книги из ГПНТБ / Авдеев, Н. Я. Аналитико-статистические исследования кинетики некоторых физико-химических процессов учеб. пособие

(4)

Параметры распределения а, р, п функции (1) в каждом кон­

стему уравнений, которая для вычисления параметров распреде­ ления а, р, п по характеристическим точкам (л;, х', х") функции

(1) приводится к численному решению относительно параметра р "уравнения

Способ пропорциональных точек. Если выбор точек интер­ полирования кривой плотности распределения (1) подчинить условию пропорциональности

и задать значения функции / (х) в этих точках, то. после соот­

Способ моментов. Полагая в (3) т — 1, 2, 3, получим систему трех уравнений, которая может быть использована для вычисле­

10

ния параметров распределения а, р, п по моментам первого, второго и третьего порядков наблюдаемого распределения слу­ чайной величины.

Способы вычисления параметров по опытным данным куму­ лятивной кривой распределения и уравнению

При вычислении параметров а, р, п = kp по трем и большему числу точек интерполирования кумулятивной кривой распре­ деления по формулам (12) можно пользоваться, например, сле­ дующей схемой записи вычислений:

11

результатам непосредственных вычислений или вычислений с помощью таблиц умножения и возведения в степень.

Графы 9 и 10 заполняются для получения оценки (графа 11) согласованности опытных (графа 3) и расчетных (графа 10) ре­ зультатов.

При вычислении параметров распределения по формулам (13) по двум точкам интерполирования узловые точки следует выбирать в наиболее характерных местах кумулятивной кривой. Например, если кумулятивная кривая распределения задана графически, то узловые точки следует брать по разные стороны от точки перегиба в местах наибольшей кривизны кривой. Если кумулятивная кривая не имеет точки перегиба, то узловые точки выбираются по разные стороны от наибольшей кривизны кривой так, чтобы выполнялось условие Ф (х2) — Ф (хх) « 5 0 % .

12

Таким образом, мы видим, что если случайная величина распределена по закону (9), то при я = кр параметры (а, р, я) могут быть вычислены по способу наименьших квадратов по двум или большему числу точек интерполирования кумулятив­ ной кривой распределения с использованием табличных значе­ ний функции (10). При к = 1, т. е. при я = р из (1) и (10) как частный случай получаются известные в дисперсионном анализе уравнения Розина-Раммлера [14] или закон Вейбулла [9]

Статистические характеристики случайной величины, рас­

ческое ожидание (х), среднеквадратическое отклонение (а) и коэффициент вариации (ул.) определяются по формулам:

Практическая ценность применения уравнений (14) и их модификаций для выравнивания опытных кривых распределе­ ния большого диапазона случайных величин в настоящее время хорошо известна [1, 2, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18]. Примеры применения уравнений (1) и (9) в их более общем виде пока не­ многочисленны [1, 2]. Объясняется это, по-видимому, тем, что пока нет достаточно удобного в практическом отношении ал­ горитма вычисления параметров распределения (а, р, я) по ми­ нимальному числу опытных данных. Кроме того, если аналити­ ческое выражение уравнений (14) в настоящее время находит теоретическое обоснование в статистике экстремальных значе­ ний [9, 19 ], то уравнения (J) и (9) такого обоснования пока не имеют.

13

§ 2. Кривые Столетова намагничивания ферромагнетиков

По существующей теории процесса намагничивания ферро­ магнетиков [20] и статистической обработки большого экспери­ ментального материала [21, 22, 23] следует, что характер за­ висимости величины намагничивания / от напряженности на­ магничивающего поля Н может быть выражен уравнением вида (14):

получается явное аналитическое выражение магнитной воспри­ имчивости ферромагнитного вещества:

Исследуя уравнения (21) и (23) на экстремум, находим, что магнитнаяпроницаемость р и магнитная восприимчивость % достигают максимума для значений Н, определяемых из уравне­ ния

В случае нулевого решения уравнения (24) из (21) и (23) пре­ дельным переходом имеем:

14

гиба, но для больших значений Н также принимает горизонталь­

зуются тем, что (.1 и %сначала сильно возрастают с увеличением напряженности поля Н, а затем, достигнув максимума при Я = == Н\а — Н% (26), начинают падать. При этом для больших зна­ чений Н величина р, стремится к единице, а величина %— к ну­

начинают падать, монотонно приближаясь к своим предельным значениям 1 и 0. При р < 1 величины р и %обладают бесконеч­ ным скачком, но с увеличением Я начинают падать, как и в пре­ дыдущих случаях. Важно заметить, что приведеннаія геометриче­ ская характеристика уравнений (18,- 20, 21, 23) находится в соответствии с характеристикой экспериментальных кривых Столетова для ряда образцов ферромагнетиков [21 ], представ­ ленных табл. 1, 2 и рис. 1—5.

Из табл. 1 видна хорошая согласованность расчетных (Ір) и опытных (/0) определений намагничивания сплава Гейслера [21 ]. Среднеабсолютная погрешность взаимного отклонения расчетных и опытных определений составляют около 1 %; мак­ симальная погрешность по отдельным измерениям менее 3%. Данные табл. 2 показывают на принципиальную зависимость характеристики намагничивания сплава Гейснера от времени старения и других факторов.

В табл. 3 и 4 приведены результаты расчета по формулам (14—17 при X = і) и опытных [22, 23] измерений остаточной на­ магниченности активных масс железного электрода щелочных

15

Рис. 1. Кривые намагничивания сплава Гейслера, построенные по уравнению (18)

Iß

18

аккумуляторов в зависимости от силы тока (і) в обмотке электро­ магнита. Среднеабсолютная погрешность расчетных и опытных определений (табл. 3) по всем испытанным образцам меньше 2%; -максимальная погрешность по отдельным замерам не превыша­ ет 5%. Из табл. 4 видно, что статистическая характеристика остаточной намагниченности активных электродных масс зави­ сит не только от природы компонентов исходного вещества, но и от технологии их получения [22—28].

§ 3. Коалесценция капель эмульсий на границе раздела двух жидких фаз

Кинетику коалесценции капель эмульсий на границе разде­ ла двух жидких фаз [29, 30] можно представить аналитическим выражением вида

где Na — число всех капель; N — число капель, коалесценировавших за время т > т0; а и р — параметры, зависящие от условий коалесценции и от природы вещества.

Уравнение (27). получается из статистического закона тео­ рии «наиболее слабого звена» [19], примененного к распреде­ лению «времени жизни» капель у плоской поверхности раздела двух жидких фаз. Схематически это можно представить следую-

19