книги из ГПНТБ / Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие

На рис. 61, а, б показаны годограф W (ja), характеристики ЛФХ и ЛАХ для устойчивой в разомкнутом состоянии САУ. Соответствую­ щая или замкнутая САУ будет также устойчива (' /= 0 ), как это сле­ дует из приведенных выше формулировок правил устойчивости. При невыполнении одного из этих двух правил соответствующая замкнутая САУ оказывается неустойчивой.

Запасы устойчивости по модулю (В 0) и фазе (у) для замкнутой САУ определяются по рис. 61, б следующим образом: запас устойчивости замкнутой САУ по модулю находится, как величина ординаты Во на графике ЛАХ, соответствующей частоте со = соя, для которой фазо­ вый угол ф (со) = — 180°. В правильно построенных системах электро­ радиоавтоматики Л о > Ю дб. Так как пересечение годографа W (/со)

сотрицательной вещественной полуосью в данном случае имеет место

внескольких точках со^, соя, соя (см. рис. 61, б), то в рабочем диапазоне частот, где В (со) > 0, выбирается та частота соя, для которой ордината

Во наименьшая.

Запас устойчивости замкнутой САУ по фазе у находится из выра­

определяемое для частоты среза соср. В правильно построенных САУ величина у составляет у « 180°— (454-30°) = 135ч150°.

§ 6. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДЕ О-РАЗБИЕНИЯ

Постоянные коэффициенты в дифференциальном уравнении линей­ ной САУ, которое описывает неустановившийся режим в ней, зависят от конструктивных данных функциональных элементов этой САУ, их динамических свойств и параметров управляющего (регулирующего) устройства.

Устойчивость той же САУ определяется соотношением коэффициен­ тов этого дифференциального и соответственно характеристического уравнений. Очевидно, что изменение отдельных физико-технических параметров системы может перевести ее из устойчивого состояния в неустойчивый режим. Поэтому при проектировании и компоновке работоспособных САУ полезным оказывается в ряде случаев выяснение степени влияния на ее устойчивость хотя бы одного или двух парамет­ ров в диапазонах возможных их изменений. Для этой цели может ока­ заться удобным построение областей устойчивости этой САУ, т. е. выявление совокупностей таких значений параметров, при которых данная система будет оставаться устойчивой.

На практике находят применение построение областей устойчиво­ сти в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров.

Ниже излагается идея метода построения областей устойчивости на примере замкнутой САУ третьего порядка, характеристическое

143

можно, что при некоторых значениях коэффициентов с0, сх, с2 один или пара корней окажутся на мнимой оси, т. е. корни будут иметь зна­ чение 0 или r t /ЮіОчевидно, соответствующая точка в пространстве коэффициентов будет удовлетворять уравнению (264).

Рис. 62. Выделение областей устойчивости в плоскости одного комплексного параметра для САУ третьего порядка:

пространстве коэффициентов соответствует некоторая криволинейная поверхность 5. Последняя является, таким образом, геометрическим местом точек пространства с0 — сг — с2, корни которых на комплекс­ ной плоскости имеют значение 0 или rt/co, (£ = 1, 2,...) и удовлетво­ ряют уравнению (264).

Если коэффициенты в характеристическом уравнении (264) из­ меняются произвольно, то соответствующие им точки в пространстве будут перемещаться, пересекая поверхность S. На комплексной же плоскости соответственные этим точкам корни уравнения (264) пере­ ходят из одной полуплоскости в другую (рис. 62, в).

Все корни характеристического уравнения замкнутой устойчивой САУ п-го порядка располагаются на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Характеристическое же уравнение неустойчивой САУ имеет не менее одного вещественного или двух сопряженных ком­ плексных корней, расположенных справа от мнимой оси. Поэтому вынужденное перемещение корней исследуемого характеристического уравнения (264) можно рассматривать как следствие вынужденного перехода исследуемой САУ из устойчивого состояния в неустойчивое. Аналитической границей этих состояний является условие равенства нулю одного действительного корня (ш = 0) или расположение на мнимой оси двух сопряженных корней (ztja>i)-

Таким образом, поверхность S делит пространство коэффициентов с0 — сг — с2 на области, каждой точке которых соответствует харак-

144

теристическое уравнение третьего порядка, имеющее определенное число корней в правой и левой комплексных полуплоскостях. Обоз­

мого уравнения 3-й степени (п= 3) в общем случае могут быть наме­ чены в пространстве коэффициента четыре области: D (3,0), D (2,1), D (1,2), D (0,3). Только первая из этих областей D (3,0) является об­ ластью устойчивости. Подобное расчленение пространства коэффи­ циента на области с различным значением I называется «D-разбиением».

