книги из ГПНТБ / Расчет железобетонных конструкций при сложных деформациях
..pdfКоординаты проекции точки приложения равнодействующей уси лий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение для этого случая равны:
Ус |
s n i + 0 ' 5&П, ( 0 1 + У а ) у о . |
(IV.119) |
||
Рп+ 0‘5ЬпЛЬ + У^- |
||||
|
|
|||
|
Sn2+ Q'5bnt {‘J l + |
У-i) (Х0+ bl) |
(IV. 120) |
|
|
|
|
||
Fn 0,54>! (У1+ 1/2)
Из уравнения (IV. 115)
0.5 (у 1+ у2) ЬП1 = Fa Ra |
Мб = %. |
(IV.121) |
|
Апр |
|
|
|
Обозначим: |
|
||
|
Б х - |
^п + 111 |
(IV .122) |
|
|
||
|
Пх = |
s n, |
(IV. 123) |
|
Л1+Л1 |
||
|
|
|
|
|
Ei = -r—~— |
> (IV. 124) |
|
где |
|
Ец + тц |
|
|
|
|
|
о |
И |
. о |
b\ hn |
Лп‘ - |
|
|
|
P a = b1hn.
Тогда выражения (IV.119), (IV.120) принимают вид:
Ус = Бх + Е^о!
*с = Hi + Ех (Хд + bj.
Для сжатой зоны в виде трапеции:
УгЛ-у\ _
Уо-
3d,
хо — ~ - (f/a+ ^ii)-
3d
Подставляя х0, у 0, получим:
Ei
i/c= B1+ ^ - ( d i i —dn y 2 + yl)\
11
xc—Hi + Ex TT~ (l/2+ ^n) + ^i
. 3“n
(IV. 125) (IV. 126)
(IV. 127)
(IV. 128)
(IV. 129)
(IV. 130)
180
После подстановки у с и х с в уравнения (IV.116), (IV.117) имеем:
Мх = Мох— qx S2Д —FaRa |
Ei dп |
■Б, |
+ |
|
|
|
3d, |
|
(IV. 131) |
|
|
|
|
|
Му = м 0у+ qx S2Т _ (Fa/?a + qx S* T) |
П1 + Ех ( &J.+ |
|||
-(Ea tfa9xS2T ) - |^ < /2. |
|
(IV. 132) |
||
|
,*ч*1 j |
|
|
|
Здесь |
2h |
Ьа + ha', |
||
T = (b■— и) C0/bu', С ~ |
||||
Д = (2 А — и) (А+ 6).
Разделив (IV.132) на (IV.131), после преобразований получим
квадратное |
уравнение |
|
|
|
|
|
УI — Вуъ + А = О, |
(IV. 133) |
|
решая которое найдем |
|
|
||
|
|
уа= В/2 — У В2/4—А. |
(IV. 134) |
|
В формуле (IV.134): |
|
|
||
зdu { м оу + у qxS 4 b n- ( F a R a + qxS°-T) Пх + Ех (*i + ^ * ) ] } ctgp — |
||||
А = |
|
Fa RaEi |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ei du |
|
|
Мох— ?х Д —77a ^a(E i + |
3d, |
||
|
|
Fa R&Ei |
|
|
|
В = |
Fa^a T + 1 'j 6nictg P + |
1/^n- |
|
При b ^ u |
|
|
|
|
д |
3rf11 |
{M0!/—Fa R a [П1 + Et (b+ 6n/3)]} ctg P— |
||
|
|
F a RaEi |
|
|
|
— [M0,;— qx S 2JX— Fa R a |
Б1 |
3d, |
|
|
|
Fa ^a Ei |
|
|
|
|
B = 6nictgp + |
l/dn . |
|
Координаты x c, у c проекции точки приложения равнодейству ющей усилий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение опреде ляются выражениями (IV.129), (IV.130).
