книги из ГПНТБ / Расчет железобетонных конструкций при сложных деформациях
..pdfПодставляя в уравнения (II.8) и (II.9) значения ^ср, из уравне ния (II.7), после преобразования получим:
|
(11.10) |
■Аоу— ап Б'т]- ~ (1 —р ') Фх^ + -у- + Гх. |
(11.11) |
Здесь |
|
—р’) — 0,5с/ш + р'(1 —26,); |
(11.12) |
—р') —0,5up-]-(tt—0,5«') р'; |
(II.13) |
Bi= — |
(11.14) |
|
(11.15) |
Если и' — и, т. е. если арматура F'a располагается по ширине ребра сечения на.таком же горизонтальном участке, как и растянутая арматура fx, то
Б ' = |
(1 - |
62) (1 - |
р’) - 0,5 и (р - р'). |
(11.16) |
|||
Коэффициенты |
и tpj, определяющие положение нейтральной |
||||||
оси, найдем из формулы (II.7) и из отношения |
|
|
|||||
л |
|
*0у |
м и |
h |
r ) '= t g p - f |
Г]'. |
|
к |
" |
= |
'мх |
|
|
||
|
|
|
|
||||
Подставив сюда А 0х, A 0v из формул (II. 10), |
(II.11) и |
из (II.7), |
|||||
после преобразования и решения квадратного уравнения получим
Ч>1 = |
-3Ki ± V 9Ki +8ЯП[ап(1- р ')-со13 |
(11.17) |
где |
2[«п(1— Р')— Ш1 |
|
|
(11.18) |
|
Ki = A'V*n — Б'-п'аи — В^п — Г,. |
||
Прочность проверяем по формуле |
|
|
|
М х < AoxRapbnh2- |
(11.19) |
Высоту элемента h и площадь поперечного сечения арматуры определяем по формулам:
f t = j / |
мх |
|
Аох Rnp bn
60
или |
|
|
|
|
|
|
/ |
Mx yhiУ . |
(11.20) |
||
|
'■ = [ / |
-•4ох /*пр |
|
||
|
|
|
|||
Fа |
ап Rnp ^ |
|
а/?пр bh |
(11.21) |
|
.........a |
Ra |
||||
|
|
||||
|
Fk = |
p'Fa- |
|
(11.22) |
|
Здесь yh — hlb; т)' |
= blb„. |
|
|
|
|
Величиной a = |
\^RjRnv, как обычно, |
задаемся. |
|
||
По формулам (11.19) — (11.22) поверяем прочность и определяем высоту и площадь сечения арматуры элемента при любом практи чески возможном положении нейтральной оси для всех рассматри ваемых видов поперечного сечения с одиночной и двойной арма турой при косом и плоском изгибе.
В подкрановых балках и сборных прогонах покрытий значения коэффициентов, входящих в уравнения, колеблются в таких пре
делах: |
|
|
|
|
|
b |
|
1 |
ДО |
i |
|
— == T] —ОТ — |
— |
|
|||
bk |
|
1,5 |
|
3 |
|
h |
|
|
|
|
|
T " = Ya— » |
2 |
» |
4; |
|
|
hk__= v' — » ■l |
» |
l ■ |
|
||
h |
I |
10 |
|
6 |
|
|
|
|
|||
|
= бх = б1—от 0,5 до |
0,12; |
|||
i ьl = 62= |
» |
0,08 |
» |
0,15 . |
|
Удовлетворяя до некоторой степени условию рационального раз мещения арматуры в растянутой зоне бетона, значения v и и можно определять по формулам:
v |
2,5№ |
_1_ |
(11.22') |
|
0,5 + 2,5Х |
Ун ’ |
|||
|
|
и = 1— 262— у-1-26*
1- 26, ’
где
^ = — •— = tg pYfc.
__ М х Ь 61 Г'1
Из условия удобства размещения арматуры fx по ширине ребра сечения и в запас прочности можно принимать
и = 1—2 62.
