книги из ГПНТБ / Альбедо нейтронов

< К о ) = і г С ( 2 / г +

1 ) [ / л ( ^ )

] " ^ ^ Ч о ) -

'

о - 8 6 )

В ы р а ж е н и я

(1.85)

и (1.86)

показывают,

что с ростом

поряд­

ка рассеяния п угловое распределение рассеянных

нейтронов

стремится к изотропному, так как

| f ; t | < l .

Следует отметить, что ф о р м у л а

(1.86)

дает

з а в ы ш е н н у ю

оценку степени

анизотропии

углового

распределения,

та к

ка к

70

| — —

она

была

получена

без уче-

,

I

, '

та

изменения

энергии

при

рассеянии. На рис. 1.11 и

1.12

в

виде

примера

приво­

дятся

угловые

распределе ­

ния

рассеянных

в ж е л е з е

нейтронов,

рассчитанные

по

ф о р м у л е

(1.86)

и

методом

Монте - Карло . Приведенные

результаты

показывают,

что

д а ж е

для

нейтронов с

энергией

Ео = 3

Мэв

изо­

тропия

углового

распреде­

• §

ления

потока

упруго

рас­

to

сеянных

нейтронов

практи­

чески

наступает

при /і> 2.

О

-0,5

0,5cos Ѳ,

-1,0 -0,8

-1,0

Рис.

l . l l . Угловые распределения

«-кратно

Рис.

1.12.

Угловые

распре­

рассеянных

в

железе

нейтронов с

энергией

деления /і-кратио

рассеян­

A£o=4-f-5 Мэв, рассчитанные по формуле

ных в железе нейтронов с

(1.86)

для

« = 1 (

) ;

л = 2

(

);

энергией

Е0=3

Мэв, рас­

я = 3

(

);

п = 4

(•••);

п = о

считанные

методом

Монте-

(

).

Штриховкой

показана

изотроп­

Карло для

/і=1

(

);

ная

часть

углового

распределения дву­

/}=2

( • • • ) ; ' і = 3

(

),

кратно

рассеянных нейтронов.

Т а к им образом,

первый член

в ы р а ж е н и я

( 1 . 7 6 ) — ф у н к ц и я

D{E0,

Ѳ о ) — у ч и т ы в а е т нейтроны,

испытавшие

2, 3

упругих

столкновений и все

неупруго рассеянные нейтроны,

имеющие,

Определим

теперь функцию

В(Е0, Ѳ0 ;

Ѳ, ср), связанную

с рассеянными

нейтро­

нами, имеющими

анизотропное

угловое

распределение

в

лабораторной

системе

координат.

Вероятность

нейтрону

источника, па­

д а ю щ е м у под углом Ѳо на

полубесконеч­

ный о т р а ж а т е л ь ,

выйти

из

рассеивателя

в направлении

угла Ѳ (рис. 1.13) после

первого столкновения, как нетрудно по­

казать, равна

S (E,)z

2 (Ео) г

Sg ; (£п) dz

Pnc. 1.13. К

определению

COS On

cosO _ L f ( 0 s , o ) ,

cos Ѳ0

4JT

вероятности

выхода из

рассеивателя

однократно

(1.87)

рассеянного

нейтрона.

где 2С ((£ о)

и 2 ( £ 0 ) — макроскопические

сечения упругого рас­

энергией

Е0\ F (0 si o ) = 5 ]

+

J ) îi (^о) Л ( ^ О -

вероятность

рас-

(=0

= —cos Ѳ cos Ѳо-f-

сеяния

нейтрона

на

угол

Ѳ 5 і о ; cos-Ѳ5

= | j , s

+ sin Ѳ sin Ѳо cos cp.

_ S (£„)z

Член

e

cos 0O —

описывает

вероятность

нейтрону источни­

ка

дойти

д о

слоя

рассеивателя,

расположенного

на

глубине

z;

2,1 (£0 ) dz

вероятность

„

,

упру-

cos Ѳ0

нейтрону испытать в

слое dz

1

2(£t)z

s J e

вероятность

выйти

из

roe рассеяние, a -^—F ( 0

с о

з Ѳ

рассеивателя

с энергией

£ і в направление, характеризуемое уг­

лом 0 s .