181
Находим параметр 5 для этого случая (см. рис. IV.13). Составляя
2 М 0- о = О, по аналогии с (IV.108) |
найдем. |
|
Ми Фаcos Р+ Ьу[ sin (5 + С0i|>S) = Fa Ra bnry+ |
qx S2 [(2h— u) hxy+ |
|
+ {b—u) C0ryj\. |
(IV. 135) |
|
Здесь: |
|
|
rv = (*o—Ус) + |
АУ'\ |
|
г = ( Н - а - у е) + ^ ^ - А у ' ,
где:
АУ'=У'-1Л\ У' = Уг+ Ь - ^ ф ^ .
Из уравнения (IV. 135) |
|
|
|
|
|
||
|
М |
0+9х^Д о |
|
(IV. 136) |
|||
|
|
|
11 |
K + ipCpS |
|
||
|
|
|
|
|
|||
Здесь G = FaRabnrv\ |
|
|
|
|
|
|
|
До = |
(2h—u)hbn + |
(b—u) С0 гу\ |
|
||||
|
К = |
bn cos |
(J + |
Ду{ |
sin р. |
|
|
При b ^ и Д0 = |
(2h—и) hbn. |
|
|
|
|
||
Из выражения (IV. 136) вычисляют S, |
соответствующую теорети |
||||||
ческому минимуму несущей способности элемента |
|
||||||
5 = |
J L + 1 / ( J L |
y + _ 2 _ < |
(IV .137) |
||||
|
г|>С0 |
V |
\ЪС0) |
?хДо |
|
||
Несущая способность определяется выражением (IV. 136).
5. Случай III
Уравнения предельного равновесия для этого случая (рис. IV. 15) запишутся так:
FaRa = 2N6 + |
0,5 (У1 + y2)b Rnp, |
(IV. 138) |
|
где |
N5 = 0,8Rnp Л Л ; |
|
|
М х = |
FaRa (h0—y c)—qx (2h—u) ( h + b)S2\ |
(IV.139) |
|
My = FaRa (b0- x c) + |
qx (b - u) (0,5bn- x c) |
(IV. 140) |
|
Из уравнения |
(IV. 138) |
|
|
|
yi + y* = - |
{Ff » ~ 2N6) — d3. |
(IV.141) |
|
|
v/\np |
|
182
Для этого случая координаты проекции точки приложения рав нодействующей усилий в сжатой зоне бетона на нормальное сече
ние:
|
2Sni -J- 0,5 (j/i Ч- £/2) by0 |
(IV. 142) |
||
Ус = |
2Fn + 0 ,5 |
({/1 + 1/2) b ’ |
||
|
||||
2Sna-(-0,5 (1/1-(- уо) b (Ьх-(- х0) |
(IV. 143) |
|||
° |
2ДП + 0 ,5 |
(tji + (/2) Ь |
||
|
||||
Из уравнения (IV. 141) |
|
|
|
|
0.5 (l/i + |
У2) b — |
Адр ~ ==ТЬ- |
(IV. 144) |
|
|
||||
Обозначим: |
2SП1 |
|
|
|
|
|
п я |
|
25Дг . |
|
|
2Fn•—Ча |
2Fп 4" 4а |
|
|||
|
|
||||
|
Е, |
Гчг |
|
|
|
|
|
2Fn + Ча |
|
|
|
где |
|
—• ь\ Лп |
|
|
|
s n = biЛп |
|
М п - |
|
||
С учетом принятых |
обозначений |
формулы (IV. 142), |
(IV. 143) |
||
принимают вид: |
|
|
|
|
|
Ус = Б3 + Е3у0\ ' |
(IV. 145) |
||||
xc = |
П3 + |
Е з ^ |
+ |
хо). |
(IV. 146) |
