книги из ГПНТБ / Судовые системы автоматического контроля (системный подход к проектированию)

т. е.

Найдем среди сравниваемых вариантов тот, у которого пока­

затель хг (наиболее важный) имеет наилучшее значение, т. е.

и* : х1(и) = sup хг (и),

и^и

Вариант и* будем считать наилучшим.

Этот метод находит очень широкое применение благодаря своей

простоте. Для его применения не требуется даже численной оценки значений показателей xt у сравниваемых вариантов, так как доста­

точными являются качественные оценки типа «лучше—хуже».

Если имеется несколько вариантов, у которых значения пока­ зателя хг одинаковы, то производится их сравнение по показа­

казателей или вариантов). Приведенная процедура естественным образом распространяется на случай, когда число вариантов п > 2 .

Основной недостаток рассмотренного метода — возможность пре­ кращения процесса сравнения вариантов на любом шаге, в том числе и на первом. В этом случае сравнение производится уже не по всему множеству X, причем не учитывается также то обстоятель­ ство, что часто худшее значение более важного показателя может быть компенсировано за счет превосходства по остальным, менее важным.

Рассмотрим способ усовершенствования этой процедуры. Пусть при сравнении вариантов иг и ц2 по показателю х г получено х х (мх) >

61

операций [20]. Его достоинство заключается в возможности оценки «уступки» по показателю xh за счет которой достигается выигрыш по

обычно вызывает трудности. Чаще всего ее находят методом экс­ пертных оценок. Недостаток метода также в его высокой трудо­ емкости при большом числе параметров и вариантов.

Разновидностью метода последовательных уступок является часто применяемый метод штрафных функций. В этом случае вводятся некоторые функции срг, монотонно зависящие от Axt. С их помощью

мается квадратичной, хотя возможны разные виды этих функций для

различных показателей.

Рассмотрим пример применения метода «последовательных усту­

пок». При проектировании судовой САК рассматривались три ва­

рианта построения системы, различающиеся структурой, методами

кодирования и представления информации, организацией диагно­

стической процедуры. При этом по техническому заданию были по­

ставлены следующие ограничения на основные показатели системы:

Показатели перечислены в порядке убывания их важности.

В результате анализа предложенных вариантов были получены

По показателю х 4 лучшим считается вариант I. Однако преиму­ щество перед остальными вариантами на величину Ах4 = 0,02 было

и потому в дальнейшем сравниваются последние варианты. Пока­

затель х3 для всех вариантов оценивается одинаково. Далее сравне­ ние проводится по показателям х4 и х5. Преимущество варианта III

по показателю х4 на Дх4 = 0,2 м3 несущественно, поэтому лучшим

62

был признан вариант II, который имеет лучший показатель х6.

Этот вариант был принят к дальнейшей разработке.

Рассмотренные методы позволяют вместо сравнения векторов X

производить последовательное сравнение одноименных показателей

системы, которые являются скалярными величинами.

Другим методом перехода от векторной величины к скалярной является использование нормы вектора. Предположим, что степень

влияния каждого из показателей системы на ее эффективность можно

Рассмотрим вопросы выбора значения коэффициента р в этом выражении. Будем считать весовые коэффициенты рг случайными

величинами, имеющими среднее значение ц,- и функцию распределе­ ния / (р;). Тогда среднее значение нормы вектора X будет равно

Одним из требований к функционалу, принимаемому в качестве

критерия, является наличие минимальной дисперсии. Рассмотрим в связи с этим максимальную вариацию нормы (2.3.5) при измене­

нии Ц;. Максимальная вариация, очевидно, будет иметь место при

максимальной вариации всех цг, i — 1, 2, . . ., т и соблюдении условия нормировки

т

Известно, что для вариаций такого вида минимум достигается

при р = 1 [44].

Таким образом, в качестве скалярной величины, которую можно использовать для оценки эффективности САК по совокупности ее

показателей, следует принять октаэдрическую норму вектора X

тт

Входящие в выражение (2.3.8) показатели системы xt имеют раз­ ные размерности или масштабы, что затрудняет его использование.

В связи с этим необходимо ввести в рассмотрение некоторую функ­ цию L (Xi), с помощью которой все показатели системы преобразуются

63

цию L (х^ функцией полезности параметра хс.

