книги из ГПНТБ / Кляус, Е. М. Гендрик Антон Лоренц, 1853-1928

XIV

Лоренц и квантовая механика

1

Работы Лоренца, Планка, Эйнштейна, с одной стороны, и фундаментальные открытия Резерфорда, заложившего основы учения о радиоактивности и строении атома, с другой стороны, послужили исходными пунктами при создании атомной теории Бора. В 1913 г. Бор сформули­ ровал постулаты, позволившие рационально трактовать комбинационный принцип Ритца;

Предложенные Бором постулаты позволили определять круговые орбиты, по которым вращаются электроны, соответствующие стационарным состояниям атома.В 1915 г. Вильсон, а в 1916 г. Зоммерфельд, независимо друг от друга, открыли более общие методы отбора орбит, соотвётствующих стационарным состояниям. На основании сфор­ мулированных “Бором квантовых постулатов можно бы­ ло вычислить частоты спектральных линий, испускаемых атомом водорода, но не удавалось определить их интен­ сивность и поляризацию. Расширив положение о совпа­ дении классической и квантовой теории при больших квантовых числах до самостоятельного принципа («прин­ цип соответствия»), Бор получил новые существенные результаты, в том числе и для расчетов интенсивностей и поляризации спектральных линий. При всех ее пора­ зительных успехах теория Бора не в состоянии была разрешить практические и логические трудности, став­ шие на ее пути, Л. ПІифф, характеризуя теорию Бора, писал: «Старая квантовая теория столкнулась с рядом практических трудностей. Так, ее нельзя было применять к апериодическим системам; она давала лишь качествен-

229

иое и неполное объяснение интенсивности спектральных линий; наконец, она не давала удовлетворительного объяс­ нения дисперсии света» Б

Первый шаг по пути развития новой квантовой ме­ ханики был сделан Луи де Бройлем в 1924 г. Он высказал гипотезу, что существование корпускулярных и волновых средств представляет собой закономерность, присущую всем частицам. Весьма существенна эта закономерность для микрочастиц. Возникла задача создания волновой теории движения микрочастиц. Эту задачу разрешил в 1926 г. Э. ІПредингер. Об исходных позициях своей теории он писал: «Прежде всего нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля, содер­ жащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении «фазовых волн», кото­ рым, как показал де Бройль, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электро­ на, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное, что заимствовано из теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распро­ страняющейся волне, заключается в том, что мы рас­ сматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания» 1.2 ІПредингер усматри­ вал также связь между своими исследованиями о кван­ товании как задаче о собственных значениях и данным им же обоснованием теории газов Эйнштейна. Поиски пути к установлению вида волнового уравнения облегчала формальная аналогия между механическими и оптичес­ кими явлениями.

Идея оптико-механической аналогии восходит к XVII в. Около 1660 г. французский математик П. Ферма сформу­ лировал принцип, согласно которому свет выбирает та­ кой путь, прохождение которого требует наименьшего времени. В современной формулировке принцип гласит, что путь светового луча между двумя точками А и В удовлетворяет условию стационарного интеграла от

1 Л. Шифф. Квантовая механика. ИЛ, 1957, стр. 15.

2Э. Шредингер. Квантование как задача о собственных значени­ ях.— В сб.: «Вариационные принципы механики». М., Физмат-

гиз, 1959, стр. 676.

230

светового луча.

Выраженный в таком виде принцип носит чисто гео­ метрический характер. Воспользовавшись значением по­ казателя преломления п = c/w, имеем:

в'в

Элементарная волновая оптика связывает геометри­ ческий смысл принципа Ферма с его кинематическим смыслом, приближая его к механике. Принцип Ферма в приведенной форме аналогичен уравнению Гамильтона — Якоби:

в

б U/ 2 т ( Е — U ) d l .

'п = Ѵ 2т ( Е - U).

Аналогия не могла быть углублена, пока оперировали обычной скоростью. Де Бройль, оперируя групповой скоростью волн и видоизменив выражение для показа­ теля преломления, нашел, что именно групповая скорость совпадает со скоростью точки, движущейся по законам классической механики.

Влияние работ де Бройля на творческий путь Шре­ дингера не подлежит сомнению, но одновременно значи­ тельную роль в развитии квантовой теории Шредингера сыграла переписка Шредингера с Эйнштейном и Лоренцем.