Согласно (IV. 127), (IV. 128):
После подстановки х0, у0 в выражения (IV.145), |
(IV.146) полу |
|||
чим: |
|
|
|
J |
^ = |
Бз + - ^ - № |
— ^зУа + |
г/о); |
(IV . 147) |
х с = |
П 3 -)- Е 3|^ ^ - |
(l/2 + rf3) + |
6 ij. |
(IV . 148) |
Подставляя х с, у с в (IV.135) и (IV.140), после соответствующих преобразований найдем:
|
Мх = М0х+ qx S2Д - Е а Ra ( б з + Eg £ l) - |
|
|
|
|
— J F& R&E3 y2- J - F &^ |
E3 yl; |
(IV. 149) |
|
Mv = M°v + Y 4* 52 Tbn~{Fa Ra + qx S2 T) [П, + E3 (b, + |
6/3)]- |
|
||
|
~ ( F aRa+ qx S> T)E3~ |
y 2. |
(IV. 150) |
|
|
оаз |
|
|
|
Разделив (IV.150) на (IV.149) и принимая М и :: М х = |
tg р, |
по- |
||
лучим квадратное уравнение |
|
|
|
|
откуда |
У\ — В г/2 + А = 0, |
|
(IV.151) |
|
|
|
|
|
|
|
f/2 = В/2 — У (В/2)2—А. |
(IV. 152) |
||
В приведенных формулах: |
|
|
|
|
|
FaR; ■lFaRatg p + (Fa Ra + qx S2 T) b/d3]ctg p- |
|
|
|
B = |
3d. |
(Fa Ra+ qx S2 T) x |
|
|
7 ^ 7 ctg p [M»v+ 7 </s S2 ь п T - |
|
|||
Х[П3 + |
Е3 (б1+ -1 -б )]1 -Л 4 0, - 7х52Д - Е а/?а ( в з + Е3 ^ |
; |
||
C0 « 2 ( /г -(- hn -f- 6j) -|- b.
При b ^ .u:
A = i k { F- R M + - k F‘ R> ) ^
В = p,~ | C^“ p ['^0/. |
П3+ Е 3(Й1^ |
- M K - < i ' S > R - F , R t ( б 3 + Е3- |- )) .
184
Координаты х с, у с находим из выражений (IV.147), (IV.148). По аналогии с предыдущими случаями
S = |
К |
|
< 1. |
(IV. 153) |
|
У |
V Cgty } |
||||
|
9хДо |
|
|||
Проверка прочности производится по условию |
|
||||
|
М„ |
G"ЬЯх S2До |
|
(IV. 154) |
|
|
|
|
|||
К + С0 Si|)
В формулах (IV. 153), (IV.154) для этого случая:
G = F&R&ry bn\ K = 6 ncosp + Ai/1sinP;
Д0 = (2/г—и) bnh + ф — и) С0 гу;
ЬУ1 = У[—Уг, У[=Уг + Ьх |
О |
|
У'л=Уй + Ь1 Vi—y2 ;. гу = (*о—Ус) + Ь0—хс
УГ :(Я— a - - i j c ) |
0,56д—Xq |
Ayv |
Ьа |
При Ь ^ .и
До= (2/i—и) bah.
6.Определение случаев положения нейтральной оси
При расчете тавровых сечений на косой изгиб с кручением для выбора расчетных формул необходимо предварительно определить случай расчета (положение нейтральной линии в пространственном сечении).
Предварительное решение этого вопроса возможно в соответствии со следующими рекомендациями.
