книги из ГПНТБ / Расчет железобетонных конструкций при сложных деформациях
..pdf1V.3. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ НА КОСОЙ ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ
Все практически возможные случаи положения нейтральной оси в проекции на нормаль косого сечения представлены на рис. IV.8.
1-а 1 |
1~б |
Рис. IV.8
Основываясь на расчетных предпосылках, изложенных выше, находим положение нейтральной оси и несущую способность для всех расчетных случаев.
1. Случай 1-а (рис. IV.9)
Как и для прямоугольного сечения, положение нейтральной оси определяется параметрами X, Y, S.
Уравнения предельного равновесия в развернутом виде будут:
|
|
^аЯа = |
у З * с З у сЯпр; |
|
(IV.57) |
|
м х = |
FaRa (h0—ус) - |
fTR j u (2h-u)S* (h + 6); |
(IV.58) |
|||
M y = FaRa (b0- x c) + fxR j u (b—u)s (bn/2—xc)C0 S/ba. |
(IV.59) |
|||||
Принимая во внимание, что: |
|
|
||||
S |
= CIC0", |
C0 ta 2h -f- bn -|- b± + |
ha\ |
|
||
|
c]x = f xR&/u, Мах — FaRahо, |
|
|
|||
Мйу = |
FaRab0] Д = (2h—u) (h + |
b)-, |
|
|||
|
T = |
(b |
u) cj'bn\ xcyc = d, |
|
|
|
170
уравнения (IV.57), (IV.58) приводятся к |
|
|
|
|
х с У с = d = /У ?а/4,5#пр; |
■ |
(IV.60); |
М х = М 0х + qxS2JX—FaRayc\ |
|
(IV.61) |
|
М у = Моу + |
0,5<7х S2T6n—(Fa/?a + qxS 4 ) d/yc. |
(IV.62) |
|
Разделив (IV.62) |
на (IV.61) и принимая M v/Mx = tgf3, полу |
||
чим квадратное уравнение |
|
|
|
|
У с — Вг/С— А = 0, |
|
(IV.63) |
решение которого дает координату проекции точки приложения рав нодействующей усилий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение:
|
^ = Т + ] / ? + А - |
(1У-Й) |
|
Здесь |
|
|
|
|
д _ (FaRa+Qx S 2T ) d. _ |
|
|
|
|
Tatftgp |
|
|
g _(Mqx |
Ях5"Д) tg P—Moy— 0,5Qx S2Tba |
|
|
|
Fa Ra tg P |
|
Вторую координату — xc определяют по формуле (IV.60) |
|||
Для |
тавровых сечений с узкими ребрами может оказаться, что |
||
Ъ ^ и. |
Тогда влияние |
на несущую способность поперечной арма |
|
туры, поставленной у |
грани шириной Ь, не учитывается, |
так как |
|
трещина на этой грани может не пересекать стержней поперечной арматуры.
В этом случае в формуле (IV.64) необходимо принимать
Е _ (Мох— дх З аД) tg Р—М 0!1
F& Ratg Р
171
. Чтобы найти параметр S, с помощью которого определяется на клон косых трещин на гранях балки, составим уравнение предель ного равновесия относительно оси О—О (см. рис. IV.9), проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне бетона и параллельной нейтральной оси:
(Мд. sin ф + Мкcos ф) cos у -f- Муsin у =
:^а |
( h o — у 0) + ^т- ^ tg y |
sin фсов у + |
|
|
Sin ф |
|
|
+ <7Х(2h — и) S2h sin ф cos у + qх(6—и) S cos ф х |
|
||
|
X '(h - a - y c)+ °’5&д-~-^£-1 c o s у. |
(IV.65) |
|
|
sinip |
J |
|
Принимая:
М х = Мп cos Р ; М у = Мп sin Р; М к = -фЛ171;
sin ф = x!L\ cos ф = C0S/L; tg у = y/L,
где
хЗ.\'с, у 3ус.