61
Для подкрановых балок р = |
F'JF& = 0,2 |
-i- |
0,4. |
||
Значение с принимаем равным |
|
|
|
|
|
Ау |
Му |
h |
= tg 6 |
/г |
11' |
с = К :— |
= — • — Г) |
Ъ |
|||
Atx |
М х |
Ь |
61 |
1 |
|
2. Г-образное сечение 1 |
|
||||
а) Свес плиты слева2. Формулы для элементов Г-образного и
прямоугольного |
поперечного |
сечения |
получим |
из |
приведенных |
|
|
выше общих формул. |
|
плиты, распо |
|||
|
При отсутствии части |
|||||
|
ложенной с правой стороны таврового |
|||||
|
сечения, в уравнениях предельного |
|||||
|
равновесия |
члены, зависящие |
от этой |
|||
|
части поперечного сечения, приравни |
|||||
|
ваем |
нулю, |
т. е. со — |
0, В* = 0, 1Д = 0. |
||
|
Формулы для расчета Г-образных |
|||||
|
сечений принимают вид: |
|
|
|||
|
|
|
_о «„(!— Р') . |
(11.23) |
||
|
|
|
£i = 2 |
Ф1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А х = а.;п[а ' — |
|
|
(П. 24) |
||
|
\ |
= «й [ Б ' т 1 ' - ( П . 2 5 ) |
||||
с р ,= |
■А |
•Я? + 2*,и «„(!-/>')• |
(11.26) |
|||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
(11.27)
1-Р'
б) Свес плиты справа. Для Г-образного сечения с плитой справа (рис. II.3), подставив в уравнения (II.4) — (П .6) значение ср^ вместо (ргЬп и разделив уравнение (II.4) на Rapbh, уравнение (II.5) на R apbIR и уравнение (II.6) на Дпр£>2/г, после преобразования по лучим уравнения в безразмерном виде:
1 Кроме расчета на косой изгиб Г-образное поперечное сечение следует рассчитывать на кручение или на косой изгиб с кручением (см. главу IV).
2 Понятия «свес плиты слева» и «свес плиты справа» связаны с постоян ным положением силовой плоскости, определяемым углом р.
62
|
|
|
|
fei — |
|
4>i |
|
|
|
|
|
(11.23') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Айх= |
a |
|
|
|
|
+ |
6 |
Т) |
|
|
(П.24') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Л и = а Б '----~(1 —Р') cpi |
+ "з“ ^ |
ф1 + |
Г1; |
{IL25,) |
||||||||
|
|
|
3/<! ± |
1 |
9K f+8X |
|
|
|
со |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Фх = |
|
|
/ |
|
a(1~ p,)~ V j |
|
(11.26') |
|||||
|
|
|
|
|
(0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2! |
а (1 —р')- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
Кг = |
А'Ла — Б 'а — |
|
— Гх. |
|
(11.27') |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bi = — •— v'; |
— ——— (1 —г)'); |
Х = — .— = tg (3 — ; |
|||||||||||
1 |
2 |
1,' |
1 |
|
2 ^ j |
" |
|
|
Мх |
Ъ |
6,1 |
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
а- |
FaRa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rnp bh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Прямоугольное сечение |
|
|
|
||||||
При |
расчете |
балок |
прямоугольного |
|
поперечного |
сечения |
|||||||
(рис. II.4) Ьп = |
Ь и в формулах (11.23) — (11.27) следует принять |
||||||||||||
г,' = 1, |
а п = |
а и Яп = |
Я,. В результате: |
|
|
|
|
|
|||||
Б. ЭЛЕМ ЕНТЫ С О ДИН ОЧН ОЙ АРМАТУРОЙ
1.Тавровое сечение
Вэлементах таврового сечения с одиночной арматурой F'a — О
и р' |
= 0; |
при этом формулы |
(II.7), (11.10) — (11.13) принимают |
|||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
_ |
.2 («„ — со) . |
(II. 33) |
|
|
|
|
|
Si |
|
Ч>1 |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А* = 0,1 ( а ---- Bi; |
|
(11.34) |
||||
|
|
Лу = |
а п ( Б11' ---- -b -j^ c p !-|-Гх; |
(11.35) |
||||
|
|
|
А = |
1— бх— О.бсри; |
(11.36) |
|||
|
|
|
|
Б = 1 —6„ —0,5рп; |
(11.37) |
|||
|
|
|
- |
ЗА, ± Т/9А? + 8к («п- со)1» |
(11.38) |
|||
|
|
4l |
|
|
2 (фп—со) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= АХПа д—Бт)' а п— ВХЯ,—Гх; |
(11.39) |
||||
|
|
= ^ -соу '; |
Гх = -^-со(1—т|'); и = (1— if) у'- |
