книги из ГПНТБ / Альбедо нейтронов

л а сь в двух основных видах.

Первый

из них соответствует воз­

буждению отдельных

уровней Еѵ, q для

E<EViSV

4>ѵ (Я„, Е) =

V.<? Рѵ,,

ô [Е -

(£„ -

£ v , , ) ] ,

(2.50)

где

Pv<q(En)

— в е р о я т н о с т ь

возбуждения уровня q для

энергии

£ » ;

£ v . rp — некоторая граничная

энергия.

Д л я Е„>ЕѴ,Г]}

при­

нималось

максвелловское

распределение

(Еп,

Е) =

] /

2

> , £

e - £ / r v

(£ »)

(2.51)

2пГ;/> (£„)

со

слабой

зависимостью

температуры Т ѵ

( £ „ ) от

энергии £ „

рассеивающегося нейтрона.

Мы использовали

т а к ж е две модификации, улучшающие ал­

горитм метода Монте - Карло,

одна

из них заключается

во вве­

дении «весов» в основную

формулу

(2.48)

ос (йо, Е0->Я,

Е) = Л 4 V

Wa<Tu*n-Q-E)Fv

(П„, En^Q,

Е),

где «вес»

Wn

п-го рассеяния

(2.52)

представляет

собой

полную

вероятность

«выживания»

частицы

и процессе

п рассеяний. Конечно,

соответственно

должен

быть

изменен

розыгрыш

характеристик

{х,,},

как

это

подробно

описано в статье [18] .

Поскольку

при этом

«история»

нейтрона

имеет

бесконечную

продолжительность,

должен

быть установлен критерий прекра­

щения

случайного б л у ж д а н и я . В

данном

расчете

история

пре­

к р а щ а л а с ь

по достижении

з а м е д л я ю щ и м с я

нейтроном

опреде­

ленной энергии £П ор,

что, очевидно,

соответствует

расчету

спект­

ра

о т р а ж е н н ы х нейтронов ac(Q0,

E0-^>-Çi, Е)

выше

энергии

Епоѵ.

Величина

Епор

может

оказывать

существенное

влияние

на ин­

тегральные характеристики

альбедо.

Вторая

полезная

модификация,

использованная

в

д а т т а м

расчете,

заключается

в выделении

и полуаналитическом

расчете

вклада в альбедо однократно рассеянных

нейтронов. Это выде­

ление

удобно

скомбинировать с

методом Монте - Карло посред­

ством

замены

в /-й истории

случайного числа а,-, определяющего

длину

пробега

t-3 до первого

рассеяния согласно

формуле

t, —

— I n -/,,

на

число

'

2 ( £ о )

1

а> =

7/

'

/ = 1 . 2, . .

. , /V,

где

N — полное число историй.

Р а с с м о т р им задачу с з а д а н н ы м внешним излучением

на по­

верхности х = 0 Фо(н, Ф) в отсутствие

внутренних

источников

(QP = 0)

и при Ф/, (и, Ф)=0 . Функции

Ф"(0 , и, ф) в этой

зада ­

че при и < 0 описывают

отраженное

слоем (0, /г) излучение, а

Ф>'(к,

ц, ф)

при ц > 0 — пропущенное.

Вследствие

линейности

исходной

задачи

наибольший

интерес

представляет

задача с

элементарным

источником

Фо = ô P p 0 ô ( f i — П о ) .

Значение

реше­

ния этой

задачи

при х = 0,

u < 0 , Ф>'(0, м-> ф)> которое

мы д а л е е

будем

обозначать

через

So.л (р, ß ; ро, По) и называть

коэффи­

циентом

отражения слоя

(0, h), есть

дифференциальное

спект­

ральное потоковое альбедо. Очевидно,

отраженное

излучение

при падающем

Фо(,п, ф) может быть

найдено

интегрированием

фр(0,

ц, Ф) =

J с О Д 0 . Л ) ( Р .

Q; Po, 0 0 )Фй в (йо) .

(2-55)

Значение

решения задачи

(2.54) Ф(Л, р, ф) при

Ф£ (И, Ф) =

&т

à (Ö -

Й0 );

Q"(.v, и, Ф) =

0; Ф£(ц, Ф

) | (

і < 0

= 0

в точке

х = /і

дл я u < 0

будем

называть

коэффициентом

пропу­

скания

слоя

(0, h) и обозначать через

7\о. Л)(р,

П; Po, По). Пол ­

рованием

Ф " ( А , И , Ф ) = 2

f

ед0,Л)(Р.

Й; Ро. Йо)Фо"(«о).

