книги из ГПНТБ / Альбедо нейтронов

56. Николаев M . Н., Игнатов А. А. В сб.: Бюллетень

информационного цент­

ра по ядерным данным. Вып. 3. М., Атомпздат,

1966, стр. 409.

В

I I I главе

в

первых

двух р а з д е л а х рассматривается

обрат­

ное рассеяние

тепловых

нейтронов. Эта

проблема

исследовалась

в большом

количестве

расчетных

и экспериментальных

работ.

М о ж н о считать, что альбедо

тепловых

нейтронов

изучено

наибо­

лее полно

и тщательно

по

сравнению

с отражением

нейтронов

других энергий.

В

разделе

3.3

рассматривается

выход вторичного

у-излуче-

словами, рассматривается

квазиальбедо

типа

н е й т р о н — у - к в а н т .

Появление р а з д е л а 3.3 в этой главе условно,

если иметь в виду,

что вторичное у-излученйе

возникает в

з а щ и т е при облучении

выми нейтронами.

Последнее

замечание

частично оправдывает

помещение раздела 3.3 в настоящей главе.

3.1. РАСЧЕТНЫЕ

ИССЛЕДОВАНИЯ

Энергетический

спектр тепловых нейтронов,

к а к

известно,

описывается

распределением

М а к с в е л л а — Б о л ь ц м а н а

и в не-

п о г л о щ а ю щ и х средах в среднем

не изменяется при столкнове-

, ниях (при наличии

поглощения энергетический

спектр

нейтронов

1 становится

более

жестким из-за

более

интенсивного

з а х в а т а

токовых числовых, энергетических и дозовых

альбедо

совпадают

м е ж д у

собой,

и в д а л ь н е й ш е м

мы не будем

д е л а т ь

различия

м е ж д у

ними,

обозначая эти

величины через а(Ет, 0О ;

Ѳ, ср).

Д р у г и м использованным

в

большинстве

расчетных

работ

полном

сечении взаимодействия

S = 2 a (абсолютно

поглощаю ­

щ а я среда)

альбедо

равно нулю.

Одно

из

первых

исследований

альбедо тепловых

нейтронов

направленного

источника,

излучение которого

падает

под углом

Ѳо к нормали

к

поверхности

полубесконечного

рассеивателя,

описывается

в ы р а ж е н и е м

а(Е„

Ѳ„) =

1 N ~ X

'

<ЗЛ)

где uo = cos Ѳ0 .

точные

вычисления,

проведенные

в

работе [2],

Позднее

более

д а л и д л я токового

интегрального альбедо величину

а(Еч,

Ѳ0) = 1 — j ^ = - ,

л

(3.2)

где с = 2,91;

2,31

и 2,48

для мононаправленных

(при

нормальном

падении), изотропных и косинусоидальных угловых

распреде­

лений нейтронов

источников соответственно.

З а м е т и м ,

что

в случае

нормального

падения

нейтронов источ­

результатами

расчетов

по

формуле

(3.2) с

погрешностью

не

больше 14%.

Глесстон

и Эдлунд

[ 3 ] , используя

диффузионную теорию, по­

лучили д л я интегрального

альбедо

плоского

косинусоидалыю -

го источника

формулу

а ( £

т )

=

Х

~ 1 Ю

,

(3.3)

ѵ

'

1

+

2kD

г д е й — о б р а т н а я

величина

длины

д и ф ф у з и и

тепловых

нейтро­

нов;

D — коэффициент диффузии .

см~\ D = 0,7Û7

см,

П р и н и м а я

д л я бетона

& = 0,102

получаем

а ( £ т ) =0,75.

Ч а н д р а с е к а р

[4] изучал

обратно

рассеянное

излучение

в

летворяются

при рассеянии

тепловых нейтронов.

Результирую ­

щ а я ф о р м у л а

д л я дифференциального альбедо имеет

вид

а ( £ т , Ѳ0; Ѳ) = -±

± - H (и,

ц0 ) H (и,

ц),

(3.4)

где

x = E s / 2 ;

p, = cos0;

H — специальная

функция,

табулирован ­

ная

в работе

[4] (табл .

3.1).

было получено [5] интегрированием

в ы р а ж е н и я (3.4) в

виде

а ( £ т , Ѳ„) =

1 -

1 / Г = ^ Г H (к, ц.0 ).

(3.5)

Вывод

формул (3.4) и

(3.5)

рассмотрен в разделе 2.2.

