книги из ГПНТБ / Расчет железобетонных конструкций при сложных деформациях
..pdfЗдесь
В — а (со + Т'); |
(11.73) |
r a = - i - ( o (2 _ n ') .
Значение £* определяется из уравнения (II.70), а £0 — из отно шения %= Аоу!А0х, из которого после преобразования получим квадратное уравнение
K U + 2£о - |
к о |
= |
0. |
|
(11.74) |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
—1± ~\/1+ |
Я,п |
|
|
(11.75) |
|
|
Я.П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
=2 = |
£о- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К3 = 24 {ап [А' Яп— Б ' i]'-0 ,5 Л Па п (1 —р')* + |
0.5 (1 - р ') + |
|||||
+ |
(1 —Р')] — В2 Яп— Г2}. |
|
(11.76) |
|||
2. |
Г-образное сечение |
|
|
|||
а) Свес плиты слева. При со = 0, |
В 2 — 0 и Г2 = |
0 уравнения |
||||
принимают вид: |
|
|
|
|
|
|
5i = « n ( i - p ') + - f |
5»; |
|
(И-77) |
|||
Л , = ап [А' — 0,5ап (1 - |
p 'f} — ^ |
£б; |
(П.78) |
|||
Л0У= а п [ Б 'V - 0 ,5 ( 1 - p ') ] |
+ - i - l 0; |
(П-79) |
||||
Значение £0 определяется по формуле (11.75), но для Г-образ- ного сечения
К 2 = 24 <хп [А'ХП — Б'т)' — 0,5Аап (1 — р')2 + 0,5 (I — р')].(11.80)
б) Свес плиты справа. Подставив в первый и второй члены урав
нений (II.67) — (II.69) -значение b вместо |
и разделив уравнение |
||
(11.67) на Ruvbh, |
уравнение (II.68) на-RaJbh2 и уравнение |
(11.69) |
|
на Rnvb2h, после |
преобразования получим безразмерные выраже |
||
ния: |
|
|
|
|
Е1 = а ( 1- р ') + 4 - Ь > |
~ ; |
(Н.81) |
|
I |
Г] |
|
7 0
Л .г. = а | А '- 0 , 5 а ( 1 - р ') 2- Н |
1 - р ' ) ^ ] - - - |
(11.82) |
|
—а [Б' —0,5 (1 —р')] |
— £0 А Г2; |
(11.83) |
|
К2 = 24 |а[А'А,—Б '—0,5?ta(l-p')2 + 0,5(l—р')А |
|
||
+ |
(1 —Р ' ) \ — В3 А, —Г2}. |
(11.84) |
|
Здесь
Значение £0 определяется по формуле (11.75); £а = |
— So- |
|||
3. |
Прямоугольное сечение |
|
|
|
Для прямоугольного поперечного сечения при т)' |
= 1 и ап = а |
|||
формулы (11.77) — (11.80) приводятся к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.85) |
Д* = а [А' — 0,5 а (1 - p ’f |
] |
- |
(11.86) |
|
|
|
24 |
|
|
А» = |
а [ Б '- 0 , 5 ( 1 - р ') ] + |
|
|
(П.87) |
К 2 = 24 а [А'Я, — Б ' — 0,5 Ы (1 — р')2 + |
0,5 (1 — p')l |
(11.88) |
||
Б. ЭЛЕМ ЕНТЫ С ОДИН ОЧН ОЙ АРМАТУРОЙ
1. Тавровое сечение
При Fa = 0 и р' = О формулы (11.70) — (11.73) и (11.75) — (11.76)
принимают вид:
Si = “n + — So—®; |
(11.89) |
2 |
|
А* — ап (А—0,5ап А со)—— Ц —В2; |
(11.90) |
Ау = ап —0,5) А — А ^г! |
(11.91) |
71
р — 1± V Н~ Ki X
(11.92)
Кг = 24 1а п (АХ — Бг|' — 0,5Хап 0,5 + Хо) — В2Х— Г2].(П.93)
-2. Г-образное сечение
