книги из ГПНТБ / Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие

где Fm — самая высокочастотная составляющая непрерывной функции. Промежутки между соседними значениями непрерывного сигнала при его квантовании по уровню (см. рис. 13) выбирают из условия, что при наличии воздействия помехи в САУ все же возможно будет надежно реализовать минимально допустимый шаг квантования.

§ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ АППАРАТЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ САУ

Как показывает опыт, при рассмотрении последовательности ди­ скретных воздействий в импульсных САУ (ИСАУ) временные расстоя­ ния между дискретными значениями независимой переменной оказы­ вается удобным выражать в относительных единицах. С этой целью в уравнения ИСАУ вводится новая независимая переменная — от­ носительное время, не имеющее размерности:

При использовании новой переменной относительной период повторе­ ния (последовательности) импульсов составит

Т - — = 1 .

Т

Аналогично могут быть выражены: относительная длительность им-

коэффициенту заполнения импульса; относительный момент квантова­

(см. рнс. 73) подвергается воздействию выходной величины ИЭ в момен­

ты съема t = п. Для нее входная величина хвх \п] равна разности между задающим воздействием g [п] и выходной величиной хВЬІХ [п] (при жесткой ОС).

В этом выражении под символами х;[я] подразумеваются простые ре­ шетчатые функции, совпадающие с соответствующими дискретными

значениями непрерывных функций х (t) только в моменты съема t = п, а в промежутках между последними постоянно равными нулю. Про­ стая решетчатая функция изменяется только при целых равно­ стоящих друг от друга значениях аргумента; между этими значениями аргумента она равна нулю (см. рис. 74). При использовании в качестве независимой переменной физического времени t простую решетчатую функцию обычно обозначают символом

X \пТ],

где Т — период следования импульсов, п — любое целое положительное число.

Очевидно, если пользоваться понятием относительного времени, то решетчатая функция х [и] действительно соответствует исходной

163

непрерывной функции х (t), но совпадает с ней только в моменты времени t = д [36].

Одной и той же простой решетчатой функции х [д] соответствует множество огибающих /, 2, 3 (непрерывных) функций (рис. 7 7 , а). Это значит, что ординаты решетчатой функции в дискретные моменты

времени t = п равны ординатам огибающих х (t) в те же моменты времени.

Если необходимо определить с помощью решетчатой функции зна­ чение непрерывной функции в промежутке между двумя дискретными значениями независимой переменной д Г -4 - [д ф- 1 ] Т, физический аргумент смещают на время Аі. Если Аt в этом интервале сохраняет

Рис. 77. Огибающие простых 1, 2, 3 (а) и смещенной 4 (б) решетчатой функций

фиксированное значение, то возникает огибающая смещенной решет­ чатой функции 4 (рис. 77, б) х [пТ, АН или в масштабе относительного

времени х In, е], где е = — — относительное смещение аргумента.

Поведение линейных импульсных САУ в переходных режимах опи­ сывается разностными уравнениями [36], которые определяют соотно­ шение между решетчатыми функциями и их разностями разных поряд­ ков. Разности решетчатых функций порядка Ак, Дк + 1 являются ана­ логами производных в уравнениях, описывающих процессы в непре­ рывных САУ. Для разомкнутой линейной ИСАУ /с-го порядка разност­ ное уравнение в масштабе относительного времени может быть пред­ ставлено в виде

где ак, дк_ 1 , Ъи 6 ,-_і — постоянные коэффициенты, зависящие только от параметров ИСАУ; обычно і <Z /с;

хвх — входное воздействие; хВЫІ — выходная величина.

164

Разностные уравнения вида (297) удобно решать с помощью разно­ видности дискретного метода Z —■преобразования, простого для обык­ новенных и модифицированного Ze — для смещенных решетчатых функций.

В свою очередь метод Z-преобразования является дальнейшим усовершенствованием прямого и обратного методов дискретного пре­ образования (или D -преобразования) по Лапласу решетчатых функ­ ций [3, 4, 36].

Сформальной стороны прямое D -преобразование, внешне сходное

спрямым L-преобразованием по Лапласу для непрерывных функций, является функциональным преобразованием решетчатых функций и определяется из соотношения:

со °°

Для смещенной решетчатой функции прямое дискретное преобразова­ ние по Лапласу может быть записано в виде:

Из формул (298) и (300) можно заключить, что изображение решетчатых функций представляет собой бесконечные ряды — суммы изображений отдельных импульсов.

Нахождение оригиналов по их изображениям называется обрат­ ным D -преобразованием и может быть условно записано при помощи

ас — абсцисса сходимости рядов (298) и (300).

