книги из ГПНТБ / Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие

§ 3. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ САУ А. В. МИХАЙЛОВА

Частотный критерий устойчивости советского ученого А. В. Ми­ хайлова, предложенный им в 1936 г. [38], позволяет с помощью срав­ нительно несложных графо-аналитических средств проверить удовлет­ воряет или нет данная линейная замкнутая САУ (САР) необходимым

чивой замкнутой САУ п-го порядка последовательно обходит против часовой стрелки 2п квадрантов комплексной плоскости. При этом он поочередно пересекает вещественную и мнимую оси.

Так как Ср (со) является нечетной функцией от со, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси Поэтому

при исследовании устойчивости замкнутой САУ (САР) достаточно по­ строить только одну ветвь годографа Михайлова для положительных значений со (0 ^ © =sC+оо). При этом характеристическая кривая Михайлова устойчивой замкнутой САУ обходит против часовой стрел­ ки (т. е. в положительном направлении) последовательно п квадрантов комплексной плоскости. Отсюда вытекает формулировка критерия устойчивости Михайлова: чтобы замкнутая, линейная САУ (САР) п-го порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова для этой САУ при монотонном изменении со от 0 до + оо последовательно обошел в положительном направлении (против часо­ вой стрелки) п квадрантов комплексной плоскости. При этом годограф должен начинаться от точки со = 0 на вещественной полуоси и нигде не проходить через начало координат.

Если годограф обходит меньше, чем п квадрантов, или при обходе нарушается последовательность его перехода из квадранта в квад­

они последовательно переходят из квадранта в квадрант в положитель­ ном направлении. При этом аргумент каждого годографа получает приращение

т. е. вектор С (/со) поворачивается на угол п

На рис. 56, б представлены годографы для двух замкнутых неустой­ чивых САУ (САР) третьего и седьмого порядков. В них нарушены условия последовательного обхода в положительном направлении п квадрантов.

Годограф С (/со) удобно строить по уравнению (249), задаваясь значениями со и вычисляя Са (со) и Ср (со).

Применение критерия Михайлова оказывается целесообразным при исследовании замкнутых многоконтурных САУ.

§ 4. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Этот критерий позволяет выявить устойчива или нет замкнутая САУ (САР) по виду графика (годографа) ее амплитудно-фазовый ха­ рактеристики (ККП) в разомкнутом состоянии.

Научно-методические преимущества критерия устойчивости Най­ квиста :

значительная наглядность как графо-аналитического метода; снижение трудоемкости при исследовании автоматических систем,

так как нахождение АФХ для разомкнутых САУ, как правило, менее сложно, чем для тех же САУ в замкнутом состоянии;

134

возможность использования аппарата логарифмических частотных

характеристик (ЛАХ, ЛФХ); возможность оценки с количественной стороны запасов устой­

чивости в замкнутых САУ; применимость к многоконтурным сложным САУ.

Пусть передаточная функция разомкнутой САУ согласно выра­ жению (ПО) будет

\Ѵ(р) R ( P )

D (р) '

Тогда передаточную функцию САУ с замкнутой цепью главной ОС на основании формул (122) и (123) можно представить в виде

в знаменателе выражения Ф (р) р на j со, получим частотную функцию М (/со), которая на единицу отличается от уравнения АФХ разомкну­

При изменении частоты со от 0 до + со полное приращение аргумента (фазы) частотной функции М (ja) составит

Как следует из критерия Михайлова, замкнутая САУ окажется устой­

Для получения универсального выражения предположим, что ра­ зомкнутая САУ в общем случае неустойчива, т. е. характеристический полином D (р) имеет, например, I корней справа от мнимой оси (счи­ таем, что на мнимой оси полином D (р) корней не имеет).

Тогда на основании того же критерия Михайлова приращение аргу­

Следовательно, полное приращение аргумента для функции М (/со) в общем случае применительно к (253) будет

Полученное выражение (255) позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по характеру изменения годографа функции М (/со). При соблюдении равенства (255) характеристическое уравнение зам­ кнутой САУ С (р) — 0 не имеет корней справа от мнимой оси, т. е. замкнутая САУ в этом случае устойчива. Поэтому реализация выраже­ ния (255) адэкватна соблюдению необходимого и достаточного условия устойчивости исследуемой замкнутой САУ. Вследствие этого равенство (255) может рассматриваться как математическое выражение критерия устойчивости Найквиста.