а) Свес плиты слева. В уравнениях (11.77) — (11.80) при оди
ночной арматуре р' — 0 они |
принимают |
вид: |
|
|
|||
|
?l = a n + Y ^ ; |
|
|
(11.94) |
|||
|
|
|
|
||||
|
Аох = ап(■К— 0,15ап) — |
£о; |
|
(11.95) |
|||
|
Ау = « п (Бт)'— 0,5) + |
| 0; |
|
(11.96) |
|||
|
Кг = 24 ап (АХП- |
Бт]' - |
0,5Хпа п + 0,5). |
(11.97) |
|||
б) Свес плиты справа. Уравнения (11.81) — |
(11.84) при р' = 0 |
||||||
принимают |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
f |
, |
1 с. |
(0 |
|
(11.98) |
|
|
^1 = а + — Ео—— |
; |
|
||||
|
А* = а ^А— 0 |
, |
5 а |
j —— |
—В2; |
(11.99) |
|
|
Ау = а (Б — 0,5) + — |
~Ь Г2; |
|
(II.100) |
|||
Кг = 24 |
а^АХ— Б — 0,5Ха + |
0,5 + Я—-^) — В2Я— Г2 . |
(11.101) |
||||
|
3. Прямоугольное |
сечение |
|
|
|||
Уравнения (11.85) — (11.88) при р' |
= |
0 имеют вид: |
|
||||
|
?i — а + ~ |
&>; |
|
|
|
(11.102) |
|
|
А* = « (А —,0,5а)—-^-£3; |
|
(11.103) |
||||
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
Ау = а (Б — 0,5) -f |
£0; |
|
(II. 104) |
|||
|
Кг = 24 а (АХ — Б — 0,5 Ха + |
0,5). |
(11.105) |
||||
Значение определяется по формуле (11.92); А и Б по формулам
(11.36) и (11.37).
72
П.5. СЛУЧАЙ Н-а ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
В случае П-а нейтральная ось пересекает боковую и нижнюю грани плиты; > 1 и < hn. Случай возможен при тавровом и Г-образном сечении со свесом плиты справа.
А. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ С ДВ О Й Н О Й АРМАТУРОЙ
В тавровом сечении (рис. II.7), пренебрегая небольшой частью сжатой зоны плиты, для упрощения расчетных формул уравнения предельного равновесия можно представить так:
^ п р /? Пр 1о й -б п + ^ п р Ф п—
- b ) ^ h = R , F a( \ - p J , |
(11.106) |
in |
ь'п-i |
Mx = RttSlll kb!l f h — a1— |
ft) — |
|
ZEZ |
— ^-Rnptohb'n^h— ax—l t h + |
Hr |
m |
|
|
|||
+ Y & oA) + R u ^ b ' - b ) l l h x
C ;
X ^ - a i — ~ ) ~ R acpFax
X 0,5vh + Rap 'F a (h— 2c,); (II. 107)
MtJ = Rnpl1hb'n^np5i,wn I(bй— ua2—---- J~-йп') —
-xf
аг
u. W
Рис. II.7
—T ^ nP |
hK {b~ a* - \ b n |
) + Rap ф'а- Ъ ) b h [ b - a 2 ■ |
6n-& \ |
|
|
|
|
|
2 / |
|
— R&pFa‘0,bub4 -Rg, p' F&-0,5ub. |
(11.108) |
||
В безразмерном выражении: |
|
|
||
|
2an(I — P ') +io . |
(11.109) |
||
|
|
2 (2—T]') |
|
|
|
|
|
|
|
71Од: = «г, |
— |
^ |
( 4 - ^ т ) & |
(H.UO) |
A* — «п (Б' Л '- 0 ,5 |
(1 — р')ц'\ |
(4 —Зт]') |
(II. 111) |
|
Коэффициенты gx и | 0 определяются из равенства (11.109) и отно шения — А 0!//А0х; после подстановки значений А 0х и А йу, преобразования и решения квадратного уравнения получим
73
(4 3 T|')± |
(4_ 3ir)2 + /<axn ^ 4_ _ i _ j |