Произведя

интегрирование

по всей

толщине

полубесконеч­

ного рассеивателя,

получаем

F(QsJ

-Zel (£,)

cos Ѳ

(1.88)

4л

S (E )

cos Ѳ + —77ГГ cos Ѳ0

*

(^о)

* Угловое

распределение

потока

нейтронов

2, 3, ... упругих

столкновений

в

какой-то степени анизотропно. Поэтому функция D(E0, Ѳо) содержит толь­

ко

изотропную

часть

этого

распределения, а

анизотропная

часть

углового

распределения

двукратно,

трехкратно

и т. д. рассеянных

нейтронов

учиты­

вается функцией

В (Ео, Ос; Ѳ, ф).

В{Е0,

Ѳ0 ; Ѳ, Ф ) =

( 1 + ^ ) ^ і і ^

^

F(QSJ.

(1.89)

cos 9 +

cos Ѳп

^

2(Я„)

В ф о р м у л е (1.89) коэффициент g

учитывает

анизотропную

часть

углового

распределения нейтронов, испытавших 2, 3 и

т. д. рассеяний.

П р и б л и ж е н н о , но с достаточной дл я практических

расчетов

тода

п-го столкновения, рассматриваемого

в

главе

I I . Решение

уравнения (2.121) с

з а д а н н ы м и граничными

условиями позво­

ляет

определить W(n,

Е0)—вероятности

выхода

нейтронов из

новения

в

предположении

изотропии

углового

распределения

нейтронов

п-го

столкновения (где п=\,

2,

3,

...)

в л а б о р а т о р ­

ной системе

координат. Истинное угловое распределение нейт­

ронов п-го столкновения

вычисляется

по

формуле

(1.86).

Если

Sn—изотропная

часть этого

распределения

(численно

равная,

например, дл я д в у к р а т н о

рассеянных нейтронов

с A £ o=4 - r - 5

Мэв

и рассеивателя из ж е л е з а

отношению заштрихованной

площади

к

полной п л о щ а д и под кривой

рис. 1.11),

то

коэффициент

g

ра­

вен

ё

= %(\-8п)ѴГ(п,Е0).

(1.90)

/1=2

В

большинстве

случаев

м о ж н о

ограничиться

значениями

п=

=

2; 3.

Т а к и м образом,

с учетом

(1.76)

и

(1.89)

дифференциальное

числовое

(или дозовое)

альбедо

м о ж е т

быть

представлено

в

виде

а (Е0,

Ѳ0 ; Ѳ, ф) = D (Е0,

Ѳ0) cos Ѳ +

(1 + g)

a « ' ( g

X

4л à (£„)

m

X

Щ)

У \ { 2 1 + 1

)

М а д ( с о з Ѳ 5 і 0

) .

(1.91)

созѲ +••

1

cos Ѳ0

^So

Ф о р м у л а

( 1 . 9 1 ) — п о л у э м п и р и ч е с к а я

ф о р м у л а

дл я

диффе ­

Д л я

сред,

состоящих

из ядер

нескольких сортов (например,

вода, бетон), эта ф о р м у л а

имеет вид

а(Е0,

%;

Ѳ, ср) = В(Е0,

к.

Ѳ0 )cos0

+

X

§Ш)

S

( 2 / + / } f i ' ( Е о ) P l ( c

o s

^

•

( 1 , 9 2 )

Суммирование по индексу

j

производится

по

всем

сортам

ядер .

Определим первый

член

в ы р а ж е н и я

(1.76).

Очевидно,

что

функция

D(E0,

Ѳо) может быть

в ы р а ж е н а

через

значение

инте­

грального альбедо а(Е0,

6 0 ),

которое может быть получено, на­

пример, методом /г-го столкновения.

Интегрируя

в ы р а ж е н и е

(1.91)

по

углам

Ѳ и ср по всей полусфере,

получаем

2л

1

^ dtp

j* а (Е0,

Ѳ0; Ѳ, ср) d (cos

Ѳ) =

а (Е0,

Ѳ0)

=

о

'о

Sr f (£.)

2я

1

•X

Г ЛрГ

cos6d (cose)

S

(2/ vt- 1)/,(Е0 )

Л ( с о з 0S J -

(1-93)

о

о cos0 + - ^ - c o s 9 o

Вычисление

последнего интеграла,

к а к

правило,

сводится к

стрируем это на примере нейтронов низких энергий, д л я

которых

дифференциальное

сечение

упругого

рассеяния

F(Qs ) =

m

= S (21 +

l)fi(E0)Pi(cos

Ѳ. ) может быть

представлено

двумя

г=о

1 0

коэффициент g = 0 и Е ( £ і ) — 1.

