книги из ГПНТБ / Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие

той САУ в виде (115) и (116). В этом случае стремятся придать ПФ W0 (р) форму произведения простых сомножителей

где Wi (р) — передаточные функции либо типовых звеньев (см. табл. 1 ),

представляет собой последовательное соединение типовых звеньев, выражение (186) получается простой подстановкой в нее ПФ этих звеньев. При более сложных структурных схемах разомкнутых САУ реализация выражения (186) связана с необходимостью отыскания

Заменив в выражении (187) оператор р на/со, получим ККП для разомк­ нутой САУ:

где Wt (/со)= I Wt (/со)| е'^1(и) —ККП промежуточного звена с номером і. Логарифмируя левую и правую части (188) по основанию е полу­

чаем:

В соответствии с формулами (38) и (37) уравнения ЛАХ и ЛФХ для разомкнутой САУ (187) будут на основе выражения (189) определяться

103

ЛФХ:

Из рассмотрения выражений (190) и (193) ясно, что логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ, выражение передаточной функции которой состоит из произведения типовых сомножителей (186), получаются простым суммированием логарифмических частот­ ных амплитудных (ЛАХ) и фазовых (ЛФХ) характеристик этих типо­ вых сомножителей.

При построении ЛАХ разомкнутой САУ, как и при построении типовых звеньев, можно получить начальные, вполне достаточные для

Рис. 41. Низкочастотные асимптоты ЛАХ для некоторых разомкнутых САУ:

а — статических; б — с астатизмом первого порядка; в — с астатнзмом второго порядка

исследователя сведения даже из асимптотической ЛАХ. Последняя, как и в случае одиночных звеньев, представляет ломаную линию, состоящую из отрезков прямых с наклонами к оси частот, кратными

± 20 дб (см. рис. 27).

Асимптотическую ЛАХ разомкнутой САУ можно получить пост­ роением сначала асимптотических ЛАХ сомножителей (jсо) с по­ следующим суммированием их. Однако практика построения характе­ ристик ЛАХ по формулам (190) — (192) выработала несколько реко­ мендаций, отчасти облегчающих построение асимптотической ЛАХ для разомкнутой САУ:

1. Вычисляют сопрягающие частоты (см., например, § 4, гл. Ill), соответствующие каждому из сомножителей Wt (jсо) в (190) и (192).

2. На оси частот с логарифмическим масштабом (см. рис. 28) через значения соспр, соответствующие сопрягающим частотам, проводят вертикальные прямые.

3. Осуществляют построения низкочастотной асимптоты по урав­ нению (191). Последнее может быть записано в виде:

•бич (<*>) = 2 0 lg АС— s 2 0 lg (о.

Для статических САУ s = 0 и Вач (со) = 20 lg К, т. е. характери­ стики ЛАХ в этом случае представляют прямую, параллельную оси частот (рис. 41, а).

104

Для астатических САУ (s#0) характеристика Вп (со) изображается в виде прямой с отрицательным наклоном s 20 дбідек. Данная прямая может быть построена по одной точке на оси частот. В качестве такой.

4. Построенную низкочастотную асимптоту продолжают до пересе­ чения с вертикалью, проведенной через точку с наименьшей сопрягаю­ щей частотой соспр. mln. В этой точке изменяют наклон отрезка прямой ЛАХ на соответствующее число дбідек.

5. Продолжают отрезок до пересечения со следующей вертикалью, где снова изменяют наклон на необходимое число дбідек и т. д. После пересечения с вертикалью, проведенной через точку с наибольшим значением сопрягающей частоты (соспр. шах), последний отрезок ЛАХ имеет наклон (т — п) 2 0 дбідек, где т и п — показатели степени чис­ лителя и знаменателя в выражении (116).

Частотные характеристики замкнутой САУ могут быть получены на основе выражения (122), или (130), или (139) в зависмости от того, по какому из воздействий для замкнутой САУ была определена переда­ точная функция. Рассмотрим для примера наиболее простой случай, когда в ПФ учитывается только управляющее воздействие — выраже­ ния (123) и (124). Заменив в двух последних выражениях оператор р на /со, получим ККП для замкнутой САУ.