Если изменяются не все коэффициенты характеристического урав­ нения (264), а только часть из них, например с2, а сг = const и с0 =

ду корней уравнения (264) через мнимую ось, то уравнение границы «Й-разбиения» совпадает с уравнением (264). Поэтому оно может быть

графа Михайлова для данной САУ.

Задаваясь значениями со от — оо до + оо, можно построить гра­ ницу «D-разбиения».

Очевидно, что можно строить «D-разбиение» в пространстве не коэф­ фициентов уравнения, а параметров системы, от которых зависят коэф­ фициенты характеристического уравнения, например в координатах

Т ъ Т 2, К и т. д.

При числе переменных параметров системы больше двух нахожде­ ние областей устойчивости сводится к весьма сложным графическим построениям даже для пространства трех (при п ^ . 3 ) и большего числа подобных построений (при п > 3 ) . По этим причинам на практике ограничиваются построением «D-разбиений» в плоскости не более двух или даже только одного комплексного переменного параметра САУ.

Рассмотрим принцип «D-разбиения» по одному комплексному пара­ метру. Предположим, что некоторый переменный параметр влияние которого на устойчивость данной САУ необходимо выяснить, входит линейно в коэффициенты характеристического уравнения этой САУ (127).

В этом случае последнее может быть представлено в виде:

145

Откуда

ШГ и w + 'y (” )'

Задаваясь положительными значениями со (0 ^ со ^ + с»), можно получить из уравнений (269) координаты точек положительной ветви

границы «D-разбиений» на плоскости комплексного параметра х + jy. Построив ее и дополнив зеркальным изображением построенного уча­ стка (для отрицательных значений — оо ^ со ^ 0) относительно дей­ ствительной оси, получим комбинированную кривую границу «D-раз-

роны на незаштрихованную один корень характеристического урав­ нения САУ переходит нз левой комплексной полуплоскости в правую. При обратном переходе один корень переходит из правой полуплоско­ сти в левую.

Из всех областей D-разбиения устойчивыми могут быть только области, находящиеся внутри заштрихованных петель кривой D-раз­ биения. Очевидно, что областью устойчивости будет область D (п, 0).

Так как в линейных САУ изменяемый параметр обычно является вещественным (постоянная времени, коэффициент передачи), то прак­

Ку = КіКоКз— коэффициент передачи по скорости или добротность разомкнутой системы, сект1.

46

Согласно формуле (122) передаточная функция исследуемой замк­ нутой системы по управляющему воздействию будет

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

или после элементарных преобразований

Рис. 63. Упрощенная функциональная схема одного ка­ нала следящей системы стабилизации на качке сектора обзора судовой РЛС:

полнительный двигатель; 5 — тахогенератор; 6 — редуктор; 7 — сельсин-датчик; 8 — потенциометр (5, 6, 7 и 5 элементы коррек­

тирующей цены)

Сопоставив это уравнение с исходным уравнением 3-й степени (264), находим коэффициенты последнего:

Сз — Т \Т 3; с2 — Ту-\- Т 3; с, — 1 ~Ь К 7Т 2\ с3 — К у

Проследим влияние изменения коэффициента передачи Ку на устойчи­ вость данной системы на основе метода П-разбиения по одному комп­ лексному переменному параметру.

Согласно вышеизложенной методике выбранный параметр К7 =

=X + jy подставляем в уравнение (273):

ТгТ з р3 + (7\ + Т з)р2 + 11 + (х + jy)T2]p + х + jy = 0.

Заменяем в последнем уравнении оператор р на /со и производим раз­ деление действительной и мнимой составляющих:

ТгТ з (/со)3 + (Т± + Т 3)(/со)2 -}- [1 + (х + jy)]jcо + X + jy = 0

или

(7\ + Tg)со2 + у Т 2со — X + / [—Т^Т3со3 -(- (1 + х Т 2)со + у\ =

= U (со) + ІѴ (со). ,

147

Приравняв нулю отдельно действительную и мнимую части получен' ного уравнения, получим два новых уравнения:

Подставив в выражения для х и у заданные значения параметров Т 1г Т 2 и Т 3, получим:

ного переменного Ку по­ лучим четыре области, из которых три имеют разные числа отрицательных кор­

ней характеристического уравнения (рис. 64). Областью устойчиво­ сти будет только область /, заключенная внутри заштрихованной петли кривой D-разбиения.