Критерием для разграничения случаев I-а и П-а от случаев 1-6 |
||||
|
|
h |
|
|
и П-б может быть величина tg |3 -г-: |
|
|
||
при |
h |
имеем случай I-а или |
П-а; |
|
tg р — < 0 ,3 6 2 |
|
|||
|
ьа |
|
|
|
при |
tgp — >'0,362 |
имеем случай I-б или |
П-б. |
(IV. 155) |
На основании обработки результатов опытов автора и сопостав ления расчетных данных для большого количества элементов тавро
185
вого сечения для разграничения случаев I-а и П-а можно пользо ваться признаком:
при |
г* |
^ |
0 ,35/lrr ЬттRnT) |
|
т |
|
|
-Ра ^ |
—— |
'— случаи |
1-а; |
|
|||
|
|
|
R а |
|
|
|
|
при |
г? |
■ |
0,35/гп Ьп /?пп |
и |
ту |
|
|
F |
а > |
—— р |
|
—случаи |
П-а. |
|
|
|
|
|
R& |
|
|
|
|
Аналогично для случаев I-б и П-б: |
|
||||||
|
|
|
при |
Fa< |
0,5 _п^п^ др—случай |
1-6; |
|
|
|
|
|
|
Яа |
|
|
|
|
|
при |
F a > 0 ,5 - /in&n^ np—случай |
П-б. |
||
|
|
|
|
|
Яа |
|
|
(IV. 156)
(IV.157)
(IV. 158)
(IV. 159)
Чтобы разграничить случаи I-а и I-б, воспользуемся тем же способом, что и при прямоугольном сечении: предполагая, что имеется случай I-б, запишем уравнения предельного равновесия (рис. IV.16):
|
0 M npK0/i + !/2) = FaFa; |
|
(IV. 160) |
||||
|
Мк = АаЯа (л 0- |
^ |
^ |
) - |
|
|
|
- |
дх (2/г— и) S(h + b )S - 0 ,5 R nvba (у, + у2) |
; (IV.161) |
|||||
|
Му = FaRa {b0— bJ2) + - L Rnp bu{у! + у2) {bj2—xc), |
(IV. 162) |
|||||
откуда |
|
2RgF a |
|
|
|||
|
d-i — Hi + Уг |
|
(IV. 163) |
||||
|
Rnp bn |
|
|||||
|
|
|
|||||
После преобразований с |
учетом |
(IV. 163) |
уравнения |
(IV. 161), |
|||
(IV. 162) принимают вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mx = FaRa ( А о - ^ - ) - q x S* Д - |
|
|
bd, |
|
(IV. 164) |
|
|
Mv = FaRa ( b - b±- y + ± |
Rnpbd, |
xe). |
(IV .165) |
|||
Подставив в (IV.164) ye из (IV.99), |
а в |
(IV.165) x c из |
(IV.100) |
||||
и разделив (IV.165) на (IV. 164), получим |
|
|
|
||||
У\~ № + К ctg Р) У2 + 6 ^ |
с*еР + ^ Д |
- М1*) + — = 0 |
(IV. 166) |
||||
|
|
Rnp °п |
|
|
4 |
|
|
или |
у 2—В у2 + А = |
0. |
|
|
(IV. 167) |
||
186
Здесь:
M ^ F M h o - d ^ y , Mly = FaRa(b0- b a/3)- dg$ = M j M y\
Д = (2/z — u) (h + b) -f- (b— u) C0;
_ G { M l y c t g $ + q x S * A - M l x ) | ^2^ . |
(IV. 168) |
^np
В = rfj + 6n ctg |3.
Из анализа уравнения (IV. 167) следует, что при А = 0 имеется граничное положение нейтральной оси между случаями I-а и 1-6:
при А' < 0 — случай I-а; при А' > 0 — случай 1-6.
Для разграничения случаев П-а и П-б составим уравнение пре
дельного равновесия, предполагая случай П-б (рис. |
IV.17): |
0,5([/1+i/2)bI1Rni, + N 6 = FaRa; |
(IV. 169) |
187
м х = F a/?а ( h0- |
^ ± |
M ) iq x s *Д _ |
[0,5 0/, + |
1/2) 6П1/?ПР + |
|||
|
|
+ |
Л б] ( У с - ^ |
2): |
|
(IV. 170 |
|
Му — Рв.К&Фо |
b j 2) + |
[0,5 (У1 + У2) &п^пр + N 5] ( b j 2 - X c), |
(IV. 171) |
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
l/i + |
l/a = |
rin = |
--— |
, |
|
(IV. 172) |
где |
|
Л^о = |
0,8tfnp bjhB. |
|
|
||
|
|
|
|
||||
С_ учетом |
(IV.172) |
н обозначив |
0,5dn bm |
Rap + |
