книги из ГПНТБ / Швырков, В. В. Моделирование внутригодичных колебаний спроса

Таблица 13

После того как рассчитана постоянная сезонная волна (одним из вышеизложенных методов), ее можно записать в виде матема­ тической функции.

В качестве аналитической формы сезонной волны иногда при­ меняется уравнение следующего вида:

выражается в радиальной мере или в градусах (см. табл. 14). Для вычисления синусов и косинусов разных гармоник можно пользо­ ваться табл. 15.

Параметры уравнения (2) определяются способом наименьших

31

2 у cos t

2 у sin t

32

Рассчитаем теоретические значения сезонной волны потребле­ ния яиц по функции (2) при k = \ . Исходная информация запи­ сана в табл. 16. В результате решения системы нормальных урав­ нений были определены параметры функции (2):

у = 100,0 —14,28 cos t + 26,41 sin t •

Анализ показал, что выравнивание сезонной волны потреб­ ления яиц по второй, третьей и четвертой гармоникам дает худ­ шие результаты.

В заключение следует отметить, что применение ряда Фурье оправдано только в том случае, если максимумы и минимумы се­ зонных колебаний повторяются через равные промежутки вре­ мени. Так, например, сезонные волны покупок кожаной обуви и потребления картофеля не поддаются выравниванию ни по одной из гармоник ряда Фурье.

2.5. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭВОЛЮЦИИ СЕЗОННОЙ ВОЛНЫ

Факторы, формирующие сезонные колебания спроса, в дина­ мике изменяются. Это приводит к эволюции сезонной волны. Из­ вестны три типа эволюции сезонной волны: изменение характера сезонной волны при постоянной амплитуде колебаний (качествен­ ная эволюция); изменение характера и амплитуды сезонной вол­ ны; изменение амплитуды сезонной волны при постоянном харак­ тере сезонности (количественная эволюция)1. Первый тип эволю­ ции сезонной волны имеет место в том случае, если влияние фор­ мирующего фактора переместилось от одного месяца к другому. Второй тип эволюции сезонной волны возникает в результате по­ явления новых факторов или изменения интенсивности воздей­ ствия старых факторов и перемещения их влияния от одного ме­ сяца к другому. Третий тип эволюции сезонной волны наблюда­ ется только в случае усиления или ослабления влияния формиру­ ющих факторов.

Н, С, Четвериковым21 разработан метод измерения эволюции

1 См.: Леонтьев И, Н. Понятие и сущность сезонных экономических явле­ ний,—В кн: Труды конъюнктурного института, т. I. М., 1929.

2 Четвериков Н. С. Изменение напряжённости сезонной волны и интен­ сивности беспорядочных колебаний в экономических показателях 1928/29 г, по сравнению с предыдущими годами. — В кн: Труды конъюнктурного института, т. II. М„ 1930.

сезонной волны при помощи коэффициента напряженности. Коэф­ фициент напряженности (k) характеризует связь между абсолют­

ными сезонными отклонениями (di = tji—уі) и постоянной сезон­ ной волной. Эта связь записывается уравнением прямой для каж­ дого года (либо для скользящего периода)

d=k-y,

где (по способу наименьших квадратов)

Zdy k= МуУ- ’

у — постоянная сезонная волна, вычисленная по значениям ■

н

3.0 ■

15

2.0

1.5

Ю

)

Рис. 9. Коэффициент напряженности сезонной волны.

Изменение коэффициента напряженности (/г) по годам (см. рис. 9) свидетельствует об эволюции сезонных колебаний, а сле­ довательно, и сезонной волны.

В нашем примере (см. табл. 17) коэффициент напряженности вначале увеличился до 2,13 (по годам), а затем уменьшился до 1,28. Это говорңт о том, что за рассматриваемый пятилетний пе­ риод сезонная волна претерпевала две эволюции — увеличение (до 2 года) и уменьшение.

Известны и другие методы анализа эволюционных изменений сезонности. Так, например, относительные сезонные колебания спроса одноименных месяцев располагают в хронологическом по­ рядке (по годам) с целью исследования эволюции их тенденции. Тенденция изучается аналитически в виде временного тренда1.