|
||||
|
|
|
2. |
Г-образное сечение |
|
|||
а) |
Свес |
плиты |
слева. |
Полагая |
в формулах (II.33) — (11.39) |
|||
со = |
0, Вх = 0 и |
Гх = |
0 или |
формулах (11.23) — (11.27) |
р' = 0, |
|||
получим формулы для Г-образного сечения: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Ь = — |
; |
(П.40) |
|
|
|
|
|
|
|
Ф1 |
|
|
|
|
|
А* = ап ( А — 1-£х); |
(11.41) |
||||
|
|
|
А у= «п( Бт1'— |
|
(11-42) |
|||
|
|
Фх = - |
- f |
Кг ± |
\ |
(IL43) |
||
|
|
|
|
Кг = |
А ^ - Б т Г . |
(11.44) |
||
64
б) Свес плиты справа. Полагая |
|
в формулах (11.23') — (11.27') |
||||||
р' = 0, |
получим формулы для рассматриваемого случая: |
|
||||||
|
Si = |
( - - ? |
• ) . |
|
|
(11.40') |
||
|
|
|
Фх |
|
|
|
|
|
|
Л , = « ( A — |
|
|
|
|
|
|
(11.41') |
|
Аоу = а ^ Б — |
— (Pij + — -^/ |
ф1 + Гх; |
(11.42') |
||||
|
- 3 K i ± ] / ~ 9К1 + 8\ |
—-^у- |
|
|||||
|
ф1: |
„ I |
|
|
со |
|
|
(II. 43') |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 | а —— |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
Ki = Afax — Б а — ВхХ — Гх. |
(11.44') |
||||||
|
3. Прямоугольное сечение |
|
|
|||||
Для |
прямоугольного поперечного сечения |
т)' = 1; |
а п = с:: |
|||||
Хп = К = tgfih/b и формулы (11.40) — (11.44) |
принимают вид: |
|||||||
|
t |
2а |
> |
|
|
(11.45) |
||
|
|
Ъ1 — |
Ф1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л.х = |
а (А— |
|
|
|
(11.46) |
||
|
= |
Б— j-cPij ; |
|
(11.47) |
||||
|
— ^-/ < ! + ] / |
|
^ К \ |
+ 2Ы- |
(11.48) |
|||
|
К 1 = |
АХ — Ъ. |
|
|
(11.49) |
|||
Н.З. СЛУЧАЙ I-а ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
В случае I-а нейтральная ось пересекает верхнюю и нижнюю грани плит; срх ^ .1 и \xh < hn.
А. ТАВРОВОЕ СЕЧЕН ИЕ С ДВ О Й Н О Й АРМАТУРОЙ
Для упрощения расчетных формул пренебрегаем небольшой частью сжатой зоны (рис. II.5). Тогда уравнения предельного рав новесия принимают вид:
3 Зак. 731 |
65 |
, 4 “ R» v |
K + R ™{K ~ b) lih = R aFa (1~ p,y |
(1L50) |
Mx = - y |
^пР?1/гФ1^п {h — ^ — Т ^ + |
|
+ RnV{bn— b) gjh [ h - a v— ^ - ] — # a cp fa -0,5у/г + |
|
|
|
+ ^ а р'Р 'а(/г_ 2 а 1); |
(11.51) |
M ,j= -j-R av lyluPl Ьп[Ь— аг—
~~!r 4>ibu) + ^ Пр(&п — 6)E i^ x
X( & - a a + - ^ ) - - / ? a pFa -0f5«fi +
+i?ap 'F a (w 6 -0,5a'6). (11.52)
Вбезразмерном выражении эти уравнения после преобразования имеют вид:
-j- h Фа+ (! —Л') Ь. = «п О — р ');
|
|
|
(11.53)- |
w |
= ^ = 4 a '- - t <1- ' ’4 - |
|
|
|
- - f |
(1- ч 'Ш ; |
(11.54) |
|
о |
|
|
Mg |
— ^ 01/ — |
Б'11'----^-(1 —р') Фх + |
|
Fnp6п h |
|
||
+ - ^ ( 1- ' п') 0 - |
р ') ~ 6( i - V ) 2Si- ‘ |
(11.55) |
|
Значение фх определяется из уравнения (11.53), а ^ — из от ношения Хп = Аоу/Аох, из которого после преобразования получаем кубическое уравнение:
1? + а0| ! - б 0Е1- с 0 = о, |
(11.56) |
||
где |
2«п (1-РЗ |
1-11' . |
|
«о |
|
||
1- 11' |
Кп ’ |
|
|
|
|
||
66
b0 |
6ап |
A ' V -Б 'т,'— |
||
Я.п (1—i] ) |
||||
|
||||
|
|
с0 = 4 |
(1 ~ Р ')2 |
|
|
|
|
X n(l-ri') ' |
|
Б. ТАВРОВОЕ СЕЧЕНИЕ С ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ
Полагая в формулах (11.53) — (11.56) р' = 0, получим урав нения:
|
1 |
Ei <Pi + |
( i —tT)!i = «п; |
|
(11.57) |
|
|
|
|
||||
|
Л* = а п ( А — |
|
^ ( l - t i ') i ? ; |
(11.58) |
||
|
Л» = «„[Бт1' — |
J -? i + | - ( 1- |
Tl ' ) ] - ^ ( 1- V ) 2Ei. |
(П.59) |
||
где |
определяется из кубического |
уравнения (11.56), |
коэффи |
|||
циенты которого имеют значения: |
|
|
|
|||
|
„ _ 2ап _ !—д' . с _ |
1 |
. |
|
||
|
а° _ 1- ч ' |
ъ |
■ с° - 4апяп(1- ^ |
) ’ |
|
|
|
|
АК — Бг)' -----(1 |
г,')] . |
|
||
Значения А и Б определяются по формулам (11.36), (11.37).