Под полезностью обычно подразумевают одну из важнейших

категорий, отражающую ценностный аспект принимаемых решений. С помощью этой категории можно оценивать и сопоставлять различ­ ные решения и действия. Полезность принимаемых решений и совер­ шаемых действий формализуется заданием полезности как функции этих решений или действий, т. е. в виде функций полезности, причем

функции полезности не обязательно должны отражать какое-либо

реальное содержание.

Понятие полезности было введено в теорию игр [62]. Там же

доказано существование такой функции L, отображающей множество

всех решений в вещественные числа, что для любых двух решений А

и В и любого р £ [0,1], L (Л) > L (В) тогда, и только тогда, когда А предпочтительнее В, причем

L 1цА + (1 — р) В } = pL (Л) + (1 — р) L (В).

Функция L единственна с точностью до линейного преобразо­

вания.

Таким образом, можно утверждать, что для каждого показателя системы.xt существует функция полезности L {xt). Существует такая

функция L (и) и для каждого варианта системы, причем

В этом выражении весовые коэффициенты pt. характеризуют соот­ ношение между показателями xL по их вкладу в общую полезность варианта L {и), а функции полезности отдельных показателей L(x{) измеряются по одной шкале 0 < L (х£) < G (обычно G = 1).

На использовании выражения (2.3.9) основан метод аддитивной полезности. При этом следует учитывать, что все слагаемые должны отвечать требованиям аддитивности, которые выражаются следую­ щей системой аксиом:

Требование аддитивности накладывает ряд ограничений на учи­ тываемые в выражении (2.3.9) показатели системы. Во-первых, они

должны быть независимы в смысле полезности. Выполнение этого требования не всегда очевидно. Бесспорным признаком удовлетворе­ ния такому требованию является возможность оценки относитель­ ной важности р(. любого показателя при постоянных значениях всех

64

остальных, причем оценка не должна зависеть от взятых в отдель­ ности значений других показателей.

Во-вторых, функции полезности всех показателей должны быть непротиворечивы. Это означает, что при улучшении показателей xt все L (xt) должны изменяться в одном направлении. В случае воз­ растания L (х;) при улучшении показателей предпочтительным будет вариант с наибольшим значением L (и), и наоборот.

Таким образом, введя весовые коэффициенты, характеризующие важность каждого показателя САК, и функции полезности значений этих показателей, можно перейти от векторной оценки системы к ска­ лярной, учитывающей совокупность показателей САК и допускаю­ щей сравнение вариантов системы. Применение того или иного из рассмотренных методов оценки вариантов системы зависит от имею­

щейся информации о значениях показателей сравниваемых вариан­

тов, возможности оценить их важность, количества вариантов, раз­

личия в значениях показателей и пр.

§ 2,4

ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ САК

В предыдущем параграфе указывалось, что функция полезности

для каждого значения показателя х( является единственной, с точ­

ностью до линейного преобразования, т. е.

L (х{) = aL (xt) + р, а > 0 .

Следовательно, применяя различные методы определения функции

полезности, можно получить и разные оценки полезности при одном и том же значении xt. При использовании метода аддитивной полез­

ности при сравнении вариантов для устранения методической ошибки в оценке L (и) необходимо пользоваться одним каким-либо способом определения полезностей всех показателей.

Методы построения функций полезности весьма разнообразны. Применение того или иного метода определяется имеющейся инфор­

мацией, способом задания значений показателей, опытом специа­

листа. Одним из общих методов построения функции полезности является метод средней точки [105, 108].

Пусть для показателя х имеются минимальное а и максимальное b

допустимые значения. Эксперт, занимающийся построением функ­ ции полезности, находит такое значение с показателя х, при котором полезность его L (с) равна

(2.4.1)

Далее определяется значение d с полезностью

значение е, полезность которого

Ь{е)=1ы ц т

и т. д.

Другой, иногда более удобный, способ построения функции

полезности состоит в том, что эксперта просят последовательно

L (Ь) — L (а) = 2 [L (с) — L (а)}

и задавшись полезностями значений а и Ь, можно легко найти по­

Для судовых систем часто можно применять более простой спо­ соб построения функции полезности, свободной от субъективных оценок экспертов. Предпосылкой для использования такого метода является то обстоятельство, что пределы возможного изменения

случае можно считать функцию полезности линейной. Тогда для определения полезности значения показателя х можно использо­ вать выражение

где х — полученное значение параметра, а хп— максимально воз­ можное (предельное) его значение.

