книги из ГПНТБ / Донских, И. Е. Створный метод измерения смещений сооружений

Во всех программах определения нестворностей, в которых наряду с наблюдением контрольных пунктов наблюдаются и до­ бавочные исходные пункты, mLj — средняя квадратическая

ошибка определения нестворности любого контрольного пункта относительно створа AB образуется за счет:

— влияния ошибок определения нестворностей добавочных исходных пунктов относительно створа AB (величина /п„);

— влияния ошибки определения нестворности контрольногопункта / относительно непосредственно наблюдаемого створа

Если же учесть, что ошибки измерения линий в створных наблюдениях оказывают ничтожно малое влияние (§9), а опти­ мальное (см. далее) расположение добавочных исходных пунк­ тов известно, то основными ошибками, оказывающими решаю­ щее влияние на образование та и ть, будут /пр и ту — средние

квадратические ошибки измерения углов при определении не­ створностей соответственно контрольных и добавочных исход­ ных пунктов.

При исследовании всех программ и вариантов определения

станет очевидным, что абсолютная величина mLj, определяемая

по формуле (III.31), зависит от величины коэффициента q2r входящего в формулу (Ш.ЗО).

Конечно, значений q2 может быть бесчисленное множество, но оптимальным будет только то, которое обеспечит получение минимальной ошибки mLj. А это равносильно получению макси­

мального значения рр — условного веса определения нествор­ ностей, приходящегося на один малый угол, измерений на створе при определении нестворностей контрольных и добавочных ис­ ходных пунктов, вычисляемого по формуле (11.41).

В программе наблюдений полустворов второй член подкорен­ ного выражения формулы (III.15) является влиянием ошибок определения нестворности добавочного исходного пункта С от­ носительно створа AB. Очевидно, с увеличением q2 влияние этой ошибки будет уменьшаться. Также будут уменьшаться Qz,-

и mLj, вычисляемые по формулам (III.15) и (III.11). Следова­

тельно, задача сводится к тому, чтобы при различных значе­ ниях q2 по формуле (III.15) вычислить величины QL,- —коэффи­

циенты, характеризующие средние квадратические ошибки;

90

•определения Lj. Как отмечалось выше, такие вычисления произ­ ведены, а полученные результаты внесены в табл. 14. Точно такие же данные получаются в случае решения системы нор­ мальных уравнений, что подтверждает правильность формул '§§ 15 и 16. Кроме QL7. по формулам (11.36), (11.41) и (11.45)

вычислены и в табл. 14 внесены коэффициенты QL, рр и Г.

•Следовательно, вариант 16.4, имеющий максимальное рр =2,28,

■является оптимальным. Но так как он получен при qz—6, то ■q2=6 будет оптимальным соотношением величин ошибок изме­ рения малых углов, определяемых по формуле (III.30). Как ■следствие, в этом варианте соотношение ошибок определения нестворностей добавочного исходного и контрольных пунктов тоже будет оптимальным.

Вариант 16.7, полученный при измерении малых углов по ■программе II (§ 7) с ошибкой 1,38 т р (см. табл. 3) и при вы­

числении весов определения нестворностей в прямом и обрат­ ном ходах по формулам (11.59) и (11.60), имеет максимальное значение QL = 1,34 и минимальную величину /?р =0,87.

Варианты 16.1 и 16.7 получены при одних и тех же значе­ ниях q2 и N, но при вычислении весов, как и в вариантах 11.5

грубее, чем по варианту-16.1, что объясняется измерением в ва­

9!

рианте 16.7 углов по программе II (§ 9) и вычислением весов по формулам (11.59) и (11.60). Заметим, ' что при сравнении достоинств вариантов 11.5 и 11.3 был получен коэффициент не 1Л2, а 1,46.

По коэффициентам Т, приведенным в последнем столбце табл. 14, можно заключить: достоинства вариантов 16.7 (при­

обеспечивают получение нестворностей в 1,62 и 1,15 раза грубее по сравнению с определением их по варианту 16.4. Следует за­ метить, что применение значения q2 = 2 по сравнению с <7 2 = 6 понижает достоинства в 1,15 раза, т. е. на 15%.

