книги из ГПНТБ / Калинчук, Б. А. Анализаторы инфразвуковых случайных процессов

сывается из памяти рециркулятора. При этом происходит процесс «обновления» выборок.

Временная компрессия входного сигнала длительностью Т с ши­ риной спектра А/ = МТ приводит, таким образом, к созданию ко­ пни с длительностью Т 0 и, соответственно, шириной спектра Аf0 = = 1/ Т0 = N/T, т. е. спектр копии сигнала оказывается в N раз шире спектра исходного временного ряда. Ширина частотного окна фильтра Д/ф при последовательном анализе выбирается равной:

А/ф= N

Спомощью перестраиваемого гетеродина ПГ спектр сигнала на выходе смесителя См относительно резонансной частоты фильтра

Фсмещается ступенями по МТ.

Здесь период дискретизации Т 0 входного сигнала также опреде­ ляет длительность сигнала копии на выходе рециркулятора, выпол­ ненного на линии задержки. Последовательность дискретных вы­ борок с выхода дискретизатора Д, следующих с периодом Т„, по­ ступает через ключ К1 на вход рециркулятора, время задержки каждой выборки в ЛЗ составляет Т 0 (1 — MN). До тех пор, пока ключ К2 подключает выход буферного накопителя БН ковходу смесителя, последовательность выборок предыдущего такта цирку­ лирует в БН, периодически (раз в Т 0 сек) появляясь на его выходе. Время задержки выборок в буферном накопителе равно периоду дискретизации входного сигнала Т 0. При выбранном коэффициенте сжатия N время образования копии сигнала длительностью Т й определяет период замыкания ключа К2. Как только в компрессоре образуется копия сигнала, ключ К2 перебрасывается и подключает на время Т 0 вход буферного накопителя к рециркулятору. При этом сжатый сигнал поступает в буферный накопитель и одновременно на фильтр Ф. По истечении времени Т 0 ключ К2 замыкает кольцо буферного накопителя, и сжатый сигнал циркулирует в БН N'—1 раз. При каждом появлении копии на выходе накопителя измеряется одна спектральная составляющая входного сигнала х (t).

Полное время спектрального анализа сигнала прибором с бу­ ферным накопителем составляет N T 0 сек, т. е. равно времени на­ блюдения сигнала. Временной интервал до ввода следующий копии сигнала в БН составляет Т 0 (N —1) сек; при этом за счет переброса

120

ключа К2 кольцо буферного накопителя размыкается, и предыду­ щая копия выбрасывается из памяти прибора.

Рассмотренные варианты построения схем анализаторов с вре­ менной компрессией исследуемых сигналов эквивалентны в том от­ ношении, что они позволяют учесть все изменения сигнала за время последовательного анализа и имеют одинаковые полосы пропуска­ ния фильтра, равные ширине спектра входного сигнала.

На рис. 2-8 показаны некоторые возможные модификации ана­ лизаторов с временным сжатием, в которых перестраиваемый гете­ родин заменен на фиксированный ФГ, включенный в кольцо бу­ ферного накопителя (б) и в кольцо временного компрессора (а). При этом способе перестройки рециркулятора по частоте удается менять частоту сигнала на

погрешности анализа. Искажения сигнала и соответственно погреш­ ности при анализе возникают также вследствие уменьшения уровня и искажения формы выборок в результате многократных циркуля­ ций. Для уменьшения этих погрешностей нужно повышать вели­ чину обратной связи. При проектировании схем анализаторов с фиксированным гетеродином достигается определенное упрощение схемы прибора, однако появляются достаточно жесткие требования к стабильности параметров смесителя, особенно при анализе тон­ кой структуры спектра в широком диапазоне частот.

Кроме рассмотренных в настоящем параграфе методов измере­ ния спектральных характеристик сигналов, основанных на филь­ трации их исходных или преобразованных реализаций, существует также ряд возможностей, связанных с использованием временного разделения с помощью так называемых интеграторов развертки, в которых действует положительная запаздывающая обратная связь [65, 64], известны способы построения спектроанализирую­ щей аппаратуры, использующей задерживающие цепи с дисперсией фазовой скорости [6 6 ]. Высокой разрешающей способностью, по­ зволяющей исследовать тонкую структуру спектров сигналов, об­ ладают фотоэлектрические спектроанализаторы [56].