io = |
, (П.112) |
где
/С, = 24an А' Хп- Б ' ч ] '-0 ,Ы п -(-‘ |
a n+ 0,5 (1 - p ') V ] . |
(11.113)
Б. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ С ОДИНОЧНО]"! АРМАТУРОЙ
При р' — 0 уравнения (11.109) — (11.113) имеют вид:
|
|
1 _ |
■I |
|
|
|
|
*■ |
2an+ So |
2 B |
(11.114) |
|
2 (2- 1!') |
2—11' |
|
|
|
||
A |
° '5 2 _ „ • “ «) |
2Ц 4 2- „ .)IS; |
(11.115) |
an (Bii' — 0,5ii') + -^ -(4 —3ti')6o; |
(11.116) |
||
АА,п— Бт)'— 0,5ЛП^—i—j an — 0,5r]' j . |
(11.117) |
||
В. Г-ОБРАЗНОЕ СЕЧЕНИЕ С ДВОЙНОЙ И ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
а) Элементы с двойной арматурой. Подставив в первые два члена уравнений (II. 106) — (11.108) b вместо Ь'п и разделив эти уравнения: (II. 106) на Ravbh, (II. 107) на Rnpbh2 и (11.108) на Rnpb2h, после преобразования получим уравнения для Г-образного поперечного сечения в безразмерном выражении:
| 1 = [ a ( l - p ') + - y ^ o ] r i '; |
(11-118) |
|||
Afc = « [A' - 0 ,5 a |
(1 - p ' f т \ ' ] ~ |
(4 -З т ]') |g; |
(11.119) |
|
Ари= “ |
Б '— 0,5(1 |
+ |
|
|
|
|
|
V |
|
+ |
_1_ |
4 — 3 |
|
( 11. 120) |
12 |
|
|||
74
Значения |
коэффициентов ^ |
и £0 определяются из равенства |
|
(11.118), и после подстановки |
значений А йу и А 0х в |
отношение |
|
Я. = А о /А ох, |
преобразования |
и решения квадратного |
уравнения |
получим |
|
|
|
|
|
'- 3(2- ^ )l + l / 4 —3 |
2 — |
2 + КаЯ.(4—Зт)') |
|||
|
|
|
Я, (4— 3ii') |
|
|
( 11. 121) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
/С2 = 24а [А' Я,— Б ' — 0,5Я.а(1— р')21]' + |
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
+ |
0,5 (1 —р') | 2 ---- j |
|
|
(11. 122) |
|
|
|
|
V |
л |
|
|
|
б) Элементы с одиночной арматурой. Приняв в уравнениях |
|||||||
(11.118) — (11.122) р' = |
0, получим |
|
|
|
|
||
|
|
^ = ( оь + — 6° | т)'; |
|
(11.118') |
|||
|
|
Д * = а (А—0,5ат]') — -j- (4 —3ri')£o; |
|
(11.119') |
|||
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
Л . = а ( Б - 0 , 5 , ( 2 - 5Н + 1 С [ 4 - 3 ( 2 - - ! г ) |
&>; (И. 120') |
||||
|
|
|
|||||
|
|
Ко = 24а АХ— Б —0,5Х ал '+0,5 ^2 —- L J . |
(11.122') |
||||
|
|
II.6. СЛУЧАИ III ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ |
|||||
В случае III нейтральная ось пересекает боковые грани ребра; |
|||||||
l xh > |
Лл и Уг > h'n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
А. ЭЛЕМЕНТЫ С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ |
|
||||
|
|
1. Тавровое сечение |
|
|
|||
При |
тавровом сечении (рис. II.8) |
уравнения предельного равно |
|||||
весия |
для этого случая |
положения |
