книги из ГПНТБ / Радченко, А. К. Методика демонстрационного эксперимента по технической механике учебное пособие

действием поперечной силы P брус изгибается и в первом и во втором опытах. Но отклонение бруса от начального

положения под действием одной и той же силы P зависит

от вида закрепления — меньше для бруса, находящегося на двух опорах, и больше для защепленного.

По деформации бруса видно, что волокна, располо­ женные в выпуклой его части, растягиваются, волокна вогнутой части бруса испытывают деформацию сжатия. Отсюда следует, что переход от растяжения к сжатию

происходит постепенно, а значит, в брусе есть такой

продольный слой, который не испытывает ни растяжения, ни сжатия. Такой продольный слой бруса называется нейтральным.

Неравномерное растяжение и сжатие слоев бруса при­ водит к возникновению нормальных напряжений различ­ ной величины. Это можно доказать аналитическим мето­ дом, применив закон Гука:

σ = Ez = E —,

P

где Y — расстояние деформированного слоя бруса от ней­

тральной оси;

р — радиус кривизны нейтрального слоя.

180

Рассматривая поперечные линии, нанесенные на по­ верхность бруса, видим, что они остались прямыми и нормальными к его нейтральному слою, но повернулись на некоторый угол и их параллельность нарушилась. Это

Изгибаем руками модель упругого тела (рис. 4.19). В данном случае в поперечных сечениях средней части бруса возникает только изгибающий момент. Такой из­ гиб называется чистым прямым изгибом.

По деформации спиральных пружин можно сделать вывод, что наибольшие напряжения возникают в крайних волокнах выпуклой и вогнутой части тела (отдельные плиты модели остаются плоскими и нормальными к его нейтральной оси до и при деформации, но повернулись относительно вертикальной оси симметрии в разные сто­

роны).

(рис. 4.21, а). И в первом, и во втором опытах балка про-

181

гибается под действием собственного веса. Ярко выра­ жен поворот сечений, растяжение одних волокон и сжа­ тие других. Угол поворота сечений зависит от расстояния

S

Рис. 4.20

их от вертикальной оси симметрии (для балки, лежащей на двух опорах) ; для консольной балки наибольший угол поворота будет на свободном конце. Сечения балок оста­ ются плоскими и нормальными до и при деформации их к нейтральному слою, который в свою очередь искривля­ ется .*

Прогиб балки, расположенной на двух опорах, и кон­ сольной балки можно уменьшить, увеличив жесткость верхних и нижних слоев балок. Вставляем стальные спи­

* В реальных условиях сечения балки искажаются, но остаются плоскими, но при малых значениях касательных напряжений по сравнению с нормальными приближенно принимаются за плоские и перпендикулярные к нейтральному слою.

182

цы в пазы верхних и нижних слоев балок — стрела про­ гиба резко уменьшилась как в первом опыте (рис. 4.20, б), так и во втором (рис. 4.21, б).

Рис. 4.21

4. Причины возникновения касательных напряжений при изгибе

Две-три рейсшины располагаем на двух опорах как единую балку и нагружаем ее. В результате действия по­ перечной силы балка изгибается. Края рейсшин смести­ лись и приняли ступенчатое расположение, так как от­ дельные рейсшины сдвинулись друг относительно друга в продольном направлении. Следовательно, в продольных слоях цельной балки (стопки рейсшин) возникают упру­ гие силы, препятствующие этому сдвигу. Это говорит о том, что при поперечном изгибе в балке возникают ка­ сательные напряжения. (Вследствие этого поперечные

183

сечения балок при изгибе не остаются плоскими. Но если

касательные напряжения очень малы по сравнению с нор­ мальными, то их приближенно принимают за плоские.)

5. Д е м о н с т р а ц и я изгиба стальной балки

Демонстрацию изгиба стальной балки проводим на приборе (рис. 4.22), разработанном преподавателями Минского политехнического техникума. Под действием

Рис. 4.22

силы давления винта балка прогибается. Сечения балки поворачиваются. Угол поворота сечений балки у опор за­ мечаем по шкале.

Увеличиваем, затем уменьшаем прогиб балки винтом. Соответственно увеличивается и уменьшается угол пово­ рота сечений.

При одной и той же силе давления винта на балку угол поворота сечений зависит от точки приложения по­ перечной силы. Это можно доказать передвижением стой­ ки с винтом по пазу основания прибора.

Силу давления винта можно заменить грузом Р. Под балкой к стойке закрепить индикатор для измерения стрелы прогиба. Если эту стальную балку заменить дру­ гой, но большего сечения, то под действием той же си­

лы P прогиб и угол поворота сечений балки умень­

шится.

184

6. Осевой момент сопротивления

Величина прогиба балки зависит не только от ее попе­ речного сечения, но и от его ориентации по отношению к плоскости действия изгибающего момента.

Расположим стальную линейку плашмя на двух опо­ рах (рис. 4.23, а), затем на ребро (рис. 4.23, б) и на ее

середину ставим один и тот же груз. Линейка получит разные деформации. При изменении положения сечения

по отношению к действующей нагрузке прочность линей­ ки существенно изменилась, хотя площадь сечения и осталась неизменной.

Из опыта видно, что сечение надо располагать так,

чтобы ось, относительно которой момент инерции I мак­ симален, была нейтральной осью сечения.

Следовательно, балки прямоугольного сечения класть плашмя нельзя. К этому выводу можно прийти, вычислив

185

осевой момент сопротивления балки в первом случае

(рис. 4.23, а)

Wix

hb2

6

и во втором (рис. 4.23, б)

W2x

bh2

6

4.1.5. Устойчивость сжатых стержней

Основное назначение демонстрационного эксперимен­ та при изучении данной темы — формирование понятия

«критическая сила». Важно показать, что критическая сила—это не какая-то абстрактная величина, а то наи­

меньшее значение сжимающей силы, при котором прямо­ линейная форма равновесия стержня переходит из устой­ чивого в неустойчивое состояние. Она зависит от мате­ риала стержня, его размеров и формы закрепления са­

мого сжимаемого стержня.