Однако при использовании выражения (2.4.2) следует учитывать ряд обстоятельств. Во-первых, определить значение хп обычно

66

весьма трудно и для разных показателей это может быть сделано далеко не с равной точностью. Во-вторых, обычно разработчика системы интересует не полезность абсолютного значения показателя, а полезность его улучшения относительно требований ТЗ. И в-третьих, все показатели должны быть непротиворечивы с точки зрения их полезности. В связи с последним показатели системы сле­ дует разделить на две группы. Первую составят показатели, для которых повышение численного значения вызывает увеличение полезности, т. е. L (х) > L (х0), если х > • х 0. Такие показатели будем

называть «улучшающими», так как их повышение улучшает систему. К ним относятся вероятность и продолжительность безотказной

работы, коэффициент готовности, полнота и достоверность контроля,

универсальность, живучесть и т. д.

Для показателей второй группы увеличение полезности связано

рост их значений ухудшает систему. К ним относятся время восста­ новления, вероятность отказа, масса, габариты, загрузка операторов и т. д.

Исходя из линейности функции полезности и учитывая указанные обстоятельства, для определения полезности значения параметров

сравниваемых вариантов системы целесообразно использовать вы­

ражения

max х{ (и) и min х (- (и) — соответственно максимальное и минималь­ ное значения оценки г'-го показателя в сравниваемых вариантах си­ стемы Mg U\ x 0i — значение i-ro показателя, заданное в ТЗ.

Выражение (2.4.3) применяется для «улучшающих», а (2.4.4) — для «ухудшающих» показателей.

Если в примере, рассмотренном выше, х 0 = 3 м3, и имеются три варианта системы ил, м2, ы3, в которых объем аппаратуры равен соот­ ветственно х (Uj) = 2,8 м3, х (м2) = 1,9 м3 и х (м3) = 2,5 м3, то по­ лезности этих значений определяются по выражению (2.4.4):

=-O -lS;

L [ x { u , ) ] =|^ Ц - = 1,°;

L [х (м3)] = з __ д’д- = 0,45.

При определении значений полезности по графику рис. 2.3 ре­ зультаты получаются примерно одинаковые.

Для оценки полезности тех показателей системы, которые не имеют физических единиц измерения, часто применяют оценки в баллах. Это относится к эргатическим, эстетическим и некоторым другим. показателям. При использовании балльных шкал необхо­ димо учитывать ряд их особенностей, вызывающих иногда серьезные затруднения и приводящих к ошибкам.

Балльная шкала для измерения полезности не является форма­

лизованной, т. е. для нее отсутствуют четко определенные точки

отсчета (опорные интенсивности), отстоящие друг от друга на еди­ ницу измерения. Возможно применение двух типов балльных шкал:

порядковой и интервальной [77]. В самом общем виде эти шкалы

можно охарактеризовать следующим образом. Если между любыми

парами значений показателей установлены отношения порядка,

например, «лучше-хуже», т. е. для одного из них фиксируется боль­

шая степень выраженности признака, по которому их сравнивают,

то числа, приписываемые этим значениям, образуют порядковую

шкалу. Типичным примером порядковой шкалы является шкала школьных отметок, шкала Бофорта и т. п. Если для любых двух

чисел на порядковой шкале известно расстояние между ними, то она

превращается в интервальную шкалу, которая характеризуется по­

стоянной единицей измерения. Примером интервальной шкалы слу­

жат шкалы Цельсия, Фаренгейта, Кельвина для измерения темпе­

ратуры и т. п.

Из приведенных характеристик шкал следует, что полезность

значений показателей САК обычно можно оценить по балльной порядковой шкале.

Для каждого показателя существует своя шкала оценок полез­ ности. При ее построении следует учесть, что шкала с небольшим числом разрядов позволяет получать довольно грубые оценки.

Вместе с тем слишком большое количество интервалов на шкале может привести к тому, что специалист не сможет осуществить такое тонкое различие. Обычно используют шкалы с нечетным числом

оценок: 5, 7, 9 и 11. Необходимо отметить, однако, что в многочислен­

ных опытах, связанных с психрометрическими измерениями, уста­ новлено малое влияние числа делений шкалы на результаты изме­ рений [77].