Если полное приращение аргумента для функции М (ja) будет

AM (ja) < 2 /^ , то и соответствующая замкнутая САУ окажется не­

устойчивой (разомкнутая САУ в данном случае также неустойчива). Отсюда вытекает первая возможная формулировка правила крите­ рия устойчивости Найквиста: замкнутая линейная САУ устойчива, если приращение аргумента (фазы) вспомогательной функции М (ja) — 1 + W (ja) при изменении частоты и от 0 до + оо будет

равно 2/^- = /л, где/— число корней характеристического уравнения

неустойчивой разомкнутой системы, лежащих на комплексной плос­ кости справа от мнимой оси.

В данном случае годограф вектора М (ja) = 1 + W (ja) на комп­ лексной плоскости охватывает в положительном направлении (про­

тив часовой стрелки) начало координат (0, /0) раз.

Распространим выражение (255) и на случай, когда разомкнутая САУ устойчива, т. е. на комплексной плоскости правее мнимой оси нет ни одного корня (I = 0) характеристического уравнения этой САУ D (р) — 0. Подставив I — 0 в (255), имеем

A a r g M O ' c o ) | ; = o = 0,

О^со^оо

т. е. годограф вектора М (ja) = 1 + W (ja) в этом случае не охваты­ вает начало координат (0, /0). Поэтому в данном случае и замкнутая САУ будет также устойчива.

Выявленные условия устойчивости замкнутой САУ с привлече­ нием вспомогательного вектора М (ja) = 1 + W (ja) могут быть рас­ пространены непосредственно на плоскость АФХ разомкнутой САУ

136

W (/со). Поэтому между годографом вектора 1 + W (/со) и годографом вектора W (ja) может быть установлено следующее однозначное соот­

правила критерия устойчивости Найквиста, более наглядная и про­

при выполнении следующего необходимого и достаточного условия: годограф амплитудно-фазовой характеристики

Только что приведенная вторая формулировка правила критерия для случая неустойчивой разомкнутой САУ нередко видоизменяется на следующую: замкнутая линейная САУ устойчива, если разность между числом положительных и числом отрицательных переходов го­ дографа W (ja) через вещественную полуось слева от точки с коорди­

Положительным считается переход годографа W (ja) при изме­ нении со от 0 до + оо с верхней полуплоскости в нижнюю через веще­ ственную полуось слева от точки (— 1, /0).

Отрицательным считается переход того же годографа в обратном направлении и тоже слева от той же точки.

Эта разновидность формулировки критерия устойчивости Найк­ виста действительна и для частного случая / = 0, т. е. когда годограф W (ja) принадлежит устойчивой или даже нейтральной разомкнутой

137

дограф W (jсо) дополняют в отрицательном направлении дугой бес­ конечного радиуса (R-+oо) с центром в начале координат (0, /0), на­ чинающейся на вещественной положительной полуоси (рис. 58) и

опирающейся на центральный угол = —s рад. При s = 1,2, ...

эта дуга будет состоять соответственно из одной, двух и большего

Чтобы замкнутая астатическая система, неустойчивая в разомкну­ том состоянии (когда система имеет I корней справа от мнимой оси на комплексной плоскости), была устойчивой, необходимо и достаточно выполнение условия: годограф одноименной разомкнутой системы с его дополнением в бесконечности должен охватывать в положитель­

ном направлении у раз точку с координатами — 1, /0 (кривая /).

Рис. 59. Годографы устойчивой (а), неустойчивых (б, г), нейтраль­ ной (е) разомкнутых статических САУ

Следовательно, обоим годографам I и I I на рис. 58 соответствуют однотипные замкнутые астатические САУ с порядком астатизма s = l .

На рис. 59 показаны годографы некоторых статических разомкну­ тых САУ, которым, согласно правилам критерия Найквиста, соответ­ ствуют устойчивые замкнутые САУ: устойчивая (а), неустойчивые

139

(б иг), находящиеся на границе устойчивости (б). Характеристическое уравнение для неустойчивой разомкнутой САУ второго порядка, годо­ граф которой показан на рис. 59, г, имеет два корня, расположенных направо от мнимой оси (1 — 2).

Подсчитывая число переходов этого годографа через вещественную ось левее точки с координатами ( — 1, j0), имеем: два положительных перехода (стрелки вниз) и один отрицательный переход (стрелки вверх). Так как в данном случае разность числа переходов равна единице

= , то согласно третьему правилу критерия Найквиста соответствующая замкнутая САУ будет устойчивой.