Всвоем первом сообщении «О квантовании как задаче

особственных значениях» Шредиигер на примере иерелятивистского свободного атома водорода показал, ка-

231

киы образом правила квантования Бора — Зоммерфельда могут быть заменены квантованием, вытекающим из решения определенного уравнения для атомной системы. Путь, по которому он пришел к своему уравнению, нео­ бычен. Вычисление энергии атома Шредингер свел к проблеме собственных значений. Вначале его смущал тот факт, что в уравнении

отсутствуют граничные условия. В дальнейшем он писал: «Когда я впервые занялся этим вопросом, мне это упро­ щение казалось неблагоприятным, так как я не был до­ статочно математически подготовлен н не мог себе пред­ ставить, каким образом могут получиться собственные частоты, без граничных условий. Позже я понял, что более сложная форма коэффициентов, а именно появле­ ние V (х, у , z), до известной степени даст то, что обычно достигается граничными условиями,— отбор определен­ ных значений А»3.

На решения уравнений Шредингера — линейного диф­ ференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, поскольку потенциальная энергия есть функция координат, накладываются требования конеч­ ности, однозначности и непрерывности. Эти условия выполнимы в том случае, если параметр Е имеет опреде­ ленные значения — собственные значения параметра. Простейшим примером применения метода Шредингера может служить материальная точка, связанная упругой силой с положением равновесия и способная колебаться около этого положения равновесия, — гармонический ос­ циллятор. Согласно теории Шредингера, стационарные состояния линейного осциллятора определяются такими значениями энергии осциллятора Е , при которых уравне­ ние имеет решения, конечные при любом значении неза­ висимой переменной.

2

Анализируя работу Шредингера «Квантование как проблема собственных значений», Лоренц писал ее автору:

3Четыре лекции по волновой механике. В кн.: Э. Шредингер. Но­ вые пути в физике. М., «Наука», 1971, стр. 283.

232

«Если мне пришлось бы теперь выбирать между Башей волновой механикой и матричной механикой, я предпо­ чел бы первую из-за большей наглядности, пока речь идет о трех координатах х, у, z. Ио при большем числе степенейсвободыяужене могу физически интерпретировать волны и колебания в ^-пространстве п поэтому должен был бы предпочесть матричную механику» 4.

Это глубокое замечание Лоренца не теряло своей зна­ чимости на протяжении всего дальнейшего развития кван­ товой механики. Лоренц одновременно отмечает, что в

В работе Шредингера Лоренцу также понравился способ построения подходящих матриц и доказательство, что они удовлетворяют уравнениям движения. Многие годы, уже после письма Лоренца, Шредингер все еще полагал что вопрос о наглядности движения электрона в ^-простран­ стве сможет им быть разрешен, однако дальнейшее разви­ тие волновой механики не оправдало этих надежд. Весь­ ма интересно доказательство Лоренцем мысли, выска­ занной Шредингером, что скорость электрона должна быть групповой.

где и — групповая скорость, іи — скорость распростра­ нения волн, V — частота их.

Лоренцу понравилось предложение Шредингера, что преобразование,4 которое претерпевает динамика в его теории, подобно переходу от лучевой оптики к волновой, и что, следовательно, электрон должен быть сравним с волновым пакетом, движущимся с групповой скоростью. «Но, — писал Лоренц, — волновой пакет никогда не может долго держаться вместе и ограничиваться малым простран­ ством. Малейшая дисперсия среды растянет его в направ­ лении распространения, и, кроме дисперсии, этот пакет также будет все больше расширяться в поперечном на­ правлении (дифракция). Из-за этого неизбежного разма­ зывания, мне кажется, что волновой пакет мало пригоден для представления вещей, которым мы приписываем,

4Переписка Шредингера с Лоренцем.— В кн.: Э. Шредингер. Но­ вые пути в физике, стр. 193—194.

233

до известной степени длительное, обособленное существова­ ние» 5.