Мокел

[6] развил несколько

иной

подход к определению аль­

являлас ь

разработк а

метода, который способен д а в а т ь

резуль­

таты, более удобные при расчетах на ЭВМ, чем формул а

Ч а и д -

расекара

или метод

«инвариантного

включения»,

развитый

Бел -

л м а н о м с сотрудниками [7]; причем

этот метод д о л ж е н

занимат ь

меньше машинного времени, чем численное интегрирование

урав ­

нения Б о л ь ц м а н а . Он нашел, что

вариационный

метод

с по­

стоянной

пробной функцией дает неплохие результаты, но

толь­

ко дл я

сравнительно тонких слоев. В поисках более

точных

решений

Мокел исследовал еще три приближения: а)

аппрокси­

мация функций Ч а н д р а с е к а р а с помощью моментов;

б)

вариа ­

ционное

решение с экспоненциальной пробной функцией;

в) ис­

четы были проведены

дл я

значений

x = Ss /S,

изменяющихся

в

пределах 0 , 1 ^ x ^ 0 , 9 .

Н а рис. 3.1 показаны результаты,

полу­

ченные этими тремя методами, дл я случая

изотропного источни­

ка

тепловых нейтронов. Н а

рисунке

приведены

т а к ж е результа­

ты,

полученные с помощью

постоянной

пробной функции

и

численного интегрирования кинетического уравнения [7].

Полуэмпирическая

диффузионная'

формула

позволяет

полу­

точных решений. В этом случае

интегральное альбедо может

быть определено из в ы р а ж е н и я

а(Ет,

d) = 1 ~ e ~ 2 a r f

Г

+ g(х)1

(3.6)

где a, ß, A, f ( x ) , g (у.)

— э м п и р и ч е с к и е

коэффициенты

и функции,

значения которых

в

зависимости

от вида источника

приводятся

в табл . 3.2.

Угловое распределение плоского источника

а

ß

Мононаправленное при нормальном па­

1,37(1—:4°

1,37(1-

дении

1,33(1-_ ѵ )0,367 5

Изотропное

1,37(1—-л)0 -4 4

Косинусоидальное

1,37(1—/.)0 '4 4

1,37(1-- л ) 0 ' 4 4

й д л я плоского

изотропного источника

а

^ =

«, п 4

^

І 1 п 0

+ ѵ) - ѵ 1 2 .

(3.8)

V 2 In (1 —

V 2 )

где V — положительная

величина,

у д о в л е т в о р я ю щ а я

трансцен­

дентному уравнению

Ct..

t 1 I

\

(3.9)

О

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9.x

Рис.

3.2.

Зависимость

(1—ѵ)

от

'/..

В табл . 3.3 результаты расчета

по

ф о р м у л а м

(3.7) и

(3.8)

сравниваются

с точными

решениями

Ч а н д р а с е к а р а .

Формулы

(3.7)

и

(3.8)

в

работе

[8]

были

определены

из

более

общего

в ы р а ж е н и я :

« (£Т )

-=

, _ f l 2 r „ . 4

In (1 -

V) - V,

(3.10)

In

(1

1

M

(Ho)

1 +

HoV

где Г

=

; ца — косинус

угла

падения

излучения;

J M

(Ио) ацо

Т а б л и ц а 3.3

Сравнение токовых значений альбедо тепловых нейтронов,

приведенных

в работе

[8], со значениями,

полученными Чандрасекаром

а (Ят , Ѳ„=0°) для

а (£.,) для плоского

мононаправленного

источника

изотропного

источника

при нормальном

падении

У.

X

результаты

значения

результаты

значения

работы [8]

Чандрасекара

работы [8]

Чандрасекара

0,25

0,046

0,045

0,1

0,020

0,022

0,35

0,071

0,070

0,3

0,071

0,074

0,45

0,100

0,098

0,4

0,104

0,107

0,55

0,136

0,135

0,5

0,144

0,147

0,75

0,246

0,248

0,6

0,192

0,195

0,85

0,342

0,340

0,7

0,254

0,257

0,95

0,538

0,536

0,8

0,340

0,342

0,98

0,672

0,673

0,9

0,477

0,478

В(\х0)

— у г л о в о е

распределение

падающего

на

рассеиватель

нейтронного излучения.

Успех

формул

(3.7)

и

(3.8)

дл я

мононаправленного

(при

Ѳо = 0°)

и

изотропного

углового

распределений

излучения

пло­

ских

источников

позволяет

надеяться,

что в ы р а ж е н и е (3.10)

мо­

ж е т

быть применено при расчете токовых интегральных

альбедо

тепловых

нейтронов для произвольного

углового

распределения

п а д а ю щ е г о излучения.

Альбедо тепловых нейтронов дл я

случая нормального

паде­

ния

тепловых нейтронов на полубесконечную

среду,

исследовал

т а к ж е Р а ф а л ь с к и й

[9]. Он

получил

следующую

формулу

дл я

токового

интегрального

альбедо:

а(Ет,

Ѳ0 = 0») =

1

,

(3.11)

2

L

V

J

где

V находится

из рис. 3.2.