После подстановки в (IV.65) и сокращения на L и cos у получим
МИ(cos рх + |
у sin р + |
i|)SC0) = |
Fа Да [(h0— yc) + |
(b0/xa— 1) ус\ х + |
||
+ 9х^2 |
—и) hx-\-(b— и) Со (/г—а— г/с) + ( 0,56 |
|
||||
Обозначим: |
|
|
|
|
|
|
|
Г у = |
( К — У с ) |
-I- (V*a — |
|
(IV.66) |
|
|
г ух = (Н — а |
— у с) + (0,5Ыхс — |
1) у с\ |
(IV.67) |
||
|
х cos |
р + у sin р — К; |
|
(IV.68) |
||
|
|
Ci — FaRa ГуХ\ |
|
(IV.69) |
||
|
До = |
(2h — u)hx + (b — и) C0rVl. |
(IV.70) |
|||
При й < |
u До = (2/i — u)hx. |
|
|
|||
После подстановки |
и преобразований |
|
|
|||
или |
Ма (К + |
ф С0 S) = Gx + q^S2Ro, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = 2i ±3l &Д . |
|
(IV.71) |
|
|
|
|
" |
К+фС0 s |
|
|
Положение невыгоднейшего наклонного пространственного се чения определяют по обычным правилам отыскания минимума функ ции:
d I Oi + 7х ^ 2Дох\ __ q d6 \ К фСц 5 J
172
После решения квадратного уравнения получим
J L + 1 / ( J L V |
+ _ o _ < |
(IV.72) |
|
Со |
|/ \ Со xj) / |
<7х Дох |
|
В предварительных расчетах можно принимать
С0 ~ 2/г -j- b -[- 3bx -|- /гп,
а после уточнения 5 принимать
С0 = 2/г + Ь -f- 2b± + (hp—у) + (b—х).
После определения положения нейтральной оси несущую спо собность вычисляют по формуле (IV.71).
2. Случай Н-а
Уравнения предельного равновесия в развернутом виде для этого случая (рис. IV. 10):
FaRa=--3- ^ R np+ NG- |
(IV.73) |
Mx ^ F &R&{hn- y a) - q ^ { 2 h - u ) { h + b)-, |
(IV.74) |
|
Mv = F M b 0- x o) + qx \P - u )S ' |
(0,5ba- x c). |
(IV.75) |
Из уравнения (IV.73), принимая во внимание, что |
|
|
Ыб = О.вЯдр&Др |
|
|
найдем |
|
|
F а /? а — У б — х 0 у0— d |
|
(IV.76) |
4,5/?пр |
|
|
173
Проекции координат точки приложения равнодействующей уси лий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение, согласно
(рис. IV. 11),
Sn] + 0,5A-i/(/0
(IV.77)
Hi + о ,5ху
Sn„ + 0,5.v(/ (6i+ А'о)
(IV.78)
Fn+ 0,5.v//
где
с |
6i/;n |
о |
b \ h n |
Из уравнения (IV.73)
х0 = х13', г/о = у!3>
получаем
0,5х у = Faj?a~ y ° = t1. ‘ (IV.79)
•^пр
Тогда выражения координат (IV.77), (IV.78) принимают вид:
Ус |
Дп.+^Уо . |
(IV.80) |
|
|
Fa + Ц |
’ |
|
■^П.- 4 (*1+Л'о) |
(IV.81) |
||
хс — |
z ; |
• |
|
|
Hi+ 4 |
|
|
Для сокращения дальнейших' записей обозначим:
Б = 5п1 ; П = Дп* ■; Е = — 9— ;
Hi + 4 |
-И + 4 |
F n + т) |
Ус = |
Б + Е у0; |
(IV.82) |
х с — Е (Ух + d jtjf) -f- П. |
(IV.83) |
|
Уравнения (IV.74), (IV.75) с учетом (IV.82), (IV.83) и ранее принятых обозначений запишутся так:
М х = Mox- q l - S ^ - F aRa (B + |
Еу„); |
(IV.84) |
М у = М 0у + 0,5 ух5 2 Т bB - (FaR&- q xS 4 ) |
[П + |
Е (Ь, -|- |
Л-dJy,)]. |
|
(IV .85) |
174
Разделив (IV.85) на |
(IV.84) и обозначив M v/Mx = tg |3, полу |
|
чим квадратное уравнение |
|
|
Уо |
В уо — А = О, |
(IV.86) |
решение которого |
|
|
г/0 = В/2 + К В 2/4 + А.
