книги из ГПНТБ / Донских, И. Е. Створный метод измерения смещений сооружений

Вычисления Li и inL[ по формулам (11.19) и (11.24) можно упростить, если для всех пунктов створа заранее вычислить

тогда в любом цикле наблюдений можно будет пользоваться формулами

Li — ßi^o>

После замены в (11.24) inLi на М получим формулу для рас­

чета необходимой точности измерения угла ßi, обеспечивающей получение Li с заданной средней квадратической ошибкой М

Умножив и разделив правую часть формулы (11.24) на дли­ ну створа sAB, получим

tri^ выражена в сек, SAB(KM)— в км, а тЬі — в мм.

Заметим, что величина входящая в формулу (11.28), со­ гласно (11.26) является отвлеченной, а коэффициент 4,848 имеет размерность 1/сек, поэтому Q, тоже имеет разность 1/сек. Хотя величина имеет размерность, в данной работе она именуется коэффициентом.

Особое внимание следует обратить на формулу (11.27). Если в ней условно принять т s AJ3(KM)= l, то mL i=Qi, т. е. коэффи­

циент Qi будет являться условной средней квадратической ошибкой определения нестворностей. Из сравнения величин Qi, полученных для разных способов, программ и вариантов опре­

деления нестворностей, можно судить о точности определения нестворностей отдельных пунктов. Поэтому в данной работе все расчетные формулы приведены к виду (11.27), а в необходимых случаях дается ссылка на изложенный выше прием перехода от

Поставив условие, чтобы нестворность любого контрольного пункта і относительно створа AB определялась с заданной ошибкой 44, для каждого контрольного пункта получим свое значение т’л .

Допустим, что SAI = 200 м, SAB = 500 м, тогда по формуле

Для исследования точности определения нестворностей мож­ но принять модель створа с любым количеством п контрольных пунктов. Но при п слишком большом объем вычислений сущест-

Рис. 10

венно возрастает, а при п малом будут получены данные, при­ ближенно характеризующие точность определения нестворно­ стей по ряду программ наблюдений.

При установлении необходимого количества п контрольных пунктов было учтено, что в программах наблюдений полуство-

42

окажется, что ошибка определения нестворностей этих пунктов не всегда является максимальной, поэтому точность определе­ ния нестворностей по некоторым программам будет завышен­ ной. С целью более детального изучения точности определения нестворностей в каждой четверти створа предусмотрено наблю­ дение еще двух пунктов (1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, 7 и 5), делящих створы Af, fD и т. д. на две равные части. В результате такой расстановки контрольных пунктов с достаточной подробностью характеризуется точность определения нестворностей во всех программах, а длины получающихся при этом створов состав­ ляют

Если сгущение контрольных пунктов на створе продолжить, то s — расстояние между двумя соседними пунктами составит

Если нестворности всех контрольных пунктов исследуемого створа (см. рис. 10) определять с одной постановки теодолита на пункте А, то коэффициенты Qt-, вычисленные по формуле (11.28), получат значения, приведенные в табл. 5 (вариант 9.1).

43

В варианте 9.1 для определения нестворностей п= 15 кон­ трольных пунктов измеряется Л'=15 малых углов.

Особенность полученных коэффициентов Q,-, характеризую­ щих среднюю квадратическую ошибку тЬ£ определения не­

створностей контрольных пунктов исследуемого створа, состоит в том, что величина их возрастает прямо пропорционально уве­ личению коэффициента fei, вычисляемого по формуле (11.26). Так, например, Qi для пунктов 8, г и 7 соответственно в 4,54:0,30=15, 4,24:0,61=7 и 3,94:0,91=4,33 раза больше по сравнению с Qi пунктов 1, f и 2.

Возможен и вариант 9.2, в котором нестворности контроль­

те коэффициенты Q, для пунктов 1 и 5, f и г, 2 и 7 и т. д. соот­ ветственно будут 0,30; 0,61; 0,91; ... (см. табл. 5). Сопоставле­ ние вариантов 9.1 и 9.2 дано в § 12.