Из условия у = 0 находим значения частот, при которых граница области I пересекает действительную ось: сох = 0; со2 = 33,6 сек-1.

Коэффициенты передачи системы при этих предельных частотах равны:

хх = ReKyl = 0; х2 т ReKy2 = 123.

ОСНОВНЫЕ ЧЕРТЫ СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОРАДИОАВТОМАТИКИ

§ I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЗАДАЧ КОРРЕКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ САУ

Рассмотрев основные показатели, характеризующие работу линей ' ных САУ в переходных и установившихся режимах, очевидно, можно сделать вывод, что в рационально спроектированной радиотехниче­ ской САУ выбранные вспомогательные элементы устройства управле­ ния, их временные и частотные характеристики и параметры, как и структура всей системы управления заданным объектом, должны обес­ печивать желаемые запасы устойчивости и основные показатели качест­ ва переходных процессов в ней.

Для реализации этих целей в конструируемую САУ каким-либо объектом нередко приходится вводить специальные корректирующие устройства — элементарные звенья или их комбинации, нередко объ­ единяемые под общим названием — средства стабилизации САУ.

Термином «синтез» корректирующих устройств для САУ определяет­ ся один или совокупность нескольких технических методов подбора и расчета параметров этих устройств в соответствии с заданными дина­ мическими и статическими характеристиками управляемого (регули­ руемого) объекта.

Схемно-конструктивное исполнение корректирующих устройств, находящих применение в практике эксплуатируемых САУ (САР), весьма разнообразно. Применительно к системам электрорадиоавтома­ тики оно в значительной мере зависит не только от желаемых качест­ венных параметров САУ, но и от ее конкретной электрической схемы, физической природы корректируемых сигналов и даже конструктив­ ного оформления элементов САУ. Элементы корректирующих устройств в радиотехнических САУ преимущественно бывают электрические, электронные, реже электромеханические. Настоящая книга ознако­ мит с физико-техническими принципами реализации и возможного использования одной-двух разновидностей электрических корректи­ рующих элементов (звеньев).

Корректирующие устройства (звенья) в зависимости от их места включения в структурные схемы радиотехнических САУподразделяются на последовательные и параллельные. Первые включаются непо­ средственно в контур регулирования — основной канал прохождения управляющего воздействия в САУ; вторые—обычно в цепь специаль­ ной обратной отрицательной (реже прямой дополнительной) связи.

Последовательные корректирующие устройства нередко должны выдавать на своем выходе сигнал, который наряду с составляющей, пропорциональной самому входному сигналу, содержит и составляю­ щую пропорциональную производным или интегралу от него же.

Возможны использования и комбинированных методов коррекции САУ, когда в структурные схемы последних включаются и последо­ вательные, и параллельные корректирующие устройства.

149

§2. СВЯЗЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В САУ

СЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

СИСТЕМЫ

В настоящее время находят применение для целей синтеза коррек­ тирующих устройств в САУ графо-аналитические методы и в меньшей степени (из-за значительной трудоемкости) аналитические методы.

Первая группа методов основывается на построении или обратных (инверсных) частотных, или логарифмических (ЛАХ, ЛФХ) частот­ ных характеристик. При применении этих методов используются кос­ венные оценки качества переходного процесса, не требующие решения дифференциальных уравнений, как-то: время регулирования, коле­ бательность, запасы устойчивости по модулю и фазе.

Во второй группе методов аналитическим путем находятся выра­ жения, которые позволяют установить одноименные связи показателей качества работы САУ с желательными оптимальными параметрами корректирующего устройства. К данным методам относятся, в частно­ сти, интегральные оценки, методы стандартных оценок и корневые методы оценок качества переходных процессов в САУ.

Ниже рассмотрены методологические основы синтеза корректирую­ щих устройств по частотным логарифмическим характеристикам разом­ кнутых систем. При этом будем изложение основывать применитель­ но к так называемым минимально фазовым системам автоматического управления (МФС) [32].