(2-56)

Если

Л: есть внутренняя точка слоя (0, Л), то благодаря ли­

нейности

задачи

имеют место

соотношения

ф р ( * >

й )|ц>о =

І \

[ I

<ВД*.о>(/>, Q; Ро, Й 0 )Ф"(А - , П 0

) +

1

+

1 ^ , 0 , , ,

(р, Q; pu , Q0 ) Ф^» (Q0 )j ;

j

(2.57)

ф ' ( - ѵ ,

% < о = S

J

адж.Л)(р,

Q; p0 , О 0 ) Ф » ' ( * . Q0 ),

где S(.v,o) и S(.v>/,) — коэффициенты

отражения слоями

(0, x) и

этих слоев соответственно. Вводя векторы

Ф+(х)

и Ф~(х) для

обозначения

совокупностей

функций

Ф>'(х, Q) | ^>о и

ф р ( х ,

Q) I ц<о и операторы

S( 0 ,Х)

и 7(0,*), определяемые форму­

л а м и

(2.55,

2.56), запишем

соотношения

(2.57) в

виде

Ф + (x) =

S(x,0)

Ф - (л") + Т{0,х)

Ф 0 ; ^

( 2 5 8 )

ф-(%) =

5 ( , . Л ) Ф Н ѵ ) .

Функции

5(0, л-), ?(р.х), согласно их определению,

могут

быть

найдены

решением

системы уравнений переноса

(2.54)

с эле­

ментарным

краевым

условием

Ф"(0,

и, Ф)| Ц > 0

= 6 W u 6 ( Q - f i 0 )

V

°'\ dtp' j ' du' X

/<„=і ù

-

I

X S o " ^ ( u ,

Ф; U ' , Ф ' ) Ф Р 0 ( и ' ,

Ф');

Ф"(-ѵ, И. Ф ) | м < (

=- 0.

С другой

стороны,

можно

получить

для

этих

функций

специ­

раясь

на принципы инвариантности

В. А. А м б а р ц у м я н а

[11, 19],

либо

подставляя

соотношения

(2.57)

в

исходную

систему

(2.54)

и исключая

Ф + , Ф~ [11, 20]. Они имеют вид

дх

~ Кі [5(о,.Ï)1;

(2.59)

дТ (0,.ï)

=

К2 [5 (0,.ѵ)

^(0,.ѵ)],

дх

где Кі и Кг — квадратичные

интегральные

операторы.

Выводу этого типа уравнений в различных задачах, их ка­

чественному исследованию

и

решению,

в

основном в

плоских

мана и

К а л а б а

(см. [21] и указанную

там

литературу) .

Отметим

следующие свойства

функций

5( о, л-> и 7\о, д-).

1- 5(0, ж)

и

Г(о, X) — неотрицательные

функции.

Функция

5( о.х)(р,

ß ;

Po, йо)

монотонно

возрастает

при

увеличении .ѵ,

причем

справедлива

оценка:

J'

5( о,А -)(р0 ,

Й; Po,

Q 0 ) d Q 0 < 1, р 0 = 1, 2

(2.60)

ц„<0

вытекающая

из принципа

максимума

для уравнения

переноса

[22, 23]. З н а к

равенства может

быть

лишь

в задачах о

полубес­

конечных чисто рассеивающих слоях.

2. В односкоростных з а д а ч а х об однородных слоях

исследо­

вано поведение

функций

5( 0 , Х ) и

7"(о,.ѵ> при -ѵ-^со.

П о к а з а н о

[23—25],

что имеют

место

формулы

7 > , , ,

(Q,

Q0 ) =

Г ( й 0 , X) Ч'0

(0,

-

ц);

I

5(o..v)

(Q, Qo) =

5(о.«,) (Q, fi0) -

Г (Q0 , х) Ч>0

(0, р), *

где

2h +

2Xl

при

х =

1;

Г ( 0 „ , х) =

П

(0,)ew *

при

х <

1;

sh V (2h

2-М

г / о

и - f r ( ß ( " ' v )

п р и

x

=

^;

( " 0 , Л ) ~ І Г ( О 0 , . ѵ ) е - ( а + 2 " « )

п р и « < 1 ;

2 ,

Функция 1Р'о(л:, i-i) есть решение

проблемы

Милна, т. е. одно­

родной задачи

ц I ^ L +

2Ч' 0 (.v,

и) =

j S, (Йй') %

(.v, p/) dQ',

W0 (О, u ) | (

i > 0

=

0

с источником на бесконечности; эта функция

нормирована

соот­

ношением

2л-

1 - 0 ! + -Vi

при

х — 1 ;

У Ах, и)

1 Г

; ч

v (s.v+.vx)

Л'->-СО

с р ѵ ( - ц ) е Ѵ

ѵ + ' М ]

при

х < 1.

( Г

Здесь

0,

= 2л [

S,

((.ij f i , duç ;

v и c p v ( u ) — п о л о ж и т е л ь н ы й

корень

и

собственная

функция

характеристического

уравнения

задачи

соответственно;

2 ( ѵ ц + 1 ) Ф ѵ ( ц ) = | Е , ( й й ' ) Ф ѵ а О ^ ' .