первыми

членами

разложения,

X

f 1 - cos Ѳ0 In 1

+ c o s 9 °

/

) - ± f L

(E0) cos Ѳ0 )

(L94)

\

cos90

2

J

С учетом

(1.93) и (1.94)

окончательно

получаем

ас (Е0,

Ѳ0 ; Е,

Ѳ, ср)

cos Ѳ а с

(Е0,

Ѳ0 ; Е) + а&Ч (Е0,

Ѳ0 ; Е,

Ѳ, ср),

(1.96)

л

где ас(Е0,

Ѳ0; Е)—интегральное

спектральное

альбедо,

рассчи­

танное в

предположении изотропности углового

распределения

нейтронов

в

лабораторно й

системе

координат

(например,

рас­

считанное

с

помощью

метода

/г-го

столкновения,

разд.

2.6),

а одн

№о,

Ѳо; Е, Ѳ, ф) — энергетический спектр

нейтронов,

отра­

женных от рассеивателя при одном

упругом столкновении.

Полуэмпирическая

формул а

в виде (1.91)

или

(1.92)

позво­

бедо при углах

Ѳо и Ѳ, близких к —

; косинусоидалы-іую

зави ­

симость от угла

Ѳ д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

альбедо при углах

Ѳп~0°;

зависимости д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х альбедо от

энергии нейтронов

источника при

различных значениях

угловых

переменных

Ѳо, Ѳ,

ср и, в частности, при Ѳо = Ѳ = ср = 0°, при котором характер

энерге­

З н а н и е коэффициентов

о т р а ж е н и я

нейтронного

излучения

оказывается

необходимым

не только в

собственно

«альбедных»

з а д а ч а х ,

но

и при

решении

з а д а ч

переноса

излучения

в протя­

ж е н н ы х

з а щ и т а х сложной

конструкции. В разделе

2.1

этой гла­

вы формулируется

о б щ а я

к р а е в а я

з а д а ч а

д л я

кинетического

уравнения

с

условиями о т р а ж е н и я

на

граничных

поверхностях

и исследуются некоторые

общие свойства операторов отражения

в прямых

и сопряженных

з а д а ч а х .

Д а л е е рассматриваются

различные

методы расчета

коэффи ­

числения альбедо д л я среды с

изотропным

рассеянием, метод

Монте - Карло, метод дискретных

ординат, а

т а к ж е приводятся

коэффициентов о т р а ж е н и я и пропускания

в з а д а ч а х

об одно­

родных плоских слоях большой толщины .

Д в а последующих р а з д е л а посвящены

изложению

прибли­

новении, в к л ю ч а я упругие столкновения

на

легких

я д р а х

и не­

упругие — на т я ж е л ы х .

К р о м е того, рассматривается проблема

расчета

групповых

констант при решении альбедных з а д а ч

и

описывается система

групповых констант,

принятая д а л е е в

расчетах.

З а к а н ч и в а е т с я

глава изложением

экспериментальных

методов

изучения

поля

г о м д а ж е

при использовании наиболее мощных из

современных

Э В М . С другой стороны,

знание д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х

характери ­

стик поля

нейтронного излучения, как правило, необходимо лишь

д л я части

защиты, с о д е р ж а щ е й к а н а л ы ,

щели, неоднородности.

Влияние ж е

остальной массы может

быть

учтено

введением ко­

эффициентов

отражения .

П о к а ж е м ,

основываясь

на

кинетиче­

ности может быть

выполнено

точно [ 1 ] . Пусть

р а с с м а т р и в а е м а я

область защиты

V с поверхностью Г (рис. 2.1), облучаемая

извне

потоком

Фпад, разбита

на две части: / и / / ; надо

определить

поле

излучения в области II. Кинетическое уравнение и краевые ус­

ловия для потоков нейтронов Ф/(г, Q,

Е)

и Ф/;(г, Q, Е)

в

этих

подобластях запишем

в форме:

Ь,Ф, =

Q,,

Фу |Г у =

Ф/, паД при ß n < 0 ; I

фу іѵ+ =

ф " \у+ ;

I

(2.1)

Lu Фц =

Qu, Фи \г„ =

Фц, пад при й п <

0;|

Ф//

\у_

=

Ф/

lv_-

J

Рис. 2.1. Схема

неодно-

(2 2)

родной

защиты.