Методы, основанные на преобразовании Фурье. Значительные технические трудности реализации на инфразвуковых частотах резонансных систем с достаточно высокой добротностью (т. е. с

121

высокой разрешающей способностью), а также появление ряда допол­ нительных погрешностей анализа при многократном преобразова­ нии измерительной информации (гетеродинирование, транспониро­ вание спектров) привели к поискам путей создания спектроанали­ зирующей аппаратуры, не использующей узкополосных резонато­ ров. Одним из распространенных в настоящее время бесфильтровых методов спектрального анализа являются методы, основанные на применении трансформант Фурье.

Вещественная функция времени х (t) связана со своим комплекс­

Функция S A (f), определяемая выражением (2-15), несет инфор­ мацию о частотном распределении амплитуд и фаз спектральных составляющих процесса х {t).

Спектр дисперсии (спектральная плотность) х (t) может быть найден путем усреднения на интервале времени Т квадрата модуля

лГ

Смысл требования усреднения квадрата амплитудного спектра

[STA (f)f в (2-17) по м н о ж е с т в у р е а л и з а ц и й может быть пояснен следующим образом. Пусть энергетический спектр SD (/) случайного процесса х Ц) находится путем усреднения на

интервале наблюдения Т квадрата модуля функции 5л (/). Тогда

для принятия полученного результата в качестве оценки So (/) необходимо убедиться в его состоятельности и несмещенности, т. е. убедиться в том, что дисперсия оценки энергетического спектра при бесконечном увеличении интервала усреднения Т стремится к нулю, а математическое ожидание оценки при тех же условиях тождественно искомому параметру. Нетрудно увидеть, что условие несмещенности выбранной оценки выполняется. Действительно [41,

122

Однако вычисление дисперсии оценки, выполненное для нор­ мального процесса В. С. Пугачевым [35] (при условии ш + 0), приводит к следующему результату:

lim — D [STA(f)V = s U f ) .

Т — оо 31

Иными словами, безграничное увеличение интервала наблюде­ ния сигнала х {() не приводит к увеличению точности определения его энергетического спектра.

Одним из возможных методов, позволяющих получить состоя­

так что пТ0 = Тс) далее определяется п оценок Son по каждому из интервалов Т 0:

Среднее арифметическое этих оценок при достаточно больших Т0 и п может быть принято за оценку So (f):

S o ( f ) = ± y ] s ' J n{f).

k = l

Математическое ожидание оценки сходится к S D (/) с нулевой дис­ персией при п, Т -> со.

Автокорреляционная функция процесса и его спектральная плотность, как следует из теоремы Хинчина [29], также опреде­ ляются парным преобразованием Фурье, что позволяет легко пере­ ходить от описания параметров х (t) во временной области к его характеристикам в частотной области:

—00

Из (2-18) следует, что средняя мощность случайного процесса (дисперсия) равна интегралу от спектральной плотности, взятому в бесконечных пределах:

123

При обработке действительных стационарных процессов выражения (2-18), (2-19) можно упростить, учитывая четность автокорреляци­ онной функции и используя соотношения Эйлера:

выбирается обычно достаточно большим, в пределах от 20—30 до 100—120. Синхронизируемый блоком БС коммутатор К поочередно подключает ячейки БНн ко входу блока умножения БУ2, на вто­ рой вход которого с выхода генератора косинусоидальных функций ГКФ поступает с тем же временным шагом импульсная последова­ тельность, модулированная по амплитуде косинусоидальной функ­ цией частоты о),-, на которой определяется оценка спектральной

БУ2, поступают в блок накопления ординат кривой спектральной плотности БН3. Блок БН3 выполняется на основе реверсивных счетчиков или на базе усилителей постоянного тока, охваченных глубокой емкостной обратной связью. Получаемый в последнем случае линейный (в пределах + Unnr) интегратор достаточно часто применяется как в чисто аналоговых, так и в аналого-дискретных коррелометрах — спектроанализаторах.

124

Основой машинной обработки случайных процессов с целью получения их спектральных плотностей в настоящее время все больше становится метод, основанный на быстром преобразовании Фурье — БПФ.

Метод БПФ основан на использовании алгоритма вычисления конечного преобразования ряда из N (в общем случае комплексных) членов приблизительно за N log2УѴ вычислительных операций. Этот метод (алгоритм), был описан Кули и Тьюки в 1965 гг- [391. До этого считалось общепринятым, что для вычисления конечного преобразования Фурье ряда, состоящего из N членов, требуется примерно N 2 операций. Считалось также, что время вычисления можно уменьшить, используя только свойство симметрии тригоно­ метрических функций.