к,

Значения токового интегрального

альбедо

в

зависимости от

рассчитанные

по данным работы [9] [формула

(3.11)],

вместе

с

результатами

Ферми

[1] и М о к е л а

[6] приводятся

на

рис. 3.3.

Анализ

этих данных показывает,

что, хотя формула

Ферми

(3.1)

выведена дл я больших N (слабое поглощение), она удовлетво­

рительно описывает обратное рассеяние тепловых

нейтронов и

при

наличии

сильного

поглощения.

Н а п р и м е р ,

д а ж е

при

N =

1,11

= -^- =

0,1 ^ расхождение

с

более

точными

данны ­

ми

работ [6, 9] не превышает 6%.

Вэллс [10] определил дифференциальное и интегральное

аль­

проведении

расчетов . предполагалось,

что тепловые нейтроны

рассеиваются

изотропно и без потери

энергии. П р о с л е ж и в а н и е

нятый

в работе

[10], приведен

в табл . 3.4.

Т а б л и ц а

3.4

Химический

состав бетонов,

принятый в работе

[10], 102 1

атом/см3

Портландскиіі

TSF-бетон

Элемент

ПортландскнІІ

TSF-бе гон

Элемент

бетон

(р=2,3 г/см1)

бетон

( р = 2 , 3

г/см')

(р=2,3 г/см')

( р = 2 , 3 г/см')

H

2,868

15,6

AI

1,32

О

43,260

39,6

Si

9,889

10,00

С

6,507

5,42

Ca

8,736

7,40

Mg

—

0,40

Fe

—

0,31

Анализируя

полученные

результаты,

Вэллс предложил

сле­

д у ю щ и е формулы д л я дифференциального

токового

альбедо

теп­

ловых

нейтронов:

д л я портландского

бетона

а(ЕТ,

Ѳ0 ;

Ѳ) =

0 , 2 1 j . ^ v V ; .

(3.12)

д л я TSF - бетона

(

а(Ет,

Ѳ0 ; Ѳ) = 0,2ц.

(3.13)

З а д а ч а об

угловом . распределении выходящих

из

среды

теп­

ловых

нейтронов р а с с м а т р и в а л а с ь т а к ж е

в работах

[1, 11—16].

а(Е1г Ѳ0 =

0°; Ѳ) =

ц + / з " ц»

(3.14)

я ( l +

2//3")

* TSF — Tank Shielding

Facility — башенная

установка для исследова­

Эта ж е з а д а ч а р а с с м а т р и в а л а с ь

П л а ч е к о м

[11]. Р е ш а я

строго

одномерную

з а д а ч у Милна,

П л а ч е к

получил

д л я углового рас­

пределения

нейтронов, выходящих

из полубесконечной

среды,

результаты,

совпадающие

с

распределением

Ферми (3.14).

Расчеты,

выполненные

в

работах

[12, 13] д л я непоглощающей

тропия

рассеяния

слабо

влияет

на

угловое

распределение

выхо­

д я щ и х

из среды нейтронов

(рис.

3.4). П р и

этом

дифференциаль -

1,6

4

*****

3 0,8

е-

¥

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 3.4. Угловое распределение плотности

потока Ф(]і)

тепловых

нейтронов,

выходящих

из

полубесконеч­

ной

среды

без

поглощения при

различных

индикатрисах

рассеяния:

£ = Л = 0

[11];

g=h

= l [131;

г=0,/і-2

U3]; O-g=0,

h=2

[12].

ное сечение

рассеяния

нейтронов

з а д а в а л о с ь

первыми

тремя

членами р а з л о ж е н и я по полиномам

Л е ж а н д р а -

где g,

h — постоянные;

ц. — косинус

угла

рассеяния

нейтрона;

Рііѵ) — п о л и н о м

Л е ж а н д р а

і-к степени.

Р е з у л ь т а т ы проведенных

в этих

работах [12, 13] расчетов по­

к а з а л и ,

что

различие

в

угловом

распределении

нейтронов

на

границе среды при изменении g и А от нуля

(изотропное

рас­

сеяние)

до g = l

и h = 2

не

превышает

12%

и

с такой ж е

по­

грешностью

совпадает с

результатами

Ферми

и

П л а ч е к а .

С ростом

сечения

з а х в а т а угловое

распределение

нейтронов,

З а х в а т нейтронов

приводит

т а к ж е к изменению

формы

энер ­

гетического спектра

тепловых

нейтронов. К а к показали

вычис­

ления [14], выполненные

д л я сред с поглощением типа

где

V — скорость

нейтрона,

а я варьируется от 1 до 5, изменение

формы энергетического

спектра наиболее велико при поглоще­

нии типа 1/ѵ5.

П р и этом

максимум энергетического

распределе -