Поскольку МФС значительно распространены среди систем электро­ радиоавтоматики, напомним, что в физически осуществимых МФС (разомкнутых и замкнутых) вещественная (ЛАХ) и мнимая (ЛФХ)

мостью, как и одноименные составляющие в уравнениях (173) и (30). С математической стороны передаточная функция для МФС, как аналитическая функция от комплексной переменной (109, в) удовлет­ воряет условиям Коши— Римана [36]. Кроме того, у передаточной функции разомкнутой САУ (ПО) и (27), относящейся к категории

Параметры корректирующих устройств выбираются с использова­ нием ЛАХ и ЛФХ разомкнутой САУ. Однако в случае МФС возможно ограничиться только ЛАХ разомкнутой системы, так как ЛАХ и ЛФХ в таких системах связаны следующей функциональной зависимостью [32]:

оо

(274)

о

Из приведенного выражения следует, что при заданной АЧХ си­ стемы Н (со) ее фазовая частотная характеристика должна удовлетво­ рять уравнению (274).

150

Для МФС возможно однозначно определить по заданной АЧХ также передаточную функцию W (р), ККП, весовую функцию (8).

Параметры (элементы) и схемы корректирующих устройств подби­ рают примерно в следующей последовательности. Вначале подбирают и строят желаемую (стандартную) ЛАХ, т. е. такую ЛАХ, для которой переходная характеристика (6), время регулирования tp, колебатель­ ность и др. имеют соответственно благоприятную форму или подходя­ щие заданные значения.

Далее, вычитая эту выбранную ЛАХ из ЛАХ для нескорректирован­ ной САУ, находят необходимую ЛАХ корректирующего устройства (обычно четырехполюсной схемы).

Построение желаемой ЛАХ для проектируемой САУ не представ­ ляется возможным формализовать полностью. Однако рекомендуется при таком построении руководствоваться следующими общими поло­ жениями.

1. ЛАХ нескорректированной системы электрорадиоавтоматики по возможности должна совпадать с желаемой ЛАХ скорректированной САУ в диапазоне рабочих частот. Опыт показывает, что несоблюдение этой рекомендации ведет к значительному усложнению корректирую­

где Ку — статический коэффициент усиления всей исследуемой САУ. 3. Высокочастотный участок ЛАХ при со > соер существленного значения на переходную характеристику скорректированной системы

не менее 1 декады. Выполнение данной рекомендации обеспечивает,

но выбрана из следующего соотношения [5]:

(275)

Гр

где tv — заданное время переходного процесса в САУ;

к— коэффициент, определяемый из характеристики (рис. 65) по заданной максимальной величине перерегулирования (226).

Отрицательный наклон ЛАХ ^ 2 0 -^ j вблизи частоты среза оказы­

вает, согласно исследованиям советских ученых [39], благоприятное воздействие на переходный процесс в скорректированной САУ.

151

В качестве примера на рис. 66 представлен вариант рекомендуемой типовой (желаемой) ЛАХ для одной из разновидностей САУ с астатизмом первого порядка и относящейся к категории МФС [32]. Данная ЛАХ имеет низкочастотный участок и участок вблизи частоты среза

с наклоном — 20 ^ и два прилегающих к последнему участку с на-

лг\ дб

клоном — 40 д— .

дек

При заданной частоте среза соср рассматриваемая ЛАХ определяет­ ся сопрягающими частотами со3 < сох < со2) а также — коэффициен­ том усиления системы /(у, численно равным частоте со', при которой асимптота низких частот пересекает ось абсцисс (см. рис. 66).

к= F(<J,„)

Чтобы определить из заданной ЛАХ ожидаемые показатели каче­ ства переходного процесса в будущей скорректированной системе (ат, tp, tEl, Ах + Дуст и др.), на практике используются специаль­ ные номограммы [39, 5, 2]. С помощью этих номограмм по данным от-

в проектируемой САУ. Так, например, для достижения удовлетвори­ тельного качества переходных процессов в рассматриваемой САУ (см. рис. 66) в замкнутом состоянии необходимо, как следует из номо­ грамм, выполнение следующих условий:

§3. ОСНОВНЫЕ ЧЕРТЫ МЕТОДИКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕКЦИИ

ВСАУ

Допустим, что разомкнутая некорректированная САУ имеет пере­ даточную функцию

W „с (Р) - K W , (р ).

Предположим, что в контур регулирования последовательно с эле­ ментами (звеньями) главной цепи САУ включено некоторое корректи-

,152