нейтральной |
оси |
имеют вид: |
||
Я пр h |
h |
b - ^ R av l » h b + |
R av 2 ( b n - b ) к = |
Я а F a - R |
a р ' F a ; (11.123) |
||
|
|
M x = R n p l 1 h b ^ h - a 1-— |
— |
|
|
||
|
|
---- ^ Я п р £ о М (/г -я 1- |
| 1/г + |
- у £ 0) + |
|
||
75
— RacpFa-0,5vfi-\-Rap' Fa (h —2ax); |
(11.124) |
||||||
Mи — Rnp £1 hb ^— |
o2 j |
RnP |
hb ^b— a2---- — bj + |
||||
+ Rnp 2.(6' - b ) K [ - ^ — |
a2) - R apFa• 0,5 ub + |
Ra p1Fa• 0,5u’b. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(11.125) |
|
|
|
В безразмерном выражении эти |
||||
|
|
|
уравнения |
после |
преобразования |
||
|
|
|
представляются в виде: |
|
|||
|
|
|
61 = a ( l - p ') + - f b . “ 2 J 7 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
г]' |
|
|
|
|
|
|
|
(11.126) |
|
|
|
А0х = а |
А' — 0,5а(1 — р')2 + |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(11.127) |
|
|
|
АРу = а [Б' — 0,5 (1 — р')\ + |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(11.128) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
В3 = — |
(2 — + у' |
|
|
(11.129) |
|||
|
3 |
Г |
V Л' |
V |
|
|
|
Величину £„ и в данном случае определяем из отношения X = |
|||||||
= А 0у1А0х, а именно: |
|
|
|
|
|
|
|
.& ,= |
- ^ У ^ + к л |
, |
|
(П.130) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
/С3 = 24 |а [ А ' Я,—Б ' — 0,5Х(1 —р')2 а + 0,5 (1 — р') +
+ 2 ^ г М 1 —Р')] —В3Я,|. |
(11.131) |
2. Г-образное сечение
При свесе плиты слева уравнения предельного равновесия для этого поперечного сечения имеют вид:
ЯпР Ei h b ~ Y |
Rap Ео hb + Rnp (b'a- b ) tin = R&Fa (1 - p ') ; |
(II. 132) |
|||
|
|
Mx= ^npElhb |
--- h j — |
|
|
|
— |
j - R Bpb>hb[h — a, —Ej/z + y i o /г ) + |
|
||
|
|
+ Rap( b ' - b ) t i [ h - a 1- j j - ) - |
|
||
|
— RacpFa-0,5vh + Rap 'F a{h— 2a1)-, |
(11.133) |
|||
- ^ |
= Rnptihb ( - Y - a> |
) - T R |
^ h b ( b - a2 - Y b) - |
||
- R |
np( b ^ - b ) h ^ ^ + |
a 2) - 0 , 5 R aFab(up-u'p'). |
(11.134) |
||
Эти же уравнения в безразмерном виде:
= |
а ( 1 - р '> + -£ -£ „-----(11.135) |
|
|||
|
|
^ |
л |
|
|
А0х = а А ' — 0,5 (1—р ')2 a + —7- (1—Р') 1— гг Ео— Вз; |
(11.136) |
||||
L |
И |
|
J |
24 |
|
Аоу— а[Ъ’— 0,5(1 —^ ^ |
ЙГ |
(11.137) |
|||
в ; = - Г - ^ |
|
|
|
(11.138) |
|
|
2 ц' |
|
|
|
|
|
Г3 = — |
СО |
|
|
(11.139) |
|
л ' 2 ' |
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
При определении Ё0 по формуле (II. 130) |
|
|
|||
К3 = 24 ja |
Б ' — 0,5^(1 —р ')2« + 0,5(1 - Р ') + |
||||
+ ^ г ( 1 - Р')Ь |
- B U |
+ |
Гз}. |
(11.140) |
|
При свесе плиты справа расчет производят по формулам (11.81) — <11.84).