Алгоритм БПФ Кули и Тыоки является общим в том смысле, что он применим и в случае, когда N — составное число и при этом не обязательно является степенью числа 2. Если используются ка­ кие-либо делители г и 5 числа N, то исходные данные можно распо­ ложить в виде таблицы из г столбцов и S строк и определить дву­

положения метода БПФ и специфика его использования подробно освещены в [44, 50].

Для непрерывных апериодических функций времени широко

•—СО

В случае дискретного представления функций пара Фурье-пре- образований может быть записана для массива из N выборок как,

125

Частота члена с номером N12 соответствует частоте свертки Най­ квиста. Для упрощения вычислений представим систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами в матричной форме,

Рассмотрим простой пример вычислений, связанных с (2-28).

Уравнение (2-30) получено из (2-29) путем очевидной замены

Wnk = Wnk mod N (iik mod N —остаток от деления величины nk на N). Второй шаг вычислительной процедуры состоит в представлении

Как следует из рассмотрения уравнения (2-31), исходная квад­ ратная матрица [Wnk] порядка N X N представлена в виде произ­

В процессе факторизации (разложения на множители) в каждой матрице-сомножителе остается лишь два значащих элемента в лю­ бой строке и любом столбце.

126

Полученный массив состоит из четырех членов (в общем случае комплексных), а каждый член вычисляется в результате всего двух

Для ответа на вопрос, как получить общую форму факторизированной матрицы, представим уравнение (2-32) с помощью графа, изображенного на рис. 2-10.

Исходная последовательность выборочных величин х0 (k) пред­ ставлена вертикальным столбцом вершин в левой части графа. Ар­ гумент «/г» запишем в двоичном коде. Изобразим справа от исход­ ного (нулевого) массива вспомогательный (первый) массив х г. Ар­ гумент (или адрес) выборок во вспомогательном массиве также в

127

Замечаем, что для вычисления величины x L (0) необходимо «пе­ ренести» величину х 0 (0) из крайнего левого (нулевого) массива в первый и сложить ее с величиной „ѵ0 (2), «перенесенной» в первый

ной линией. Внутри кружка, изображающего вершину х г (0) в пер­ вом массиве, запишем степень, в которую надо возвести число W для получения весового коэффициента.

При этих условиях операция нахождения х г (0) графически изо­ бражается так, как показано на рис. 2-11.

Конфигурация дерева графа для нахождения всех четырех ком­ понент вектора хл показана на рис. 2-12.

вектора Xj

Рассуждая аналогичным образом и используя уравнение (2-37), изобразим дерево графа для нахождения компонент вектора S (п), используя вспомогательный массив х г.

Как видно из рис. 2-13,

Нетрудно увидеть, что рис. 2-10 объединяет рис. 2-12 и рис. 2-13. Отсюда следует, что вычисление коэффициентов БПФ есть процесс последовательного перемножения составляющих исходной факто­

Для построения дерева графа для произвольного N (N = 2Ѵ) необходимо выполнить следующее: изобразить нулевой исходный массив х0 (/г), состоящий из N выборок, в виде столбца и пронуме­

128

ровать сверху вниз его выборки в двоичном коде (нумерация выбо­ рок в массиве — 0, 1, 2, . . . , N —1); изобразить вправо от исходного

каждой вершине можно найти следующим образом. Пусть двоич­ ное представление аргумента k (адреса вершины) имеет у разрядов:

кт-i ІЧ * о

Если в разряде у— I адреса вершины, находящейся в 1-м массиве, записана 1, то сплошная линия, подходящая к этой вершине, вы­

вправо, записать в освободившихся ячейках нули, переписать по­ лученное двоичное число с инверсией порядка записи двоичных еди­ ниц, перевести результат в десятичное исчисление и записать в кружке, изображающем эту вершину.

Быстрое преобразование Фурье, по сути дела, представляет остроумный метод выполнения дискретного преобразования Фурье. Алгоритм БПФ Кули—Тыоки можно рассматривать как метод факторизации (разложения на множители) исходной матрицы по­ рядка (N X N ) на у матриц того же порядка. Каждая матрица об­ ладает вполне определенными свойствами минимизации количества операций умножения и сложения. Уменьшение объема вычисли­ тельных операций достигается за счет введения нулевых членов; количество значащих членов е каждой строке любой матрицы равно двум, причем один из них всегда равен 1.

Поскольку исходная матрица оказывается представленной в виде у = log2уѴ промежуточных матриц, а умножение промежуточной

129