Волновой пакет понимали как поле волн материи, сосредоточенное в ограниченной области. Лишь в области, занимаемой волновым пакетом, вероятность обнаружить частицу отлична от нуля. Локализованность частицы определяется размерами пакета: чем меньше его размеры, тем более локализована частица. Поскольку длина волны сравнима у Шредингера по порядку величины с боровскими траекториями, то его волновой пакет не может сохраняться долго. Лоренц также обсуждает вопрос о замене электрона, как частицы, системами волн. То, что приписывается электрону атома водорода, должпо при­ писываться всем электронам всех атомов. Все они должны быть заменены системами волн. При этом возникают затруднения с такими явлениями, в которых ясно высту­ пают атомарные свойства частиц (фотоэффект, испуска­ ние электронов раскаленными металлами). «Я, — отме­ чает Лоренц, — не хочу этим сказать, что не могут иметь места многие превращения внутри атома. Если хотят себе представить, что электроны не являются маленькими планетами, вращающимися вокруг ядра, и если удается таким представлением чего-то достигнуть, то я ничего не имею против. Но когда изображают электрон как волно­ вой пакет, то тем самым закрывают путь к его восстановле­ нию. Слишком много требовать, чтобы волновой пакет, однажды распавшись, вновь сосредоточился»6.

Наряду с анализом трудностей Лоренц отмечает при этом и то преимущество, с которым связано понятие вол­ нового пакета. В уравнении Шредингера

фигурирует лишь член е2/г, зависящий от поля ядра, однако в точке, в которой электрон в данный момент не находится, должен присутствовать член, зависящий от электрического поля электрона. Но исчисление собствен­ ных значений при этом было бы весьма затруднено. Ло­ ренц неоднократно отмечал и то, что волновое уравнение Шредингера не содержит частных производных по време­

5 См.: 3. Шредингер. Новые пути в физике, стр. 196—197. 0 Там же, стр. 197—198.

234

ни. Этот вопрос был снят НІредиягером, показавшим, ка­ ким путем можно прийти к общему волновому уравнению.

Весьма существенны также высказывания Лоренца о теории комбинационных колебаний. В письме к Шредин­ геру от 19 июня 1926 г. Лоренц резюмирует то, что он усматривает в волновой теории, опуская вопрос о пакетах энергии и размазывания электрона. «В поле ядра могут существовать волновые колеблющиеся состояния, под­ чиняющиеся определенному уравнению движения. Уста­ новлены правила для их определения из уравнений дви­ жения электрона. Фигурирующий в уравнении движения потенциал зависит от заряда ядра. Заряд электрона не имеет значения для этого потенциала» 7. Далее Лоренц указывает, что возможные состояния волн имеют очень

точке скорость распространения волны w и ее длины А имеют определенное значение, зависящее от положения. «За излучение,— продолжает Лоренц, — ответственна ве­ личина, квадратичная относительно г[з. Это приводит, при одновременном существовании двух указанных со­ стояний движений с частотами ѵ1 и ѵ2, к излучаемой, частоте ѵ2 = (и к частоте v* + ѵ2 очень высокой, которой можем [или хотим] пренебречь)»8.

Свои письма к Шредингеру Лореиц заканчивает по­ желанием — сделать для некоторых других случаев (ре­ лятивистские поправки, эффекты Штарка и Зеемана) то же, что «сказано выше в пунктах 1—6 для спектра Бальмера» 9.

В теории излучения Лореиц шел своим путем. В то время как Кирхгоф, Больцман и Вин удовлетворялись чисто термодинамическим подходом к теории излучения, Лоренц настойчиво пытался выяснить механизм явлений. Отсюда его глубокий интерес к квантам. Оптика, электро­ динамика, термодинамика и статистика, специальная и общая теория относительности, кванты, а в последние годы жизни и волновая механика — все это области физи­ ки, глубоко интересовавшие Лоренца, И в каждую из них он внес существенный вклад.

Литература (Книги и статьи Лоренца1 и о Лоренце)

Книги Лоренца

Collected papers (С. Р.), ѵ. 1—9. Hague, 1934—1939. Lectures on theoretical physics, v. 1—2. Leiden, 1927.

The principle of relativity. A collection of original memoirs on the special and general theory of relativity. Dover, 1923.

The theory of electrons and its applications to the phenomena of light

and radiant heat. Leiden, 1909.

Problems of modern physics (A course of lectures delivered in the Cali­

fornia inst. of technology). N.—Y., 1967.

Sichtbare und unsichtbare Bewegungen. Braunschweig, 1902. Versuch einer Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in

bewegten Körpern. Leiden, 1895.

Vorlesungen über theoretische Physik an der Universität Leiden, v. 1—5. 1927-1931.