В. Г-ОБРАЗНОЕ СЕЧЕНИЕ С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ
Свес плиты справа. Подставив в уравнения (11.50) — (11.52) вместо ср^п и разделив уравнение (11.50) на RUJ>bh, уравнение (II.51) на ЯпрЬкйи уравнение (II.52) на Rnvb2h, после преобразова
ния получим в безразмерном выражении:
|
5i4>i+ (-“ • l) El = a ( l — р'У, |
(11.60) |
|
ЛГ* |
4 >* = “ |
(11.61) |
|
Rupbh* |
|||
|
|
l - = Л н = а [ Б '— i - ( i _ p 0 9 i+
Дпр ьг
(11.62)
Значения коэффициентов, определяющих положение нейтраль ной оси, найдем из уравнения (11.60), а ^ — из отношения X — = Аду/A qx-
з* |
67 |
После подстановки значений |
А 0!/ |
и А 0х и преобразования по |
|||
лучим кубическое уравнение: ' |
|
|
|
||
где |
|
+ °о !т —Ь0 |
— Со— О, |
(11.63) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2а (1 - р ' ) |
|
11' |
|
|
|
11' |
|
|
|
К = - |
6а |
A ' X - B ' - f d - r t |
|
||
|
|
||||
|
( V - A - . |
|
|
|
|
|
|
2 |
(>— Р')2 |
|
|
|
с0= 4а: |
|
|
|
|
|
|
|
U ' |
|
|
Г. Г-ОБРАЗНОЕ СЕЧЕНИЕ С ОДИНОЧНОЙ АРМАТУРОЙ |
|||||
Свес плиты справа. Полагая |
в |
уравнениях |
(11.60) — (11.63) |
||
0, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(И.64) |
|
|
|
|
|
(11.65) |
|
|
|
|
|
)2ii; (Н.66) |
где |
Е! + |
а0| ? - 6оЕ1- с 0 = 0, |
(11.63') |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
-—1 |
|
|
|
ч' |
|
||
|
6а |
А к — Б |
|
1 |
|
|
|
|
|||
3 V TJ'
( * -
с0 —4а2 ■
к( —р-
.4
68
II.4. СЛУЧАЙ II ПОЛОЖЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОЙ ОСИ
В случае II |
нейтральная ось пересекает боковые грани плиты |
|
и ребра балки; |
ср* > 1 и Цг ^ ha. |
|
А. ЭЛЕМЕНТЫ С ДВОЙНОЙ АРМАТУРОЙ |
|
|
|
1. Тавровое сечение |
|
Уравнения |
предельного равновесия для таврового |
сечения |
(рис. II.6) имеют вид: |
|
|
^npi1^ n - Y ^ n p i o ^ + ^ n p ( 6n - ^ n = ^ ^ n ( i - p /); |
(П.67) |
|
—\ Rpntohbn ^ h — a1— l 1 h +
+— + ^ п р Фп— b)-ha х
X ^ l - a l~ ^h - ) - R acpF&.Q,bvh+ ' ^
+ R a p 'F a ( f i - 2 aiy, (11.68)
My = Rnvl 1hbB[ b - a 2- ^ -
2~ Rap io hbn yb—a2-- g- 6nJ 4~
+ RapФa— b)h'a [b — fl2+
■ bn—b
2 j - R apFa ■0,5ub-]r Rap'[Fa-0,5u'b.
В безразмерной форме:
|
|
|
Zi = a n(l ~ p ') + — £o—v; |
|
‘ |
||
|
|
Mv |
■= A x = |
« П [A' — 0,5 а п (1 —p')2 + |
|||
|
|
Rnp bnh2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ co (1 |
p')]— |
|o —B2; |
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
- г Ч ч |
fi |
= A°y = a* [B' 11'- ° > 5 |
12 |
^ |
+ Г2. |
||
Anp |
|
|
|
|
|
||
(11.69)
(11.70)
(11.71)
(11.72)
69