Z — преобразование получается из дискретного преобразования

165

Принципиальной разницы между Z и Ze-преобразованиями нет и Z-преобразования эквивалентны D -преобразованиям. Однако применение Z-преобразований несколько облегчает запись формали­ зованных выражений и отыскание оригиналов, одновременно приб­ лижая методику анализа импульсных САУ к одноименному процессу исследования непрерывных САУ.

Как и при обычном L-преобразованни по Лапласу, для практи­ ческого применения Z-преобразования используются специальные справочные таблицы.

§ 3. ПОНЯТИЕ О ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЯХ ПРОСТЕЙШИХ Л ИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ САУ

Поведение линейной импульсной САУ в переходном режиме пол­ ностью определяется, как и в случае линейной непрерывной САУ, ее передаточной функцией. Но для определения последней, очевидно,

ваться масштабом относительного времени (295).

Предположим, что на вход разомкнутой л.инейной ИСАУ подано

управляющее непрерывное воздействие х вх (t), соответствующее воз­ действию рассогласования (ошибки) на входе замкнутой ИСАУ.

ПИЭ разомкнутой ИСАУ преобразует хвх (/) в последовательность модулированных по системе АИМ-1 единичных б импульсов:

где п — моменты съема (квантования).

Обозначим выходную величину (реакцию) ПНЧ на последователь­ ность импульсов (315) через

П

жется приложенным первый 6 -импульс с выхода ПИЭ.

166

Положим t = п + б , где е — относительное смещение б-импульса. Тогда, применяя аппарат смещенных решетчатых функций к формуле (306), получим:.

П

хвыx [«, е]= S хвх[пг, 0]w[n— m, в]. (307)

т=0

Полученное выражение представляет уравнение импульсной разом­ кнутой САУ в решетчатых функциях для оригиналов.

Чтобы найти передаточную функцию той же ИСАУ, подвергнем выражение (307) прямому .D-преобразованию

Применив к обеим частям полученного выражения обозначения со­

Выражение (310) представляет передаточную функцию для ра­ зомкнутой импульсной САУ.

В системе Z-преобразования передаточная функция той же ИСАУ согласно формулам (303), (304) может быть представлена в виде:

Может быть рекомендован следующий примерный порядок отыс­

находят через W(Z, е) искомую W* (q, г). Для простейшей линейной

При отсутствии у воздействия рассогласования на входе ПИЭ дан­ ной ИСАУ скачков в моменты квантования и при нулевом смещении импульсов (е = 0) уравнение (312) может быть с помощью аппарата решетчатых функций представлено в виде:

Для нахождения передаточной функции замкнутой ИСАУ по задающе­ му воздействию подвергнем уравнение (313) D -преобразованию:

167

Сопоставляя выражение (316) с (122) видно, что оно по внешнему виду ' несколько сходно с одноименной передаточной функцией для замкну­ той непрерывной САУ. Однако формально оно совпадает с выражением (1 2 2 ) только при ь = 0. С использованием аппарата Z-преобразования

При помощи аналогичных приемов можно на основе уравнений (314) и (310) получить выражение передаточной функции замкнутой ИСАУ по воздействию рассогласования (230):

Присутствие в составе функциональных схем ИСАУ (см. рис. 76, 79) ПИЭ придает им несколько иные структурные качества по сравнению

В частности, вынесение ФЭ в цепь перед ПИЭ приводит к существен­ ному изменению временных и частотных характеристик ИСАУ.

§ 4. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ САУ

По аналогии с непрерывными САУ для импульсных систем управ­ ления также могут быть получены и находят практическое применение уравнения и графики в основном АФХ (ККП).

Если в уравнение передаточной функции разомкнутой ИСАУ (311) W (Z, е) положить Z = еіаТ, то получим частотную импульсную пере­

даточную функцию:

168

Импульсной АФХ называют годограф функции (320) на плоскости U, jV.

U (юг) = R e W (е'<*т, г);

У(юе) = Jm W (е/шГ, г).

Впрактике построение годографов АФХ ИСАУ нередко удобно бы­

W (е1С0, г) = W [ei («+**), 8] . (321)

Построение годографа нормирован­ ной АФХ удобно производить по следующей формуле [2 ]:

W(e&, е) =

Рассмотрим принцип построения годографа АФХ разомкнутой ИСАУ по заданной одноименной АФХ ПНЧ этой системы по выраже­ нию (323).

С этой целью предварительно наносим на годографе исходной АФХ ПНЧ, равной произведению ККП ЛНЧ и ККП ФЭ импульсной

системы, вместо значений со значения относительной частоты со = соТ, т. е. уравнение АФХ ПНЧ записывается в виде W (ja). Как видно из

векторы должны быть повернуты в положительном направлении (про­ тив часовой стрелки) на угол юг.