§ 5. ВЫЯВЛЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ САУ

Знание только одного факта, что исследуемая или проектируемая система электрорадиоавтоматики в замкнутом состоянии является устойчивой само по себе недостаточно. Наряду с этим необходимо, чтобы эта САУ работала устойчиво при возможных изменениях управ­ ляющего или возмущающего воздействия в допустимых разумных пре­ делах. Для этого необходимо иметь некоторые количественные кри­ терии, на основе которых можно было бы оценивать качество работы САУ.

Принципиально оценивать работу данной САУ можно непосредст­ венно или косвенным образом.

Непосредственно оценивают на основе так называемых кривых про­ цесса управления (регулирования), которые либо снимают по точкам экспериментальным путем, либо получают из аналитических расчетов. Данный путь представляется в большинстве случаев весьма нелегким из-за большой трудоемкости процессов расчета (для САУ с порядком п ^ 2 -ь 3) и сложности в ряде случае проведения качественного экс­ перимента.

Косвенным образом оценивают по относительно просто определяе­ мым частотным и временным характеристикам исследуемой САУ.

Первые оценки известны под названием прямых оценок качества работы САУ, вторые — косвенных оценок.

В эксплуатации систем электрорадиоавтоматики наиболее распро­ странены полезные косвенные оценки запаса устойчивости.

Одним из удобных понятий запаса устойчивости САУ может быть определение на основе критерия Найквиста. Замкнутая САУ обладает требуемым запасом устойчивости, если выполняются следующие тре­ бования:

САУ удовлетворяет условиям устойчивости согласно критерия Найквиста; годограф АФХ соответствующей разомкнутой САУ W (/со) не подходит к точке с коэффициентами — 1, /0 на комплексной плос­ кости достаточно близко. Последнее требование предполагает, что модуль вектора АФХ разомкнутой САУ | W (/со) | отличается от еди­ ницы не меньше чем на заданную величину ± ЛЯ, называемую запа­ сом устойчивости замкнутой САУ по модулю, и вместе с тем аргумент (фаза) этого вектора отличается от я радиан = 180° не менее чем на

140

величину у (рис. 60), называемую запасом устойчивости той же САУ по углу или по фазе [3].

Аналитически эти условия могут быть сформулированы так: в ин­ тервале, где модуль W (/со) удовлетворяет неравенству: 1 — АЯг^С |ИР (/со) |< : 1 + ДЯ аргумент (фаза) должен в свою очередь подчи­

няться требованию: — я — у ^ arg W (/со) ^ — я + у.

Графически оба эти неравенства выражаются в том, что годограф АФХ, соответствующий замкнутой САУ, которая обладает требуемым

В связи с тем, что построение годографа АФХ разомкнутых САУ по точкам оказывается трудоемким процессом, в практике применения критерия Найквиста для определения устойчивости замкнутых САУ очень часто используются логарифмические частотные характеристи­ ки разомкнутых систем, построение которых, как правило, осущест­ вляется достаточно просто (см. гл. Ill, § 3, 4 и гл. IV, § 1).

Принципиальная возможность выявления факта: устойчива или нет замкнутая САУ на основе критерия Найквиста по ЛАХ и ЛФХ ра­

той САУ с тем, чтобы замкнутая система была устойчивой, вытекают из следующих положений:

фазовая характеристика обязательно должна удовлетворять условию

141

Рис. 61. Определение запасов устойчивости по модулю и фазе замк­ нутой САУ:

а — годограф АФХ; б — характеристики ЛАХ и ЛФХ разомкнутой статической САУ

Условимся называть точки характеристики ЛФХ, для которых В (со) > > 0 и в которых она пересекает (при возрастании со->+ оо) прямые—я, —Зя, —5я, ... снизу вверх отрицательными переходами, а сверху

чения устойчивости соответствующей замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрица­ тельных переходов логарифмической фазовой характеристики ф (со) разомкнутой САУ через линию — 180° была равна нулю в тех диапа­ зонах частот, в которых логарифмическая амплитудная характеристи­ ка разомкнутой САУ В (со) положительна [В (со) > 0].

Для случая, когда САУ в разомкнутом состоянии неустойчива, формулировка изменяется на следующую: замкнутая САУ устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных пере­

ходов ЛФХ разомкнутой САУ через линию— 180° равна , где/—чис­

ло корней характеристического уравнения разомкнутой САУ, лежа­ щих на комплексной плоскости направо от мнимой оси, в тех диапазонах частот, в которых ЛАХ разомкнутой САУ положительна [В (со) > 0].

142