Статьи Лоренца

Concerning the motion of a circular cylinder on a plane (1875),— С. P., V. IV.

Concerning the relation between the velocity of propagation of light and the density and composition of media (1878).— «Verhandel

Koninkl akad. wet.», 1S78, 18.

Uber die Anwendung des Satzes vom Virial in der kinetischen Theorie der Gase (1881).— «Ann. Physik», 1881, 12.

Sur l’application aux phénomènes Lhermo-électriques de la seconde loi la théorie mecanique de la chaleur (1885). «Arch. néerl.», 1886, 2.

De l’influence du mouvement de la terre sur les phénomenes lumi-

neux.— (1886). «Arch. nèerl.». 1887, 21.

Versuch einer Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern (1895). Leiden, 1895; лзд. 2, 1906.

Influence du champ magnétique sur remission lumineusse (1897).—

«Rev. électr.», 1898, 14.

Die Fragen, welche die translatorische Bewegung des Lichtäthers bet­ reffen (1897).— «Verhandl. Vers. Dtsch. Naturforscher», 1898.

Zur Theorie des Zeemaneffektes (1899).— «Phys. Z.», 1899, 1. Boltzmann’s and Wien’s laws of radiation (1901).— «Proc. Roy. Acad.

Amsterdam», 1901, 3.

Sichtbare und unsichtbare Bewegungen (1901). Braunschweig, 1902. The fundamental equations for electromagnetic phenomena in ponde­ rable bodies, deduced from the theory of electrons (1902).— «Proc.

Roy. Acad. Amsterdam», 1902, 5. 1 Приведены только основные работы.

236

Maxwell’s elektromagnetische Theorie (1904).— «Enc. math. Wissensch», 5, II, S. 63.'

Electromagnetic phenomena’ in a system moving with any velocity smaller than that ol light (1904).— «Verslag. Koninkl. akad. wet. Amsterdam», 1904, 12.

Das Licht und die Struktur der Materie (1907).— «Phys. Z.», 1907, 8. Zur Strahlungstheorie (1908).— «Phys. Z.», 1908, 9.

The theory of electrons (lectures in Columbia University, 1909). Leip­ zig, 1909; 2nd ed., 1916.

Theorie der magneto-optischen Phänomene (1909).— «Enc. math. Wissensch.», 1909, 5, III.

Alte und neue Fragen der Physik (1909).— «Phys. Z», 1910, 11. Sur l’application au rayonnemont du théorème de l’équipartition de

l’énergie (1911).— «Rapp. Réunion Solvay», 1911—1912, 12. La gravitation (1914).— «Scientia», 1914, 16.

Deux mémoires de Henri Poincare sur la physique mathématique (1914).— «Acta math.», 1914, 38.

On Hamilton’s principle in Einstein’s theory of gravitation (1915).— «Proc. Roy. Acad. Amsterdam», 1915, 19.

Notes sur la théorie des electrons (1921).— «Rapp. Reunion Solvay», 1921.

Problems of modern physics (lectures at the Institute of Technology of Pasadena (1922)). Boston, 1927.

Application de la théorie des electrons aux propriétés des métaux.— «Reunion Solvay», 1924.

Sur la rotation d’urt élelclron qui circule autour d’un noyau. Congrès international de Physique â Como (1927).

Книги Лоренца на русском языке

Видимые и невидимые движения (лекции, прочитанные в феврале — марте 1901 г.). Одесса, 1904. Изд. 2. М., 1905.

Электронная теория. (Доклад). СПб., 1910.

Курс физики, Т. 1—2. Одесса, 1910. Изд. 2. М., 1912—1915.

Теория электромагнитного поля. М.— Л., 1933.

Статистические теории в термодинамике (лекции, прочитанные в

Коллежде -Франс в ноябре 1912 г.). Л.— М., 1935. Лекции по теоретической физике (лекции, читанные в Лейденском

университете и обработанные А. Д. Фоккером). М.— Л., 1935. Принцип относительности (Г. А. Лорепц, А. Пуанкаре, А. Эйнш­

тейн, Г. Минковский). Л., 1935.

Теории и модели эфира. М.— Л., 1936.

Лекции по термодинамике. М.— Л., 1941. Изд. 2. 1946.

Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. М., 1953. Изд. 2. М., 1956.

Старые и новые проблемы физики (Сборник статей). М., «Наука», 1970.