Общий недостаток вариантов 9.1 и 9.2 состоит в том, что нестворность L,-, вычисляемая по формуле (11.19), определяется только один раз, т. е. бесконтрольно.

Учитывая эти недостатки, программа измерений полярных координат может иметь ограниченное применение и только при небольшом значении fe) и малой длине створа AB.

§ 10. Оценка достоинств способов, программ, вариантов и циклов

определения нестворностей

Сравнением величин ошибок піі.., вычисленных по формуле типа (11.27), для каждого способа, программы, варианта и цик­ ла створных наблюдений можно получить показатели, характе­ ризующие точность определения нестворностей только отдель­ ных контрольных пунктов, по которым ничего нельзя сказать о достоинствах данного способа, программы, варианта или цикла створных наблюдений в целом, поэтому исключается возмож­ ность сопоставления их достоинств. Такие же затруднения встречались в оценке триангуляционных, полигонометрических и нивелирных работ, но были преодолены вычислением средней квадратической ошибки измерения углов в триангуляции и поли-

44

тонометрии по материалам уравнивания, средней квадратиче­ ской ошибки определения превышений на 1 км нивелирного хода. Имея эти показатели, можно сравнивать результаты по­ строения отдельных видов сетей, относить их к определенному классу и т. д. Следовательно, возникает необходимость в полу­ чении формул для оценки точности определения нестворностей в целом по данному варианту, способу, программе или циклу наблюдений, по которым можно выявить достоинства способов, программ, вариантов и циклов створных наблюдений.

Известно, что mL. — средняя квадратическая ошибка любого уравненного элемента вычисляется по формуле

mLi = |і V O i i ,

где р, — средняя квадратическая ошибка единицы веса, а Qu — весовой коэффициент, получаемый из решений нормальных уравнений.

Допустим, что

Р' = Q-iC/Пр sAB (км),

тогда

. m Li - m l SAB (км) V Q U Q 24C *

На основании последнего выражения и формулы типа (И.27) будем иметь

Qi = V Quote ■

Численное значение Q4C получено в § 11. Если условно при­ нять

оценку точности определения нестворностей в целом по данно­ му варианту, способу, программе или циклу створных измере­ ний, по мнению автора, можно выполнить по формуле

ратической ошибки, то mL — средняя квадратическая ошибка

определения нестворностей в целом по данному способу, про­ грамме, варианту или циклу створных измерений.

На основании формулы типа (11.27) формула (11.34) примет вид

маются коэффициенты, приведенные в табл. 5 для контрольных,

тической ошибкой определения нестворностей в целом по дан­ ному варианту, программе или циклу наблюдения нестворно­ стей.

Коэффициент QL, вычисляемый по формуле (11.36), характе­ ризует лишь уровень точности определения нестворностей, до­ стигнутый в данном варианте или цикле створных наблюдений, но по его значению нельзя сделать выводов о достоинствах ва­

где mL— средняя квадратическая ошибка определения нествор­ ностей в целом по данной программе, варианту и способу створ­ ных наблюдений, вычисляемая по формуле (11.35).

После деления обеих частей формулы (11.37) на N — коли-

46

чество малых углов, измеренных в данной программе или в ва­ рианте, получим формулу

Nml N ’

вкоторой под Рр понимается коэффициент — условный вес опре­

деления нестворностей, приходящийся на один измеренный ма­ лый угол.

Очевидно, что чем меньше т\ при данном N и чем меньше N при данном т \л тем больше ,рр. Таким образом, сравнением ,рр, полученных для разных вариантов, программ, способов и

циклов наблюдений, можно выявить оптимальный из них, обес­ печивающий при минимальном количестве N получение наи­ меньшей mL.