Здесь
д _(Fa Ra ~Н9х -S3T) di
Fа ^а lg Р
1
(Мок—<7хг5 2Д — Fa R &Б) tg Р—М оу— ^ <7xSaT6n -f-
в =
^a^atgPE
. + ( F a R a + g x S 4 ) ( T l + b 1 E) Fa R& tg PE
(IV.87)
(IV. 88)
При b ^ и по соображениям, изложенным ранее, в формуле (IV.87) надо принимать
А = — ; tg Р
В = (Мах Ях 5 2Д — Fa Ra Б) tg Р — May -1-Fa Ra (Efrj. + П)
ЕЕа Ra tg Р
После вычисления у0, х0 по формуле (IV.87) можно из (IV.82) (IV.83) найти Л'с, у с.
Параметр S, определяющий наклон косых трещин на гранях бал ки, будет найден из суммы моментов внешних и внутренних сил от
носительно оси О—О (см. рис. |
IV. 10) |
|
|
(Мх sin ср + Мк cos ф) cos у |
Му sin у = |
|
|
= Fa Яа (lh— Ус)- |
Ьр—%с tg т cos у sin ф + |
||
|
sin (р |
|
|
+ 7Х(2/г—и) S2h sin фсову -f |
(b—и) S cos ф x |
||
X (h— a —уc) ■ 0,5on |
tg t] cos y. |
(IV. 89) |
|
|
sin ф |
|
|
Принимая во внимание, что для этого случая |
|
||
sin ф = xjL\ cos |
ф = C0S/L\ tg у = yjL, |
||
уравнение (IV.89) можно представить как |
|
||
Ми (х2 cos р + ух sin р + |
С0 фС) = |
FaRaX^y + |
qx S2x |
X [(2ft— и) hX]_ + (b — u)C0 rVl\. |
|
||
175
Здесь:
Xi= bi+ x\ Ух= У-\~b~ ;
г у — { К ~ У с ) + - — - у ц
XI
гу1 = {Н - а - у с) + 0’5Ь* - Хс У1.
|
|
|
Х 1 |
Введем обозначения: |
|
|
|
|
G = |
FaRaXxl у> |
|
До = (2h |
v)hxx + |
(b — и) C0rVl\ |
|
К = |
xx cos |5 + |
yx sin (3; |
|
C0 да 2h |
b |
3bx -f- hn. |
|
При b ^ и Д0 = (2h—и) hx.
После подстановки и преобразований получим
(IV.90)
(IV.91)
(IV.92)
(IV.93)
G + g x S * До |
(IV.94) |
|
11 K+i|)CoS |
||
|
Как и в предыдущем случае, условие минимума функции
G ~Ь?х ^ 2Др |
= 0 |
|
К -р'фСо 5 |
||
|
дает квадратное уравнение, из которого
■ -S = — — + |
l / ( — V+ — < 1 - |
(IV.94') |
Со ’ф |
у \ трСо ) 4%До |
|
После определения положения нейтральной оси несущую спо собность находят из выражения (IV.94).
3. Случай 1-6
Уравнения предельного равновесия для этого случая (рис. IV. 12) имеют вид:
F |
а |
R = |
+ |
b R ■ |
(IV.95) |
1 |
|
2 |
АпР ’ |
|
М х = FaRa ( h o |
— У с ) |
— |
qj?h — и) S2 ( h |
- f b)\ |
(IV.96) |
My = FaRa ( b o — X c ) |
+ q x |
( b — |
u ) S2 (0,5 b n — x c ) |
C 0/ b a . |
(IV.97) |
176
Из уравнения (IV.95) |
|
|
|
*/l+ I/2: |
2-Рa Rr |
■ d i . |
(IV.98) |
|
|||
|
|
|
Rnp bn
go. хс, С0 определяют как:
Ус~ dt - y 2di+y\ 3 d,
л;с = гт-(У 2+^);
ОД |
C0 = 2h + bn + hn.