77
Б. Э Л Е М Е Н Т Ы С О Д И Н О Ч Н О Й А РМ А Т У РО Й
|
|
1. Тавровое сечение |
|
|
|||
При Fа = |
0 и р' = |
0 формулы принимают вид: |
|
||||
|
|
. |
1 |
о |
СО |
|
(11.141) |
|
£i = a + — £о— 2 — ; |
|
|||||
|
A , = c c (A -0 ,5 a + 2 ^ |
) - - L ^ |
— Б3; |
(11.142) |
|||
|
Аоу —« (Б —0,5) + — ?0; |
|
(11.143) |
||||
|
В3 = - ^ |
( 2 - ^ |
+ |
И ; |
|
(11.144) |
|
|
|
ч |
V ч |
|
! |
|
|
|
г |
— 1± 1/ 1+Кз X . |
|
(11.145) |
|||
|
|
|
X |
|
|
|
|
Kj —24 |
а ^АХ— Б — 0,5Aa+0,5 + 2 - ^ V |
4* В3 X . |
(11.146) |
||||
2. Г-образное сечение
При свесе плиты слева для расчета поперечного сечения с оди ночной арматурой (р' = 0) формулы (11.135) — (11.137) и (11.140)
представляются так:
Ъ = а + |
|
п |
(11,147) |
2 |
|
|
|
A* = a ( A - 0 ,5 a + |
- ^ ) - J - & 8- B 3; |
([[.[48) |
|
V |
Ч У |
24 |
|
Ло„ = а ( Б - 0 ,5 )+ ^ - Н о- Г 3; |
(11.149) |
||
/<3 = 24 |
a ( АX— Б —0,57,а + 0,5 + |
||
|
+ |
_В з + Г3 |
(11.150) |
|
ч |
/ |
|
При свесе плиты справа рас чет производится по формулам
(П.98) — (II.101).
В расчете элементов таврово го и Г-образного поперечных сече ний, при II и III случаях положе ния нейтральной оси, она может пересекать нижнюю горизонталь ную грань плиты (слева) и боковую
78
грань ребра (справа) (рис. II.9). В зависимости от величины d рас чет производят: при d ^ (Ь'п — Ь) : 2 — по формулам случая II по ложения нейтральной оси; при d > {Ь'п — Ь) :2 — по формулам случая III.
11.7.СИММЕТРИЧНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ АРМАТУРЫ
ВРАСТЯНУТОЙ ЗОНЕ
При переменном знаке изгибающего момента М у косоизгибаемые железобетонные элементы следует проектировать с симметрич ным расположением арматуры в растянутой зоне (рис. II.2,б). Та кое расположение арматуры влияет только на величины изгибающих моментов от усилий в арматуре, т. е. на величину М х>а и Му<а.
Полная площадь растянутой арматуры Fa = fx + 2/^. При fyffx = с
Fa = fx + 2 cfx = fx (1 + 2 c).
При этом
fy = cf = CPFa.
где p = 1 : (1 -f 2 c).
Изгибающие моменты от усилий в арматуре относительно осей и Уг:
М*,а = - Я a F&cp-j-2 + Rap 'F a ( h - 2аа);
м и,а = — RaPFa ■0,5ub —[ RacpFaiib + RaP'Fa (ub — 0,5 lib).
В безразмерном выражении эти моменты имеют вид:
|
|
Ах,а = — ancPv + |
р’ап (1 — 2 6Х); |
||||
А УЛ = |
— 0,5 априг\' |
— сраащ ' |
+ апр' |
(и — 0,5 и') т)'. |
|||
При |
этом |
|
|
|
|
|
|
|
А' |
= (1 - б,) ( 1 |
— р') - |
cpv + |
р' |
(1 — 2 бх); (11.12') |
|
Б '= (1 |
— б2) (1 — р') — 0,5 ри — сри + |
р' |
(и — 0,5 и'). (II.13') |
||||
При одиночном армировании р' |
= |
F'jFa = |
0, и тогда |
||||
|
|
А = |
(1 — оу) — cpv, |
|
|||
где |
|
Б = (1 — 62) — 0,5 ри — сри, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
М У |
ll |
i |
о |
ь . |
|
|
------- ; с = ——. — = tgB — г]'. |
|||||
|
|
1 + 2с |
Мг |
Ьп |
|
^ |
Ъ 1 |
79