книги из ГПНТБ / Радченко, А. К. Методика демонстрационного эксперимента по технической механике учебное пособие

вокруг своей оси и поступательного движения оси вместе,

например с машиной.

Подкладываем лист бумаги под шестерню и рейку и закрепляем на панели неподвижно рейку. В отверстие

шестерни вставляем самописец и приводим ее в движение по рейке.

Если шестерня катится равномерно по горизонтальной поверхности, то скорость переносного * движения всех ее

Рис. 3.50

точек относительно горизонтальной поверхности одина­ кова. Очевидно, одновременно шестерня равномерно вра­ щается вокруг своей оси, проходящей через ее центр и

перпендикулярной к ее поверхности. Значит, каждая точка шестерни находится в двух движениях: переносном вместе с центром шестерни и относительном по окруж­ ности вокруг оси ее вращения. В данном случае непод­

вижная система отсчета связана с горизонтальной опор­ ной поверхностью, подвижная — с осью шестерни.

Докажем, что скорость вращения оси шестерни равна линейной скорости движения точек ее делительной окружности.

За один оборот шестерня пройдет по горизонтальной

поверхности (по рейке) расстояние S = 2лг. Точка, нахо­ дящаяся на делительной окружности шестерни, перемес­ тится по рейке также на расстояние S1 = 2пг (где г —■

радиус делительной окружности шестерни). Следователь-

Переносное движение здесь является и поступательным.

120

равенство скоростей, можно в любом масштабе графи­ чески определить скорость абсолютного движения любой точки делительной окружности шестерни.

Выделим точки 1, 2, 3 и √ на делительной окружности

шестерни и определим графически скорость их абсолют­ ного движения. Так как абсолютное движение всех точек криволинейное, то скорости этого движения выделенных точек должны быть направлены по касательным к траек­ ториям. Чтобы это проверить, надо построить траекто­ рию движения фиксированной точки шестерни — цик­

лоиду.

В нашем примере самописец вычертил траекторию движения фиксированной точки шестерни — циклоиду.

Отмеченные на шестерне точки в данный момент времени будут занимать на траектории соответственно положения Г, 2', 3', 4'. Эти положения легко найти, зная высоту то­ чек: точки 1 и <3 — на высоте, равной радиусу делитель­ ной окружности г, точка 2 — на высоте, равной 2 г и точ­ ка 4 — на высоте, равной нулю. Отметив эти положения и построив векторы соответствующих абсолютных скоро­ стей, убеждаемся, что они направлены по касательным к траектории (о мгновенном центре скоростей здесь гово­ рить не следует, так как рассматриваем движение от­ дельных точек, а не всего колеса).

3.2.5. Плоскопараллельное движение

Демонстрационные опыты по данной теме способст­ вуют формированию понятия плоскопараллельного дви­ жения как сложного, состоящего из поступательного и вращательного движений. Демонстрационным экспери­ ментом можно показать существование мгновенного центра скоростей, развивать навыки анализа движения твердого тела.

121

!.Плоскопараллельное движение диска,

мгновенный центр скоростей

Устанавливаем угол наклона реек прибора по кине­

матике и динамике 2—3° для того, чтобы диск скатывал­ ся с очень малым ускорением. Помещаем планку с цап­ фами между любой парой направляющих реек. По

образовавшемуся желобу скатывается диск (рис. 3.51, а). Необходимо обратить внимание учащихся на поступа­ тельное движение оси диска и на поворот диска около точки его касания с поверхностью планки — мгновенного центра вращения (центра скоростей). Поворот диска хорошо виден, если на ободе диска отметить точку яркой

краской. Все точки диска перемещаются параллельно вертикальной плоскости, т. е. диск находится в плоско­ параллельном движении.

Измеряем путь S, пройденный диском за время t, и

радиус качения диска r=R (где R— радиус диска). По данным измерения вычисляем:

а) скорость поступательного движения диска, а сле­

122

довательно, и переносную скорость любой фиксирован­ ной точки диска

2S

¾ = -;

б) линейную скорость вращательного движения точек

диска вокруг его центра

г. 2S n ивр = ω∕? = -ɪfl

для точек диска, находящихся на расстоянии У? от центра диска. По полученным данным графически определяем абсолютную скорость точек, находящихся на концах го­

ризонтального и вертикального диаметров,— точек А, В,

С, D. Проводим линии, перпендикулярные к направлению векторов абсолютной скорости, проходящие через точ­ ки А, В, С, D. Все эти линии пересекаются в одной точ­

ке. (Из-за погрешностей при измерении и вычислении могут быть небольшие отклонения, допустимые, для де­ монстрационных опытов.)