Здесь Lj

и

Ьл

— операторы

кинетического

уравнения,

характе ­

ризующие

взаимодействие

нейтронов

со

средой;

Qj

и

Qu —

внутренние

источники нейтронов; Г/

и Гц — внешние

границы

областей

/

и II; п — нормаль

к поверхности

Г, внешняя

относи­

тельно

V; у — поверхность

раздела областей /

и / / . Ф | ѵ + — по­

ток на

границе

р а з д е л а

д л я

тех направлений

й , д л я

которых

Qv>0,

где V — нормаль

к у,

внешняя

относительно

области // ;

Ф\У_ — поток дл я направлений й с й ѵ < 0 .

Решение кинетического

уравнения

с з а д а н н ы м и

краевыми ус­

ловиями

в

подкритических

системах

при

естественных

предпо­

ограниченной функцией [ 2 ] .

П р е д с т а в и м Ф/ в виде суммы

Ф/Н-УР/, где

1,Ф,

= Qi,

Ф, | Г / =

Ф/, пад,

Ф; | ѵ +

= 0;

(2.3)

1,4,

= 0,

% | Г / =

0,

W, \ ч

+ = Фи

| ѵ + .

(2.4)

Р е ш а я краевую задачу (2.4)

дл я области I, определим как

поле излучения

внутри

нее, так и поток

выходящего

из нее из­

к ак результат действия на функцию Фц\у+,

описывающую

вхо­

д я щ е е в / излучение, оператора отражения Яі->ц:

W, | Ѵ _ = Д,_//[Ф// | ѵ + ] .

Аддитивность и однородность оператора

Ri^-u следуют

из

деляется

ограниченностью

решения

краевой

задачи

(2.4)

для

области

// .

Таким

образом,

з а д а ч а

(2.2)

для

интересующей

нас

области

/ / приобретает вид

ЬцФц

=

Qu,

Фц

\rn

— Фц_ п а д ;

^2 5^

Фи

|ѵ_

-

Rl-'П

[Ф// Іѵ+ ] +®і

lv_.J

где

Ф ; | ѵ _

определяется

решением

краевой

задачи

(2.3)

для

области

/.

Если

Ф/, П а д = 0

и

Q; = 0,

то Ф;

| ѵ _

=

о

и

на

поверх­

ности у

для

области

/ /

имеем

чистое

отражение .

Оператор

представляет

собой

интегральный

оператор

вида

¥

(г, fi,

£ ) =

[Ф | ѵ + 1

=

I" dy (r0 )

j

(Й0 ѵ) dß„

X

V

ѵ ( г о )П о >0

XJdE0fö(r,

fi,

E;

r0 ,

fl0,

£ 0 ) Ф ( г 0 ,

Q0 > £„),

(2.6)

где

Го — координата

точки

падения

нейтронного

потока

на

от­

р а ж а ю щ у ю

поверхность

-у,

а

г — координата

точки

вылета

от­

раженных

нейтронов.

Очевидно,

величина

5 (г, fi, £ ; г„,

Й0 ,

Е0)

= ( Q „ v ) ^ ( r ,

fi,

E; r0 >

û 0 ,

E0)

совпадает

с д в а ж д ы

дифференциальным

потоковым

альбедо*

объема / в точке г0

граничной

поверхности

у.

В

общем

случае

координаты г0 и г не

совпадают, т. е. имеет место

н а б л ю д а е м а я

физически картина размытия пятна обратного рассеяния.

Известно

[3], что

функция

M

обладает

особенностью

M

(г,

fi,

£ ;

г0 ,

Й0 ,

£„)

- —

.

I

г — г„ I

Поэтому

интеграл

(2.6)

приближенно

равен

J

dQ0

| г і £ 0 Ф ( г ,

fi,

£ 0 )

f dv(r0 )(Û0 v)(A(r,

fi, £ ;

r0 ,

fi0,

£„).

(2.7)

До ѵ(г)>0

y

Погрешность — величина

порядка

j dQ 0 j - d £ 0 jdY(r 0 )

I Ѵ Ф

I

•

I

r

-

r 0

I M{r,

fi,

£ ;

r0 ,

û 0

>

£„),• (2.8)

йоѴ> О

V

*

Величине

S (г,

9-,

E;

г„,

й 0 ,

£ 0 )

отвечает поеденное

в

главе

I альбедо

А (£„, 00 ;

Е, 0,

ф, X.

и).