределений так­ же должна быть случайной. Для того чтобы обеспечить случайную комбинацию двух чисел двух разных распре­ делений, пользуются, как правило, таблицами случайных чисел (табл. 18) (математическое ожидание равно ну­ лю, среднеквадратическое отклонение— 1 ,0 )

Для решения поставленной задачи составим табл. 19

ирассмотрим ее содержание:

1) первый столбец заполняется случайными числам

всоответствии с табл. 18, при этом ряд случайных чисел

может быть любым (для рассматриваемого примера взят первый ряд табл. 18);

120

*с**ОС000І''-С0СГ>1''-ЮГ-«тГГ“'-С0 іЛ< М <МССі-0і0С '4ООООСЧ

о— СОСОЮЮСПСОО'^О^СО*^иО('--'ФСП('-СП) — COCMCOCOlO

СО О О (N (N — ( N N ( 7 ) - СЧ ^ -^ Ю ^ СООООС ^ О — СО — 1"- ’’Ф

——< CD СО Г-- О — (МСОСПСО"^<МГ^-0>СОО^СО — Tt-CNO w o

■^ in - 'iO in iO 'tQ O C O O O ^ O ^ O iO lO iM — ~ От}*СО — LOO

o o — о о о с м о о о о — о — — о — — о — — o o — о

1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I 1

^COCMNCDCOCn(OCD(MCO — ( N N 0 O — O O - O D ’tlO lO O

СО^ООСПСМГ^-+*тГіЛООСОСО|---СООЮО'^а)ОСОГ^-'^ГГіСО

O fO N o O - t — O M iß W O t O W O — K O T P O O N t O W O

о

О — — 0 0 01 — — о о о о — о о о о — — о о о о — о

юЮО(МООСО’^ Ю О О М '' ІЛ — О - О О О О С О Ю П О М О

lO rj<OD'+o5CON00050tOOOlWOONMOOOC4COiO — ОСО Ю О Ю Ю Ю О Ю О З С О О О С Л О О С О П Ю С О ^ ^ - С О О О ^

со O - " O ( N W N W W W O - O C O C ^ O O ^ - ’tC O O C O - C O 0

O IO O O O — O O O C N O O O O — o — — o o o o o — о