Скорость точки А равна нулю. Следовательно, она не участвует в движении в данный момент времени, в то время как остальные точки диска поворачиваются вокруг нее. Точка А — мгновенный центр скоростей (рис. 3.51,6).

Повторяем опыт с диском, опирающимся на ось

(рис. 3.41). Строим график скоростей для этого случая и определяем мгновенный центр вращений. В данном слу­ чае радиусом качения является радиус оси диска.

2. Демонстрация плоскопараллельного движения на модели кривошипно­

шатунного механизма. Мгновенный центр скоростей

При изучении плоскопараллельного движения можно

воспользоваться и плоской моделью кривошипно-шатун­ ного механизма.

Приводим механизм в движение и рассматриваем дви­ жение его отдельных частей (рис. 3.52). Все части меха­ низма находятся в плоскопараллельном движении: пол­

зун совершает плоскопараллельное поступательное дви­ жение, кривошип — плоскопараллельное вращательное, шатун — плоскопараллельное движение, включающее

как поступательное, так и вращательное движения.

Точка А соединения шатуна с ползуном совершает плоскопараллельное поступательное движение, точка В

123

соединения шатуна с кривошипом — вращательное. По­ этому направления их скоростей известны при любых по­ ложениях шатуна.

По заданным направлениям скоростей точек шату­ на AnB можно определить положение мгновенного

Рис. 3.53

центра скоростей для любого момента времени. Изобра­

жаем направление скоростей точек AnB шатуна при по­

мощи векторов или нитей, закрепленных на шатуне в этих же точках, и находим положение мгновенного центра скоростей для данного момента времени.

Зная положение мгновенного центра скоростей, оп­ ределяем направление скорости любой точки шатуна. Так как за период полуоборота кривошипа направление

124

скорости ползуна не меняется, то удобно продемонстри­ ровать, что положение мгновенного центра скоростей все время меняется.

C помощью модели кривошипно-шатунного механизма

можно определить координаты X и У мгновенного цент­

ра скоростей в тот момент, когда угол наклона шатуна к линии горизонта равен а. (Угол а лучше брать острым,

так как если угол поворота привошипа а близок к 90°, то построение неудобно.)

Задачу решаем следующим образом. На панели при­

бора закрепляем лист бумаги, изображаем оси координат и устанавливаем данный в условии задачи угол наклона шатуна. Векторами изображаем направление скоростей точек А и В шатуна, измеряем размеры шатуна и криво­ шипа и аналитически вычисляем координаты мгновенного центра скоростей. Затем при помощи нитей находим на

приборе положение мгновенного центра скоростей и из­

меряем его координаты. Так на опыте проверяем полу­ ченный ответ решенной задачи (можно сначала опреде­ лить положение центра скоростей непосредственно на приборе, а затем провести аналитический расчет).

3. Определение мгновенного центра скоростей кривошипа эллипсографа

Решить задачу по определению координат мгновенно­ го центра скоростей можно с помощью модели эллипсо­ графа, задавая различные положения для ползунов А и В (см. рис. 3.44). Закрепляем на панели прибора лист бумаги, изображаем на нем оси координат и устанавли­ ваем данный в условии задачи угол наклона кривошипа АВ. Затем решаем задачу так же, как и предыдущую за­ дачу с плоской моделью кривошипно-шатунного механиз­ ма. Мгновенный центр скоростей кривошипа эллипсогра­ фа будет перемещаться по окружности радиусом, рав­ ным длине кривошипа.

4. Опыт с катушкой

Катушку с намотанным шпагатом положим на стол на достаточно шероховатую опорную поверхность, чтобы не было проскальзывания катушки при ее качении и потя­ нем за свободный конец шпагата (рис. 3.53). Казалось

125

бы, катушка должна двигаться в противоположную сто­ рону, но она покатится в сторону действия силы, наматы­ вая нить.

Объяснить это явление можно законами плоскопарал­

лельного движения. При качении катушки точка касания

еес поверхностью стола имеет скорость, равную нулю.

3.2.6.Сложение вращении вокруг параллельных осей

Одним из видов сложного движения тела является его

вращение вокруг оси, которая в свою очередь вращается вокруг второй оси, ¡параллельной первой. На примере ни­ жеописанных опытов можно рассмотреть вопрос о сло­ жении вращений вокруг параллельных осей и установить аналогию с ранее изученной темой «Сложное движение твердого тела».

Оборудование: 1) модели зубчатых зацеплений — внешнего

ивнутреннего; 2) модель колеса обозрения.

1.Составляющие вращения с одинаковым

направлением

Сложение вращений, происходящих в одну сторону, можно продемонстрировать, если собрать модель внеш­ него зубчатого зацепления.