- f t Ф » 4 і = 1;

^

- î

A'X — экстраполированная длина

(хц—Xi

при х = 1 ) ;

^

(Q0 ) = - і - ( I -

G,) Ч'0

(0,

- U ü ) ц 0

при X =

1 ;

4л

П ( О 0 )

=

ц 0 ¥ 0

(0, - Ц е )

при

X <

1.

+ 1

2я

j

[ср _ ѵ 00 ] 2 ц^и

3. В односкоростных

з а д а ч а х

имеет место принцип взаимно­

сти [11]: токовые

коэффициенты

отражения

а( о, Л -)(й,

Qo)

и

про­

пускания /(о, л.-)(Q, Qo), отличающиеся от

введенных

выше

пото­

ковых коэффициентов

угловыми

множителями а<о,Л -)(й,

Qo) =

= ц5(0 ,.ѵ ) (й, Qo),

/(о,я-)(Q, Qo) =

|.i7(or .x)(ß,

Q 0 ) ,

не

изменяются,

если переменить

местами направления

падения

и выхода

луча

Qo и Q:

цТ(о.х) (й, й 0 ) = ц0Т(0іХ)

(й 0 , й);

(2.62)

V * ) ( ß . fio)

= и5( о,,) (Й, Й0 ) = I іх0

I S(o..v) ( - Qo,

-

й)

=

= а(0..Х)( - Й 0 , - Й ) .

д л я

m-й гармоники

Ф?„ {х, ц)

будем

иметь

краевую

задачу

ц — H L +

2P(x)QPm

(X, u) =

S

J

2 * 7

(-v. ц, ц ' ) Х

•од:

Pu=]

—1

ХФГп° (л-,

р/) dji' + <Х (А-, и) = ВРТ

(X, и);

Р

о

I (2.65)

ф Р т ( ° > М)| м > о - ФГ „,о (и) - Ь S

) ^ ' W d i ,

f i ' W ( 0 ,

и');

p»=i

— i

где

,

Фш.оі Фш/і и 2 S | ,„ связаны

с исходными

величинами QP,

Ф о ,

Фл

и 2 s (( . i, (і' - f К 1 — и 2

1—\і''

соэф)

соотношениями,

подобными

(2.63) —(2.64). Будем предполагать,

что коэффи­

описывающие

источники, не

с о д е р ж а т

сннгулярностей, т. е.

внешние

источники

распределены по

углам,

а

внутренние — и

по углам и по пространству.

по х(хо = 0,

Х\,

х/,

xL

— h) так,

Введем разностную

сеть

чтобы

поверхностям

разрыва

коэффициентов

2,

2 S

и Q отвеча­

ли некоторые

узлы

сети,

и

пусть

р.,-

и

аг-

(і=1,

2,

;Ѵ дл я

р,,\>0,

і = — 1 ,

—2,

... ,

—N дл я U i < 0 )

— у з л ы и

веса

квадра ­

турной

формулы,

аппроксимирующей

интегралы

в

(2.54).

Д л я

построения

конечно-разностной

системы,

аппроксими­

рующей

уравнения

(2.54),

воспользуемся

вариантом

метода

метод устойчивый и достаточно простой в

реализации

на ЭВМ ,

сохраняет в разностных уравнениях такие

важные

свойства

исходных уравнений, как

принцип

максимума

[оценки

(2.60)],

р а з р ы в ы решения на линиях р а з р ы в а коэффициентов

системы

(2.12) и т. п.

П о л о ж и м |A={if

в в ы р а ж е н и я х

(2.65)

и

представим

интегра­

лы квадратурными

суммами

типа

| / ( ц ) ф

=

| ] а , / Ы .

(2.66)

Интегрируя

теперь

к а ж д о е

из

уравнений

(2.65)

вдоль

х а р а к ­

теристики

левой части, т. е. при

u, = u.,

от

хі

до

хі+\,

получим

систему разностных

уравнений

для Ф р ( х / ,

ц,), которую

запишем

в векторной форме (значок m опущен):

At

Ф7+> +

В+ФІ

+

et

Ф7+і +

Df

Ф Г =

Q7 ;

(2.67)

<+.+

4+

AT ФГ+i 4-

BT Ф Г + CT Ф7+і +

DT Ф 7 =

Q7 •

{S/f г.}

_

, =

Фі

в

задаче

о

слое

(х/, xL

= h)

при условиях

і=г

<r>r = sL «tf,

(фг)?

=

То,; и JL.I равны значениям в точке

х\

решений этих

задач

при

следующих краевых

условиях:

То,г =

ФГ

при

Фо

=

S$>T

+

Ф0>

ф

Г

=

0;

T L . Z =

Ф Г при

Ф Г =

0,

Ф Г =

5 £

Ф Г

+

ФІ. ,

где

матрицы

о т р а ж е н и я

So

и

SL

определяются

краевыми

усло­

виями

исходной задачи

(2.65),

а Фо, Ф ь

и

Q/ — исходной

зада ­

чей

(2.67).