Очевидно, что ККП (196) можно привести к другому виду, если воспользоваться выражениями (120) и (115) или ПФ разомкнутой САУ. Эти преобразования можно проделать самостоятельно.

По аналогии с формулами (176) — (179), выражению ККП (уравне­ нию АФХ) замкнутой САУ может быть придан другой вид

105

Годограф АФХ для замкнутой САУ может быть построен по точкам ■на основе выражения (197) в функции от со. Пример такого, годографа для САУ невысокого порядка представлен на рис. 42. В отличие от годографа разомкнутых САУ (см. рис. 40) годограф замкнутой САУ

устойчивость и показатели переходных процессов и поведение этих САУ в неустановившемся режиме, а также выявлять параметры корректирующих устройств. Последние могут оказаться необходимыми для реализации САУ с желательными в эксплуатации свойствами в переходных и установившихся режимах.

Определение модуля и фазы ККП для замкнутой САУ

ЛАХ и ЛФХ замкнутой САУ на практике находят на основе ЛАХ и ЛФХ соответствующей разомкнутой системы с помощью специальной номограммы (рис. 43), вычисленной по выражению

Подставляя в выражение (200) значения из уравнений (172), (197) можно получить следующие зависимости [6 ]:

ІА (со) ] 2

Так как Н (со), ф (со) и А (со), ср (со) есть амплитудно-частотные и фа­ зово-частотные характеристики соответственно разомкнутой и замк­ нутой САУ, то будем считать, что Я (со), В (со) и ф (со) разомкнутой системы известны. Тогда с помощью уравнения (201) в плоскости В

106

ф могут быть построены так называемые линии равных значении фазового угла ср замкнутой САУ для ряда дискретных значений час­

=0,25; 0,5; 1,0; 2,0; ... дб.

Вномограмме на рис. 43

§ 4. ПОНЯТИЕ О ЛИНЕАРИЗАЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ САУ

Применяемые в САУ функциональные элементы, т. е. конструктив­ но обособленные устройства САУ, выполняющие в них те или иные самостоятельные функции, обычно обладают нелинейными статически­ ми характеристиками.

107

Статической характеристикой функционального элемента называет­ ся аналитическая (графо-аналитическая) зависимость выходной вели­ чины этого элемента от входной в установившемся режиме, т. е., например, в явном виде

Статическая характеристика элемента обычно задается в виде харак­ теристики в плоскости координат хвх, хвйх (рис. 44) и может быть по-

Рис. 44. Обобщенные характеристики функциональных элементов САУ:

лучена либо экспериментальным путем, либо вычислена, если изве­ стна аналитическая зависимость (203).

Если статическая характеристика (или семейство статических ха­ рактеристик) дает относительно полное представление о работе данного функционального элемента в установившихся режимах, то практи­ чески из нее нельзя получить информацию о возможном поведении того же элемента в переходных (неустановившихся) режимах.

Между тем, информация о поведении элементов САУ в переходных (динамических) режимах составляет один из важных вопросов при изу­ чении теории и приложений САУ. Но если поведение одиночных типо­ вых звеньев и их комбинаций, при помощи которых в структурных схемах САУ отображаются функциональные элементы, описывалось обыкновенными дифференциальными уравнениями (для одиночных элементов уравнениями не выше 2 -го порядка), то поведение самих функциональных элементов в тех же режимах приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям. Линейность статической характери­ стики функционального элемента (см. рис. 44, в) не может служить

108

объективным основанием для отнесения его к разряду линейных. На практике часто бывают случаи, когда нелинейные свойства того или иного функционального элемента проявляются только в переходных режимах.

Известно, что получение решения нелинейных дифференциальных уравнений даже невысоких порядков представляется трудным и более сложным процессом, чем для обыкновенных линейных уравнений того же порядка. В ряде случаев не удается отыскать даже приближенное решение нелинейного уравнения. В связи с этим, когда это возможно,

В этом уравнении неизвестной функцией будет величина на выходе элемента хВЬІХ. Рассматриваемое уравнение имеет второй порядок, но в общем случае порядок уравнения может быть любым.