С учетом ранее принятых обозначений уравнения приводятся к виду:
(IV.99)
(IV.100)
(IV.101)
(IV.96), (IV.97)
Мх = М0х—qx S2R —Fa Ra |
+_-i- Fa Ra |
; |
(IV. 102) |
My = M0y+ qx S’T |
(Fa R&+ qx S 4 ) |
yt . |
(IV. 103) |
Разделив (IV.103) на (IV.102) и принимая М у : М х — tg |3, по лучим квадратное уравнение
yl — В г/2 — А = 0, |
(IV. 104) |
решая которое получим
Уч~-^— У в а/4 + А , |
(IV. 105) |
177
где
А — ho— ( b0— |
ba) ctg p — Y |
dl~ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(IV.106) |
|
B = |
|
q*S* |
T6n + ) C^S P ~b |
I- |
(IV. 107) |
|||
FaRa |
||||||||
|
|
|||||||
При b ^ по соображениям, |
изложенным ранее, |
|
||||||
A= hn~ { b°— |
3 |
“ J |
L d r |
Qx S" Д Sdi; |
|
|||
|
|
3 ‘ |
F & R a |
|
||||
B = 6n ctg|3+ 1/di.
Проекции координат точки приложения равнодействующей уси лий в сжатой зоне бетона на нормальное сечение х су с теперь опре деляются по формулам (IV.99) и (IV. 100).
Чтобы найти параметр 5, с помощью которого можно вычислить наклон косых трещин на гранях балки, составим уравнение внеш них и внутренних сил относительно оси О—О (см. рис. IV. 12), про ходящей через точку приложения равнодействующей сжимающих сил в бетоне и параллельной нейтральной оси:
(Мжsin ср + Мк cos ф) cos у + Му sin у =?=
= Да [(ho— Ус) + —Г * с tg у] cos у + ?х(2Л— и) hS2sin ф cos у +
L sin ф J
+ Qx (b— и) s cos ф I (h— a— yc) + |
sin ф |
tg yl cos y. |
L |
J |
|
Принимая во внимание, что для этого случая |
|
|
МХ = МДc°s Р; 7Ик = фМ„; |
AfH= MUsin Р; |
|
sin ф == 6ПZ.; соэф = С05/А; tg y = ^ - ^ |
= ^ - , |
|
после подстановки и сокращения на L и cos у получим |
||
Ми (bncos Р+ Лг/ sin р -f-фС0 5) = F&Ra {h0— y —b-^Z^Ay^ |
bn+ |
+ qliS2^2h— u)кЬа+ (Ь~и)С0^к— а— ус+ °'5Ь* ~ ХсАу^ . |
|
|
(IV. 108) |
Обозначим: |
|
Ьо-Уо + *= Г**У = г„; |
(IV. 109) |
178
Н — а—у0-\ 0,56ц—Xq |
АУ = гу - |
(IV. 110) |
||
Д0 = (2h - |
и) bn h + ( b |
- |
и) Со r Bl; |
(IV. 111) |
К = bn cos р + |
Ау sin Р; G |
= |
FaRar.ybn. |
(IV. 112) |
Из (IV. 108) с учетом (IV. 109) — (IV. 112) получим |
|
|||
|
G+^SVI„ |
|
(IV. 113) |
|
иК+я|)С05
Приравнивая нулю dMIdS и решая квадратное уравнение, най дем
(IV.114)
Ях До
Несущая способность для этого случая определяется выражени ем (IV. ИЗ).
4. Случай П-б
Уравнения предельного равновесия для этого случая (рис. IV. 13, IV. 14) имеют вид:
MX = Fа Ra(h0- y c)- |
■M*(2h— u)(h + b)S2- |
(IV. 116) |
|
Ми = Fa Ra (b0~ x c)+ ^ |
(b - u ) |
(0,56п- * с). |
(IV. 117) |
U |
|
On |
|
Из уравнения (IV. 115) |
|
|
|
rr , f 2 (Fa R a ~ N 6) . |
(IV. 118) |
||
У1-ГУ2 — — |
- — ;--------- = |
“ i h |
|
^пр 6n,
где
N5 = 0,8R bx hn.
179