Закрепим при помощи стопора кривошип OiO2 отно­ сительно большой шестерни и поворачиваем их вокруг оси θɪ с угловой скоростью toi (рис. 3.54). Малая шестер­ ня участвует в этом движении и вращается с той же угло­ вой скоростью CD1 относительно оси θɪ (на что необходи­

мо обратить внимание учащихся).

Освобождаем кривошип и фиксируем только большую шестерню относительно стойки прибора. Приводим кри­

вошип O1O2 во вращение с угловой скоростью ω1 = ω2.

Замечаем, что малая шестерня будет не только вра­

щаться вместе с кривошипом вокруг неподвижной оси Oi, но и получает дополнительное вращение вокруг собствен­

ной оси O2 относительно кривошипа.

Таким образом, малая шестерня находится в двух вращательных движениях с различными угловыми ско­

ростями вокруг двух параллельных осей, причем направ­ ления обоих вращений совпадают.

Но абсолютное движение малой шестерни можно рас-

126

сматривать как ее качение -без скольжения по неподвиж­

ной большой шестерне. Абсолютная скорость точки P касания подвижной шестерни с неподвижной будет, оче­ видно, равна нулю. (Подобно тому как в опыте рис. 3.50

скорость точки касания колеса с горизонтальной рейкой

равна нулю.) Поэтому ось, проходящая через эту точку и параллельная осям составляющих вращений, будет мгно­ венной осью вращения малой шестерни.

Для всех точек малой шестерни, в том числе и для

точки Р, скорость абсолютного движения будет равна сумме скоростей переносного движения ve = ωeR и отно­

сительного движения vr = ωrr (где R — радиус большой шестерни; г — радиус малой шестерни; ωr — угловая ско­ рость малой шестерни относительно оси O2).

Но для точки P — мгновенного центра скоростей — скорость абсолютного движения равна нулю и скорости

127

переносного t>e и относительного υr движений направлены

по одной прямой в противоположные стороны. Следова­ тельно,

ωeR — ω/ = О,

откуда

ωr _ _R_ ωe г

Абсолютная скорость движения точек, лежащих на

оси O2, равна скорости переносного движения ωe (7?+. + r) = ωαr. Отсюда определим угловую скорость абсолют­ ного движения

Таким образом, абсолютным движением тела являет­ ся вращение его вокруг мгновенной оси, параллельной данным осям Oi и O2 и лежащей с ними в одной плоско­ сти. Мгновенная ось делит расстояние OiO2 на части, об­ ратно пропорциональные модулям слагаемых угловых

скоростей.

2, Составляющие вращения с различным направлением

Сложение двух вращений с различными направления­ ми демонстрируем на примере вращения малой шестер­

ни, имеющей внутреннее зацепление с большой шестерней (рис. 3.55). В данном случае большая шестерня застопо­

рена относительно стойки прибора.

Приведем во вращение кривошип 0¡02 вокруг оси Ob Малая шестерня совершает плоскопараллельное враща­ тельное движение. В этом случае мгновенная ось враще­ ния малой шестерни проходит через точку P касания подвижной малой шестерни с неподвижной большой.

Чтобы найти угловую скорость абсолютного вращения

малой шестерни, рассмотрим аналогично первому слу­ чаю абсолютную скорость движения для точки O2, мгно­ венная ось вращения которой проходит также через точ­

128

или

где 7? — радиус большой шестерни; г — радиус малой шестерни.

Для точек, лежащих на оси O2, скорость переносного

ωeR

Г

Окончательно получим ωα = ωr—ωe.

Таким образом, два вращения, происходящие вокруг параллельных осей в разные стороны с различными угло­ выми скоростями, можно заменить в каждый данный мо­ мент одним вращением, происходящим вокруг мгновен­ ной оси, параллельной данным, в сторону вращения с

большей угловой скоростью.

3. Пара вр а щ е н и й

А. Опыт с помощью модели зубчатого зацепления. Пару вращений можно продемонстрировать с помощью двух малых шестерен одинаковых радиусов (рис. 3.56).

Закрепляем на стойке прибора одну шестерню и ко­ нец кривошипа, свободный конец которого соединяем C осью второй шестерни. Шестерни необходимо соединить цепыо (в нашем опыте они соединены резиновым жгу­ том). Шестерня, насаженная на свободный конец криво­ шипа, подвижна, а шестерня, закрепленная на стойке прибора, неподвижна.

При повороте кривошипа на один оборот подвижная шестерня поворачивается относительно кривошипа так­

же на один оборот в противоположном направлении по отношению к вращению кривошипа. Следовательно, под­

вижная шестерня находится в двух вращениях с оди­ наковыми угловыми скоростями, но в противоположных

направлениях. В результате сложения этих двух движе­ ний подвижная шестерня совершает поступательное дви­ жение. Таким образом, пара вращений эквивалентна по­ ступательному движению. •