Особое внимание необходимо уделить зависимости

критической силы от формы закрепления стержней, что очень важно для понимания физического смысла форму­ лы Эйлера

Оборудование: прибор для демонстрации продольного изги­ ба стержня.

!.Демонстрация продольного изгиба

*стержня

Потерю устойчивости сжатого стержня можно проде­ монстрировать с помощью прибора, показанного на

рис. 2.30.

* В данном опыте экспериментальное значение Pκp значительно отличается от расчетного в силу следующих причин: 1) нецентренность нагрузки; 2) непрямолинейность испытуемого стержня.

186

А. Закрепляем стержень так, чтобы нижний его конец

был защемлен, а верхний свободен. Для этого в паз ниж­ него опорного стаканчика вставляем приспособление формы параллелепипеда, в котором закрепляем нижний конец испытуемого стержня. Верхний свободный конец

стержня нагружаем цилиндрическим грузом из алюми-

Puc. 4.24

ния (для удобства опыта цилиндрический груз имеет паз, с помощью которого он жестко закрепляется на верхнем конце стержня, и штырь, на который могут насаживать­ ся при помощи отверстий дополнительные грузы в виде стальных и алюминиевых плиток толщиной 2—5 мм).

Отклоним верхний конец стержня с грузом от поло­ жения равновесия и отпустим. Под действием внутрен­ них упругих сил стержень занимает свое первоначальное положение. Следовательно, стержень находится в устой­

чивом положении.

187

Повторим опыт, постепенно увеличивая величину сжи­ мающей силы добавлением плиток. Наблюдаем, что при некоторой сжимающей силе прямолинейная форма рав­ новесия стержня становится неустойчивой, появляется

стрела прогиба (рис. 4.24, а). Вследствие появления стрелы прогиба сила (вес груза), действующая на стер­ жень, не только сжимает, но и изгибает его. Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолиней­ ной формы его равновесия, называется продольным

изгибом.

Так, с помощью этого опыта подведем учащихся к вы­ воду, что потеря устойчивости стержня происходит при

определенной сжимающей силе в плоскости наименьшей жесткости. Поэтому в формулу Эйлера

Пπ2-εzmin

7κP (μZ)2

входит минимальный момент инерции /ɪɪɪiɪɪ поперечного сечения стержня :*

τWi3

■* mln — |2 •

То наибольшее значение центрально-приложенной сжи­

мающей силы, до которого прямолинейная форма равно­ весия устойчива, называется критическим. При достиже­ нии нагрузкой критического значения происходит резкое качественное изменение характера деформации — на­ блюдается прогиб стержня. Хотя стержень и не разру­ шается, но конструкция все же выходит из строя в ре­ зультате больших перемещений. Поэтому с точки зрения практических расчетов критическая сила должна рас­ сматриваться как разрушающая нагрузка.

Б. Пронаблюдаем, изменится ли величина критической силы для этого же стержня в случае, если верхний его конец закреплен шарнирно (рис. 4.24, б).

Для этого закрепляем две стойки 4 на основании при­ бора, планку 5 с подвижным стаканчиком 6 и цилиндри­ ческое приспособление 3 (см. рис. 2.30). В паз приспо­ собления 3 вставляем верхний конец стержня.

лично, расчет следует вести по максимальному моменту инерции, ко­ торый соответствует максимальной гибкости.

188

жестко, верхний — шарнирно. Оба конца стержня могут сближаться по вертикали, так как верхний стаканчик

может свободно перемещаться по вертикали благодаря

направляющему отверстию в верхней планке прибора.

Постепенно нагружаем верхний стаканчик и находим наибольшее значение сжимающей силы (учитываем и вес

верхнего стаканчика с цилиндрическим приспособле­ нием), при котором, стержень начинает терять устойчи­ вость. Она оказалась примерно в восемь раз больше, чем в первом случае, когда верхний конец стержня был сво­ бодным.

В. Затем повторяем опыт, когда оба конца стержня закреплены шарнирно. В этом случае меняем приспособ­

ление в нижнем опорном стаканчике на цилиндрическое. Заменяем в опорных стаканчиках цилиндрические

приспособления на приспособления в форме параллеле­ пипеда, укрепляем в них концы стержня, получаем жест­

кое закрепление концов стержня. Повторяем опыт и на­

ходим для данного случая наибольшее значение сжи­ мающей силы, при котором стержень теряет устойчи­ вость.

Во всех опытах с прибором для демонстрации продольного изгиба стержней необходимо обращать внимание учащихся на форму стержня при потере им устойчивости в зависимости от вида закрепления его кон­ цов. Желательно по ходу демонстрации опытов изобра­ жать на доске форму, принимаемую стержнем при потере им устойчивости.

На основании опытных данных делаем вывод, что ве­ личина критической силы при прочих равных условиях зависит от способов закрепления концов вертикального

стержня. В формуле Эйлера это учитывается коэффици­ ентом приведения длины.

C помощью прибора, разработанного преподавателя­ ми Минского политехнического техникума (рис. 4.25), можно одновременно наблюдать различные деформации сжатого стержня в зависимости от способов закрепления

его концов.

Если оба конца стержня закреплены шарнирно, его изогнутая ось при потере устойчивости представляет со­

бой одну полуволну синусоиды (рпс. 4.25). Пример шар­

нирного закрепления обоих концов стержня принято на­ зывать основным случаем продольного изгиба.

189