Если принять

затрат по данному варианту или способу геодезических по­ строений, то получим pw — условный вес, приходящийся на еди­ ницу затрат. Автор полагает, что по такой формуле можно было бы сравнивать достоинства способов создания плановых и вы­ сотных сетей, геодезических строительных сеток и т. п.

В оригинальности формулы (11.41) читатель сможет легко убедиться, ознакомившись с результатами исследований, изло­ женных в данной работе. Используя эту формулу, автору уда­ лось весьма просто решить ряд сложных вопросов по оптимиза­ ции створных наблюдений.

47

Рассмотрим вопрос сопоставления достоинств программ, ва­ риантов, циклов и способов створных наблюдений.

В § 9 было сказано, что в данной работе все формулы для расчета п и і — средней квадратической ошибки определения не-

створности любого контрольного пункта і будут приведены к виду формулы (11.27). Следовательно, по формуле (11.35) мож­ но вычислить mL— среднюю квадратическую ошибку определе­

При написании формулы (11.42) величинам QL, tri^ и SAB(,;:s1)

присвоены индексы 1 и 2, соответствующие вариантам 1 и 2. Длина исследуемого створа AB (см. § 9) равна sAB, а все расчетные формулы приведены к типу формулы (11.27), в кото­ рой для всех вариантов и программ фигурирует только /Пр, по­

этому вместо (11.42) окончательно будем иметь

QL , 2

Область применения формул (11.42) и (11.43) весьма ограни­ чена. Дело в том, что в формуле (11.42) отсутствует N — коли­ чество малых углов, измеренных в сравниваемых вариантах, от которого в значительной степени зависит точность створных наблюдений, а в (11.43) отсутствует N, tn^ и S AB , также оказы­

вающие влияние на mt ,i и гпь, 2 и, следовательно, на t. Поэто­ му формула (П.42) может применяться только в случаях, ког­ да в вариантах 1 и 2 измерено по N малых углов, а формула (11.43)— при равных N, и S A B в сравниваемых вариантах.

В данной работе длина створа принята равной sAB, все ма­ лые углы измеряются с ошибкой /?гр или приводятся к значению

/Пр, поэтому формулой (11.43) будем пользоваться только в слу­

чаях, когда в сравниваемых вариантах измерено по N малых углов.

С целью получения универсальной формулы, предназначен­ ной для получения некоторого коэффициента Т, по которому можно было бы судить о достоинствах сравниваемых вариантов, способов и программ створных наблюдений, напишем

48

считая, что і — номера сравниваемых вариантов, tnL, i — сред­ ние квадратические ошибки определения нестворностей в целом

антах, приходящиеся на один малый угол, измеренный на ство­ ре, получаемые по формуле (11.41).

Qi.....Qn зависят от строгости получения формул для вычисле­ ния нестворностей (§ 11, табл. 6) и от геометрических связей исходных, добавочных исходных и контрольных пунктов (§§ 11, 12, 16, 17 и др.).

Таким образом, коэффициент Т зависит от всех факторов,

ниваемых вариантов, а универсальность формулы (11.45) и, следовательно, коэффициента Т, состоит, в том, что она примени­ ма для сравнения любых вариантов, имеющих любые значения

SA B , mp и т . д .

Если t — коэффициент, численно характеризующий результат сравнения уровней достигнутой точности определения нествор­ ностей контрольных пунктов или вариантов в целом без учета факторов, влияющих на точность, то Г — тоже коэффициент, но численно выражающий результат сопоставления достоинств программ, вариантов или способов определения нестворностей с учетом всех факторов, в том числе и УѴ, влияющих на точность определения нестворностей. Коэффициенты f и Г нельзя отож­ дествлять с показателями точности.

В практике производства работ может оказаться, что в срав­ ниваемых вариантах /пр,=?^Щрг, в силу чего /?р,і и др.г, вычисляе­ мые по формуле (11.41), окажутся несопоставимыми. В этих случаях следует вычислить величину

ГУ!,2■

U —

а затем по формуле

тп:p. .2 = mß.i V й-

49