Уравнение статической характеристики элемента можно получить из заданного выражения (205), если принять в нем:

хвх = *вх = const; Хвых = Хвых = const; hx = /г? = const; /г2 —hl — const,

где А'вх, Хвых, h\, h l—некоторые постоянные выбранные величины. Тогда уравнение статической характеристики элемента в неявном

Будем считать, что в исходном уравнении (205), подлежащем лине­ аризации, заданы хвх, hlt h%, как функции времени, и выбраны ХвЫХ, Хвх, h° и /г2 — как значения тех же величин, соответствующие некото­ рому установившемуся режиму в данном элементе. Именно относи­ тельно такого заранее выбранного установившегося режима и осущест­ вляется линеаризация исходного уравнения (205). Величины, характе­ ризующие выбранный установившийся режим, связаны между собой уравнением (206).

Физико-математический основой идеи линеаризации нелинейного уравнения (205) является предположение о том, что в правильно осу-

109

ществленной и эксплуатируемой САУ отклонения ее переменных (обобщенных координат) от равновесного установившегося состояния не должны быть велики. Это предположение, естественно, распростра­ няется и на рассматриваемый элемент САУ (205). В данных условиях обобщенные координаты последнего можно представить в таком виде:

где

Д-^вх -- ЛВХ Хвх, Д-^ВЫХ •'•вых Л'вых,

А/г1 =/г1 —/г“; Д/г2 — /г2— h%—малые отклонения обобщенных коорди­ нат от их значений, принятых за исходные при линеаризации.

Подстановкой соотношений (207)—(208, а) в уравнение (205) пре­ образуем последнее в следующее

и непрерывными в исследуемом диапазоне их изменений. Тогда уравне­ ние (209) может быть разложено в ряд Тэйлора по возрастающим сте­ пеням Дхвых, Дхвх, Д/гх, Д/г2 относительно точки равновесия с коорди­ натами из уравнения (206), т. е. 0, 0, х£ых, 0, хвх, /г", hl- При разложе­ нии, основываясь на предположении о малых значениях отклонений обобщенных координат от их значений в исходном установившемся режиме (206), ограничимся только теми членами, которые не содержат вторую и более высокие степени отклонений АхВЬ1Х, Дхвх, Ahly Д/г2 и их произведений. В соответствии с этим будем иметь следующее разложе­

где D — нелинейная часть ряда, содержащая вторые и старшие степе­ ни переменных и их произведений.

Влевой части уравнения (210) частные производные вычисляются

ввыбранной точке установившегося режима (206). В связи с этим со­ ответствующие символы обозначают:

ПО

( 211)

Уравнение (211) представляет обыкновенное линейное дифференциаль­ ное уравнение с постоянными коэффициентами.

Метод лианеризации нелинейного дифференциального уравнения функционального элемента не имеет силы, если разложение функции М в ряд Тэйлора в окрестности выбранной точки с координатами хВЫх. х£х, А°, А§ невозможно (например, если функция оказывается недифферен­ цируемой по какой-либо из этих координат). В подобном случае диф­ ференциальное уравнение функционального элемента называют суще­

где введены обозначения:

о —

Рассмотрим в качестве иллюстрации пример линеаризации нелинейно­ го дифференциального уравнения для одного из функциональных эле­ ментов, а именно для так называемого магнитоэлектрического чувст­ вительного элемента [21]. Последний используется в качестве измери­ теля постоянного тока или напряжения небольшой величины в цепях обратной связи в замкнутых радиотехнических САУ, например в сле­ дящих системах малой мощности.

Так как с устройством и принципами действия электроизмеритель­ ных приборов магнитоэлектрической системы учащиеся знакомы из курса «Электрорадиоизмерения», напомним, что в качестве выходной величины в магнитоэлектрическом чувствительном элементе рассма­ тривается угол поворота (отклонения) а его подвижной системы (рам­ ки). Входной величиной в нем будет ток і, поступающий в обмотку рам­ ки.

112