1 См.: Ланге О. Введение в эконометрику. М., 1964, с. 77, см. также: Миллс Ф. Статистические методы (Пер. с англ.). Под ред. П. П. Маслова. М., 1959., с. 365.

кам, то процесс выравнивания по Шеппарду сводится к следую­

щему.

По первым 5 точкам эмпирического ряда производится вырав­ нивание по прямой линии способом наименьших квадратов. Сре­ динное значение выравненного ряда относят к третьей точке. За­ тем по следующим пяти точкам, начиная со второй и кончая шес­ той, также проводят прямую по способу наименьших квадратов. Срединное значение этого выравненного ряда относят к четвертой точке ряда и т. д. Таким образом получают сглаженные значения ряда. Точно так же поступают и при сглаживании ряда по парабо­ ле II порядка, III порядка и т. д. Весь процесс такого сглаживания значительно упрощается, если воспользоваться весами, предложен­ ными Шеппардом и Шерифом1. Приведем в качестве примера рас­ чет сглаженного ряда и случайных колебаний по месячным дан­ ным о душевом потреблении свежих фруктов (см. табл. 18, рис. 10).

Годы (за сентябрьj

-------ЗмпирПчеснийряд ........ Сглаженныйряд

Рис. 10. Сглаженный ряд месячного потребления фруктов, вычисленный методом Шеппарда.

Выбору типа кривой должен быть предпослан анализ конечных разностей. Сложность этого анализа заключается в решении сле­ дующего вопроса: начиная с какой конечной разности (kn) мы мо­ жем предполагать, что математическое ожидание элиминировано и мы имеем дело со случайными колебаниями?

В советской статистической науке этой проблемой занимались

36.

Таблица 18

2. Данные 4 колонки рассчитываются путем умножения 0,3429 на значения

2 колонки.

3.Данные 5 колонки вычисляются-путем умножения 0,0857 на значения 2 ко­ лонки.

4. Сглаженный ряд рассчитывается но следующей схем е—0,1096+0,4286+0,8694+

+0,5006—0,1251 = 1,4739—0,1071 +0,6133+ 0,7091+0,8607—0,1172= 1,9593

=0,4

ют на постулировании следующего факта: если ряды случайны, то их колебания беспорядочны во времени. Следовательно, колеб­ лемость первых и последующих разностей должна быть такой же, как и^колеблемость первоначальных данных. В связи с этим мож­ но сделать вывод: если мы нашли, что конечная разность (k0) по­ рядка такова, что ее колеблемость равна колебаниям (£0+і) раз­ ности, а также равна колебаниям (60+2) разности и т. д., то

.вправе считать, что мы достаточно полно элиминировали матема-

.тическое ожидание (k0) разностью.

Разумеется, что полного равенства между колеблемостью рядов (kQ, ko+i, ko+2) не будет, так как мы имеем дело с вероятностными процессами. Следовательно, мы должны показать, что разница

37

между колеблемостью двух последовательных рядов конечных раз­ ностей будет меньше трех стандартных ошибок1.

Решение вопроса о выборе порядка конечной разности имеет непосредственное отношение к определению типа функции. Так, О. Андерсон пишет, что вид функции должен выбираться по сле­ дующему правилу: если постоянные элементы более или менее элиминируются первыми или вторыми разностями, то выравни­ вание производится по уравнению прямой. Если же математичес­ кое ожидание элиминируется третьими или четвертыми разнос­ тями, то применяется парабола второго порядка и т. д.

Вопрос же о периоде сглаживания тесно связан с точностью расчета. Г. Тинтнер считает, что увеличение периода сглаживания приводит к уменьшению колеблемости случайных элементов в вы­ равненном ряду.

Применение метода меняющихся разностей уточняет месячные данные, исключая из них случайные колебания.

3. ИТЕРАТИВНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СЕЗОННОГО КОМПОНЕНТА

Большинство методов расчета сезонной волны выполняется в следующей последовательности: тренд, сезонные колебания, сезон­ ная волна. Применение этого принципа основано на гипотезе од­ носторонней связи между трендом и сезонной волной. От правиль­ ности расчета тренда зависит точность сезонной волны.