Статьи о Лоренце

Benard Н. Н. А. Lorentz.— «J. phys. et radium», 1928, IX, suppl., p. 25s — 26s.

Born M. Antoon Lorentz.— «Gott. Nadir.», 1928, S. 69—73; «Ausge­ wählte Abhandlungen», Bd. II. Göttingen, 1963, S. 607—611.

Bragg W. Л ., Eddington A. S., Glasbrook R., Jeans J. H ., Lamb H.,

237

Larmor J., Lodge 0., Murray G., Thompson J. / . , Whittaker E. T. H. A. Lorenlz.— «Nature», 1928, 121, p. 287—191.

Brillouin M. II. A. Lorenlz en France et en Belgique. «Physica»,1926, 6, N 1.

Broglie L. de. Notice sur la vie ot Гoeuvre de Hendrik Anloon Lorenlz. Lecture faite en la séance annuelle des prix du 10 december 1951. Paris, 1951. Русский перевод в іш.: Л. де Бройль. По тропам науки. М., 1962.

Brunn А. van. Hendrik Anloon Lorenlz.— «Sterne», 1928, 8, S. 214— 215.

Ehrenfest P. Professor Н. А. Lorenlz as researcher.— «Nieuwe Rotter­ dam Courranl», 17.VII 1923. To же в кн.: Ehrenfest Р. Collected scientific papers. Amsterdam, 1953, p. 471—478; «Cliem. weekbl.», 1923, 20, стр. 424—427.

Ehrenfest P. Hendrik Antoon Lorenlz. — «Physica», 1928, 8, N 3, s. 101-104.

Einstein A. Prof. H. A. Lorentz.— «Cliem. weekbl.», 1928, 25, p.

109—111.

Flamm L. Anion Lorentz.— «Elektrotechnik u. Maschinenbau», 1928, 46, S. 1201.

Fokker A. D. Hendrik Antoon Lorentz.— «Physica», 1923, 3, S. 201 — 205.

Fokker A D. H. A. Lorentz (18 Juli 1853—4 Febr. 1928).— «Physica», 1928, 8, S. 1—4.

Fokker A. D. Lorenlz’s Werk.— «Physica», 1928, 8, S. 4—13. Fokker A. D. Herdenkingsrede, II. A. Lorentz.— «Physica», 1928, 8,

S. 105—110.

Gerritz G. G., H. A. Lorentz.— В кн.: «Grote Nederlanders». Leiden,

1948, S. 381—429.

Haga FT. Herinnering uit den Schooltijd van Lorentz.— «Physica»,

1925, 5, S. 324-325.

Нашу M. II. A. Lorentz.— C.R., 1928, 187, p. 1182-1185. Лату M. H. A. Lorentz.— C.R., 1928, 196, p. 333—335. Heathcote N. H. Hendrik Antoon Lorentz (1853—1928).— В кн.:

«Nobel prize winners in physics», 1953, p. 9—17.

Hertz G. II. A. Lorenlz.— «Jahrb. Akad. Wiss. 1963». Berlin, 1964, S. 214-215.

Howe G. W. O. II. A. Lorentz.— «Wireless Engr», 1954, 31, p. 79—80. Kainmerlingh-Onnes II. H. A. Lorentz.— «Chem. weekbl.», 1912, 9,

p. 941—961.

Kirschberger P. Hendrik Anton Lorentz.— «Dingler’s polytechn. J.», 1928, 343, H. 5, S. 47-48.

Laar J. J. Van Bij Lorentz verscheiden.— «Chem. weekbl.», 1928, 25, p. 106—107.'

Langevin P. Discours prononcée au nom de physiciens Iranfais aux absèques de Lorentz.— «Rev. scient.», 1928, 66, N 5, p. 157—158.

Larmor J. Hendrik Antoon Lorentz.— «Nature», 1923, 111, p. 1—6. Maanen A. van. H. A. Lorentz (1853—1928).— «Popul. Astron.»,

1928, 36, p. 289.

Madelung E. H. A. Lorentz.— «Jahresbor. Phys. Ver. Frankfurt, a. M.», 1927—1928, S. 11—12.

Planck M. Hendrik Antoon Lorentz.— «Gedächtnisrede. Naturwiss», 1928, 16, S. 549—555. Русский перевод в кн.: М. Планк. Един­ ство физической картины мира. М., 1964, стр. 152—166.

238