На рис. 79 представлена кривая W (ja), построенная на основе изложенного метода. Отмечаем на ней точки, соответствующие отно­

169

Вслед за ними отмечаем на той же кривой точки 2л — соь

со2 , со3, ... проводим векторы, соответственно сопряженные с по­ строенными векторами. Соединив концы этих векторов с ранее

построенными плавной кривой, получаем искомый годограф W (е‘а, г). Годографам АФХ импульсных систем свойственна неоднозначность и зависимость их от е.

§ 5. ОСОБЕННОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И КРИТЕРИЯХ ПОСЛЕДНЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ САУ

Как показывают исследования [36], передаточная функция линей­ кой разомкнутой ИСАУ (310) может быть на основе применения пря­ мого D -преобразования Лапласа для решения разностного уравнения той же системы (297) выражена через рациональные полиномы по сте­ пеням параметра q (299), соответственно при смещении е = const или при е = 0 в следующем виде:

В правых частях трех последних полиномов величины Ьг (е), ЬГ, а являются коэффициентами разностного уравнения (297).

С учетом уравнений (324) и (325) передаточная функция замкнутой ИСАУ по управляющему воздействию (327) в свою очередь может •быть представлена в следующей форме:

Из (326) следует, что уравнение замкнутой ИСАУ в изображениях

Переходный процесс в данной ИСАУ определяется поведением сво­ бодной составляющей выходной величины л*вых св (q, г), которая может быть найдена из решения однородного уравнения:

170

Применением к формуле (328) обратного D -преобразования может быть получено уравнение переходного процесса в данной ИСАУ в форме уравнения решетчатой функции [36]:

Линейная импульсная САУ устойчива, если свободная составляю­ щая выходной величины (свободные колебания) в системе с течением времени затухает [3], т. е.

ходимым и достаточным условием устойчивости линейной ИСАУ будет выполнение следующего требования: все корни характеристического уравнения (331) по модулю меньше единицы [3], т. е.

Чтобы установить, является ли данная замкнутая ИСАУ устой­ чивой, необходимо найти корни характеристического уравнения и проверить, удовлетворяют ли бни неравенствам (333). При определении устойчивости ИСАУ также используются некоторые критерии, ана­ логичные одноименным критериям в теории непрерывных САУ.

Алгебраический критерий устойчивости (аналог критерия Рауса — Гурвица).

Для того чтобы замкнутая импульсная САУ оказалась устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты характеристического

171

уравнения этой системы (331) удовлетворяли приведенным ниже не­ равенствам [3]:

■становятся слишком громоздкими и поэтому требуют значительной затраты времени на их анализ, данный критерий удобно применять в тех случаях, когда к <13.

Недостаток критерия состоит и в том, что он не позволяет опреде­ лить запас устойчивости ИСАУ ни по модулю, ни по фазе.

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости (аналог критерия Найквиста). С помощью данного критерия суждение об устойчивости замкнутой ИСАУ осуществляется на основе годографа АФХ одно­ именной разомкнутой системы.

Как показывают исследования [3], применение рассматриваемого критерия к замкнутым ИСАУ основывается на следующем: если ПНЧ системы устойчива, нейтральна или неустойчива, то разомкнутая ИСАУ будет также соответственно устойчива, нейтральна или не­ устойчива. В связи с этим аналог критерия Найквиста может быть сформулирован следующим образом: чтобы замкнутая импульсная система, ПНЧ которой неустойчива, была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрица­

вещественной частью характеристического уравнения передаточной функции разомкнутой ИСАУ.

Если разомкнутая ИСАУ устойчива (I — 0) или нейтральна (1 = 0), но годограф W (е!“ 0 ) проходит через точку (— 1 , /0 ), то замкнутая

ИСАУ будет устойчива тогда и только тогда, если при изменении со от О до я разность между числом положительных и отрицательных пере­ ходов годографа разомкнутой ИСАУ через отрезок действительной оси (— оо, —1 ) равна нулю.

В качестве иллюстрации к только что приведенным формулировкам

на рис. 80, а представлен годограф W (еіа, 0 ), соответствующий устой­ чивой замкнутой импульсной САУ, которая неустойчива в разомкнутом состоянии (1 = 2).

На рис. 80, а стрелки, направленные в сторону возрастания, со обоз­ начают положительные (сверху вниз) и отрицательные (снизу вверх)

переходы годографа W (еі<л, 0) через отрезок действительной оси

172