Известно, что временной тренд, полученный с помощью ^-ме­ сячной скользящей средней, полностью не свободен от влияния сезонности. Это объясняется тем, что внутригодичные колебания непостоянны во времени, они подвержены влиянию конъюнктур­ ных и случайных факторов. В результате этого сезонные колеба­ ния частично включаются во временной тренд. Чтобы избежать этого, Н. С. Четвериков предложил временной тренд и сезонный компонент рассчитывать комплексно в несколько итеративных этапов.

На первом этапе вычисляется общий уровень развития дина­ мического ряда по 12-месячной скользящей средней. Этот уровень состоит из тренда и частично из сезонных колебаний. Он недоста-

1 Решение данной проблемы методом оценки значимости усложняется сле­ дующими обстоятельствами. Предположим, что мы желаем сравнить колеблемость первоначальных данных ряда с колеблемостью первых конечных разностей. Од­ нако у нас нет оснований сопоставлять эти данные, так как данные первоначаль­ ного ряда не являются независимыми по отношению к ряду первых конечных разностей. Поэтому Г. 'Тинтнер предлагает применить метод механического от­ бора. Отобранные первоначальные данные сравниваются с отобранными чле­ нами ряда первых разностей. Если полученные выборки между собой независи­

мы, то и их квадраты отклонений (of, a fj также независимы. Рассчитав от­

ношение о 1 к о | и сравнив его с показателем F, можно судить о случайности

или неслучайности расхождения этого отношения, т. е. можно сделать вывод о применимости того или иного полинома.

38

7* = y2fe

точно полно отражает конъюнктурные колебания, из него исклю­ чена большая часть случайного компонента (см. табл. 19, колон­

ка 3).

Второй этап — расчет абсолютных сезонных колебаний и вы­ числение по ним предварительной сезонной волны в нормирован­ ных отклонениях (колонки 4—7). При расчете сезонной волны эли­ минируются случайные колебания, а также частично конъюнктур­ ный компонент.

Третий этап — расчет общей тенденции (уі), включающий в себя конъюнктурный и случайный компоненты (колонка 8). Для выполнения этого расчета вначале вычисляются теоретические аб­ солютные значения сезонных колебаний (йф^УіОі) по предвари­

тельной сезонной волне (Уі) и средним квадратическим отклоне­ ниям (оі). Этим расчетом элиминируется конъюнктурный компо­ нент из сезонных колебаний. Конечный результат получается в результате вычитания теоретических сезонных колебаний из пер­ воначальных данных динамического ряда.

Четвертый этап. Общая тенденция ряда (г/і), вычисленная на третьем этапе (колонка 8), сглаживается по нечетному числу чле­ нов скользящей средней в зависимости от величины конъюнктур­

ных колебаний (г/г)- На пятом этапе рассчитываются абсолютные сезонные коле­

бания (dg) и средние квадратические отклонения (сгг). Вычислен­ ные сезонные отклонения (h) очищены от конъюнктурных колеба­ ний и являются более точной информацией для расчета оконча­ тельной сезонной волны (колонки 10—13).

На шестом (заключительном этапе) рассчитываются коэффи­ циенты напряженности (k), характеризующие эволюцию сезонной волны во времени (Уг). С учетом этих коэффициентов вычисля­ ются уточненные абсолютные значения сезонных колебаний (Уг/г) и окончательный временной тренд (г/3). Окончательная общая тенденция ряда состоит из плавного уровня конъюнктурных коле­ баний и случайного компонента (колонка 15). Сезонный компо­ нент с учетом его тенденции изменения во времени исключен из динамического ряда.

Итеративный метод определения сезонного компонента был разработан Н. С. Четвериковым1. В настоящее время он получил широкое распространение во многих странах мира,- Принцип ите­ ративного определения сезонной волны и тренда положен в основу метода, разработанного Бюро статистики труда США. Метод Бюро статистики труда представляет собой усовершенствованный ва­ риант расчета скользящей средней с применением электронновычислительных машин. Методом итерационных вычислений ди­ намический ряд расчленяется на сезонный, трендциклический и

1 См.: Четвериков Н. С. Методика вычисления сезонной волны в кратко­ временных рядах—В кн.: Вопросы конъюнктуры* т.. 4, М., 1928.

40