N6 = До, |
||
после преобразований уравнения (IV. 170), (VI.171) принимают вид:
|
Мх = |
Мх ~ |
qx S2 Д —Д б Q/c- r f , ,/4); |
(IV. 173) |
||||
где |
М у = ^ У1 + До(&п/ 2 - * 0), |
|
(IV. 174) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д сг = FaRa (h0- d n/4); |
Л4У1 = F atfa (b0- b j 2 ) . |
|
||||||
Координаты ,vC) г/о определяют |
по формулам (IV. 129), |
(IV. 130). |
||||||
Перепишем |
уравнения |
(IV. 173), (IV. 174) |
с |
учетом |
значений |
|||
•^С» Ус- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s* Д - л . (Б , + |
+ i L ) - Д„ Ь у, + |
||||||
|
|
|
+ Д |
|
|
|
(IV. 175) |
|
Му = МУ1—До [ГД+ Ех (6П1/3 + |
Ь,) - Ьп/2] - |
Д б |
г/2. (IV. 176) |
|||||
Разделив (IV. 175) |
на (IV. 176), |
после преобразований |
получим |
|||||
У\ + ( \ ctg р— \/du) 1Л— |
\ м у, — Д б [Пх + Ех (ba/3 + fij) — |
|||||||
6п/2] ctgP |
М.^— qx S2JX— ДБ (^Bi + — |
+ |
—0 |
(IV.177) |
||||
или |
|
у\ + |
В у 2—А' = 0. |
|
|
(IV.178)1 |
||
Здесь: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A' = » |
| * |
' ' f |
t [n i + E > <6“/3 + 40 - |
т ] clg Р- |
||||
' - Ж , - ?х5 " Д - Д 5 ( б 1 + 1 ^ 1 1 + ^ 1 - )} ; B ^ c t g f i - W , , .
188
Из анализа уравнения (IV.178) следует, что при А' = 0 имеем граничный случай, когда нейтральная ось проходит через верхний
угол полки: |
|
|
|
|
|
|
при А' < |
0 -г случай П-а; при А' > |
0 — случай П-б. |
|
|||
Свободный член А' в уравнении (IVЛ78) |
после преобразований |
|||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
А' = ^ |
[b0- |
[Пх + Ех (6П1/3 + b,)] ctg р - |
А0- d n / |
4 |
- |
|
|
|
— ( б х+ !^ l |n + A L jj. |
|
(IV.179) |
||
Случай |
III-, |
редко встречающийся |
в практике |
проектирова |
||
ния, имеет место при тонкой полке и узком и высоком ребре. Итак, разграничение случаев положения нейтральной оси можно осущест вить по следующей методике.
В соответствии с (IV.156), (IV.157), (IV.158), (IVЛ59) ориенти ровочно установим случай расчета. Далее уточним:
1)для случая I-а А' <; О
У= Зг/о < К ,
А' определяем по (IV. 168);
2)для случая Н-а А' ^ О
У= Зг/о > К
А' вычисляем по (IV. 179);
3) при А' > 0 по формуле (IV. 168) для случая 1-6
Ух<К<
4) при А' > |
0 по формуле (IV.179) для случая П-б |
|||||
|
|
. |
> |
^ii- |
|
|
Признак для разграничений случаев П-а, П-б: |
||||||
1) если окажется, |
что при А' |
^ |
О |
по формуле (IV. 168) |
||
а У' — У + Ь х xly > |
hn, то |
Ух < |
К |
|
|
|
будет |
случай П-а (см. рис. IV.11); |
|||||
2) при А' > |
0 по формуле (IV. 168) |
|||||
|
|
Ух < |
лп; |
|
|
|
|
|
yi + b l ^ ^ |
> |
h n |
||
|
|
|
|
bn |
|
|
будет случай П-б.
,7 . Примеры расчета
Пример IV.3. Определить разрушающий момент экспериментальной балки шифра БТ-12 при следующих данных (рис. IV. 18, а):
Р = |
15°; 1|) = |
0,2; |
Н = 31 |
см; |
b — 10 |
см; Лп = |
7,7см; Ьп = 21 см; А0 = |
|
= 28,9 см; Ь0 = |
11 см; Fa '= |
fax + fay = |
4,84 |
см2; fx = 0,283 см2; и — 10 см; |
||||
R a = |
3425 кг/см2; |
R ax = 2450 |
кг/см2; |
/?пр = |
287 |
кг/см2. |
||
189