Вследствие того что в отсутствие

размножения

в

рассматри ­

ваемом

слое

и в

о т р а ж а т е л е

система

(2.67)

обладает

ограни­

ченным

решением

[26],

существует

последовательность

ограни­

ченных матриц Si и векторов Т; для

любой сети

{х/} • {ц.;}.

Она

единственна

ввиду единственности решения задачи

(2.68).

Отметим,

что

элементы

матриц

Si.o

монотонно

возрастают,

а элементы

матриц

Si. L монотонно

убывают

с

ростом

/,

оста­

ваясь неотрицательными и подчиняясь оценкам

M

» >

0

для

Іх

<

/2.

Пользуясь соотношением (2.70), найдем из системы (2.67)

рекуррентные формулы для І>/,0 , Т0 , /,

являющиеся

искомым

разностным в ы р а ж е н и е м уравнений

(2.59):

Sf+r.o = — С/Г1 [Ct-

(Dt+

BtS.^iBT+DTS^o)-1

Ат\

v

Т о , ж

= с / Г 1 [ О Г - О Г Т о л - ( 0 / + ^ Г 5 / , 0 ) Х

\

С 2 - 7 2 )

X(Br

+

DTSli0)-lQT-DTTo.il

,

где

Ul

=

At

-

{Dt

+

Bt

S,,о)

(BT

+

DT S,,o)~l

CT .

Эти

формулы

при

известных

50 , о = 5о,

Т 0 > 0

= Фо позволяют

най­

ти

последовательно

S;| 0 ,

Т0 , і для

слоев

(хо, х\),

(хо,

хг), .. -,

(хо,

xL). При

известных

значениях

5/, 0

и

Т 0 > /

поле

излучения

может

быть

найдено

по

ф о р м у л а м :

ФГ =

(1 - S L S L , 0 ) - ] (SLTO.L +

Фі);

ФТ = VpT+i

+ W z ;

&t

= St оФГ + T 0

il

l

(2.73)

'

Vt

= -

(B+ St .o +

Df)-X

(AT S l + l ,o + Cf)

= -

(ВТ

+

+

DTSl,0)-]

(AT +

CTS,+

i,0);

W, = (BT + DT S, . „ ) - '

[QT - CT To> w

- DT T

o ,

которые

т а к ж е

получены из

(2.67),

(2.70).

Д л я

отыскания SitL,

TL,i

следует

получить

формулы,

подоб­

ные

(2.72), в ы р а ж а ю щ и е

Si. L через

S/+I,JL, T L , i через

T L , I + I , И

расчет надо вести от S L

. L

^ S L ,

TLI Ь

=

ФЬ.

И з л о ж е н н ы й

метод

решения

системы

(2.68),

который в

ствует матричной факторизации — приему,

хорошо

известному

в теории численного решения краевых

з а д а ч [27].

В

противоположность известному методу

Н- или X-,

У-функ-

ций

[11, 20] альбедный

метод хорошо

работает в з а д а ч а х с не­

изотропными индикатрисами [23].

В з а д а ч а х о полубесконечных слоях предлагаемый

метод

может рассматриваться как метод последовательных

прибли­

жений.

Использование

характеристической

схемы

позволяет

работать

с большими

«шагами» хі+\—хі без возникновения не­

устойчивости.

Поэтому в з а д а ч а х

с поглощением

асимптотические

резуль­

ближений

о, То, I.

Д л я

чисто рассеивающих

сред

или сред с переменными по

X свойствами

от расчета большого

числа величин

Si. о, То,і мож ­

но освободиться,

используя

для

экстраполяции

асимптотиче­

ские закономерности (см., например,

[23]) и

пользуясь

прави­

лом построения

функций

5

и Т дл я многослойной среды с из­

вестными коэффициентами S( , , ) и

Г<л> дл я каждого слоя [28].

Приведем

здесь

результаты

для

двухслойной

задачи .

Пусть

5?, 7"?

и

S\,

Т\ — коэффициенты

отражения

и

пропускания

слоем

(хо,

Х\) излучения,

падающего

на поверхности

X=XQ И

х=Х\,

a Si,

Т\

и si

Т\—соответствующие

коэффициен­

ты для слоя

(х\, Хо). Тогда

в точке хо

в точке Х\

Ф ^ = 5 ( 1

0 ) Ф 0 Ь + Т ' 1 1 ) Ф Г ;

Ф + ^ ^ Ф Г + т Г Ф О ^ ;

Ф 7 =

5 ^ 1 ) Ф , " - Ь ^ 2 )

ФТ;