Важнейшей особенностью балльной порядковой шкалы является то, что на ней не определено равенство интервалов. Например, если характеристика А оценена в 1 балл, характеристика В в 3 балла,

а характеристика С — в 5 баллов, то отсюда совсем не следует, что С

настолько же лучше В, насколько В лучше А. Вследствие этого баллы порядковой шкалы нельзя суммировать и умножать между собой. Отсюда вытекает очень важное обстоятельство: если необходимо получить среднее значение одной характеристики по результатам ее оценок несколькими экспертами, то для этого нельзя использовать

среднее арифметическое значение их оценок. В качестве средней

оценки можно применить величину, вычисление которой основано на математических операциях, разрешенных на порядковой шкале —

медиану (Me). В качестве меры рассеяния в силу тех же причин

68

следует использовать не дисперсию оценок, а полуинтерквартиальный размах Q их распределения.

Прежде чем рассмотреть вопросы вычисления этих величин, поясним методику определения балльных оценок. Вся шкала делится на ряд интервалов (как уже говорилось, число оценок лучше брать нечетным), упорядоченных по степени полезности. Каждый интервал

может быть обозначен числом (баллом) или иметь словесное наимено­

вание типа «плохо», «хорошо», «отлично» и т. п., причем полезно

сочетать числовое обозначение со словесным наименованием. Для

рассматриваемых задач можно воспользоваться следующими пятью оценками: «плохо» —■ 1 балл, «удовлетворительно» — 2 балла, «хо­

рошо» — 3 балла, «очень хорошо» — 4 балла, «отлично» —• 5 баллов.

Между экспертами, проводящими оценку, должно быть достигнуто

единство взглядов на содержание указанных оценок.

При оценке полезности значения показателя эксперт должен

отнести значение показателя каждого варианта системы к одной

из оценок шкалы. Результаты таких оценок могут быть представ­

лены матрицей, имеющей I строк (I — число вариантов) и w столбцов

(w —• число оценок шкалы). На пересечении г-й строки и /-го столбца

указывается число экспертов, отнесших t-й параметр к /-й оценке. Как уже говорилось, в качестве средней оценки при применении

порядковой балльной шкалы используется медиана распределения

оценок, отмечающая точку на шкале возможных оценок, ниже кото­

является полуинтерквартиальный размах Q. Эта величина характе­ ризует не отклонение от какой-либо определенной средней, как

где Qx — первая квартиль, т. е. точка на шкале, ниже которой лежит 25% всех оценок; Qs — третья квартиль, т. е. точка, ниже которой лежит 75% всех оценок.

Учитывая, что

п

69

Величина Q может быть интерпретирована в данном случае как мера согласия экспертов в их оценках. Действительно, при полном

совпадении оценок экспертов пх = л 2 и значение Q будет минималь­

ным (Q = 0,25). Если же эксперты дают оценки на случайном уровне,

т. е. в значительной степени произвольно, то при большом п число

оценок в каждом интервале шкалы будет стремиться к величине — ,

а значение Q — к 0,25w, где w — число оценок шкалы. Чем ближе Q

к0,25, тем более согласованы результаты.

Ра с с м о т р и м п р и м е р . Восемь экспертов оценивали по балльной шкале возможную утомляемость операторов в двух вари­ антах судовой САК. Были приняты следующие категории оценок:

«очень сильная» — 1 балл, «сильная» —■ 2 балла, «вполне допусти­

мая» — 3 балла, «нормальная» — 4 балла, «малая» — 5 баллов. Полученные оценки представлены в таблице:

н— — 5 3 —

Вычислим по (2.4.5) средние оценки (медианы) для обоих ва­ риантов:

M e, = 3 + ^ = 0 . = 4,33,

Меп=3+М_^° =3,8.

Полуинтерквартиальный размах составляет: для первого варианта

Qi = 0,25 § = 0,66,

и для второго варианта

<2„ = 0 ,2 5 -§ = 0,4.

Следовательно, согласие в оценках можно считать хорошим.

Если необходимо, чтобы балльные оценки менялись в пределах от 0 до 1, то при пяти категориях оценки можно использовать следу­ ющие баллы: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 и 1,0.

70