Нельзя не отметить, что по данным вариантов 16.1—16.6 выявлена еще одна и очень важная особенность работы фор­ мулы (11.41), а именно, весьма простой прием отыскания коэф­ фициента q, выражающего оптимальное соотношение величин средних квадратических ошибок измерения малых углов при определении нестворностей контрольных и добавочных исход­ ных пунктов.

Точность измерения малых углов. Если углы ß при опре­ делении нестворностей контрольных пунктов относительно полустворов АС и СВ измерять с ошибкой т р, то углы у при опре­

делении нестворности добавочного исходного пункта С относи­ тельно створа AB, на основании формулы (ШЛО), при оптимальном значении qz = 6 (см. табл. 14) следует измерять с ошибкой

После замены в (11.35) mL на заданную среднюю квадра­ тическую ошибку определения нестворностей М получим фор­ мулу для вычисления т р

где М дано в мм.

Значение QL для оптимального варианта 16.4 исследуемого

р0 , 7 4 - 1

Подставляя значение /пр =1",35 в формулу (III.32), по­ лучим

92

В т о р а я п р о г р а м м а н а б л ю д е н и й п о л у с т в о р о в. В6 второй программе наблюдений полустворов нестворность добавочного исходного пункта С относительно створа AB будем

зоваться формулами, полученными в § 11 (вариант 11.5). Отличительная особенность второй программы наблюдений

полустворов от первой состоит в том, что нестворности конт­ рольных пунктов относительно полустворов АС и СВ опреде­ ляются по программе наблюдений последовательных створов (вариант 12.2). Следовательно, для вычисления lj— нествор­ ности любого контрольного пункта / относительно полуствора

к Lj — нестворности любого контрольного пункта / относительно створа AB — и к mL. — ошибке определения Lj — совершать по

формулам (III.4) и (III.5). Здесь под / = 1, 2, 3,...7 понимаются контрольные пункты 1, f, 2, D, 3, k и 4, расположенные в полустворе АС (см. рис. 16 и 10).

С целью получения расчетных формул на основании (III.5), (11.82), (11.106) и (ШЛО) будем иметь

Первый член правой части формулы (Ш.36) выражает ошибку определения нестворности любого контрольного пункта / относительно полуствора АС, а второй член — влияние ошибки определения нестворности добавочного исходного пункта С от­ носительно створа AB. Учитывая, что нестворность пункта С определяется q повышенным весом (с повышенной точностью измеряются углы), согласно (ШЛО) во второй член формулы

(Ш.36) введен коэффициент — . Кроме этого, при написании

(III.39)

понимая под А пункт постановки теодолита.

93

Коэффициенты Qj и Q^c определяются соответственно по формулам (11.107) и (11.83).

В исследуемом створе пункт С расположен строго в сере­

(111.39), соответственно будут равны 0,125, 0,25, 0,375. Всех контрольных пунктов в полустворах АС и СВ будет по 7, по­ этому коэффициенты Qij можно получить в табл. 8. Их значения

значка после запятой). Коэффициенты Qj, полученные по фор-

ловного веса определения нестворностей, приходящегося на один малый угол, измеренный с ошибкой /лр, получается в варианте

16.10 при <72=14. С толь большое значение д2=14 можно объяс­ нить сравнительно грубым определением по программе изме­ рений биполярных координат нестворности добавочного исход­ ного пункта С относительно створа AB и сравнительно высокой

'94

точностью определения по программе наблюдений последова­ тельных створов нестворностей контрольных пунктов относи­ тельно полустворов АС и СВ. Если принять q2= 2, то достоин­ ства варианта 16.8 понизятся в Г=1,49 раза по сравнению с до­ стоинствами варианта 16.10, полученного при оптимальном значении q2=l4. Таким образом, только за счет применения оптимального соотношения величин ошибок измерения малых углов при определении нестворностей добавочных исходных и контрольных пунктов точность определения нестворностей мож­ но повысить в 1,49 раза.

Сравнением величин QL для вариантов 16.8 и 16.10, полу­ ченных соответственно при N=32 и N = 56 по формуле (11.43) „ будем иметь t = 0,78:0,39 = 2, т. е. достигнутый уровень точ­ ности определения нестворностей в целом по варианту 16.10, полученному при q2= 14, в два раза выше уровня точности опре­ деления нестворностей по варианту 16.8, выполненному при q2=2. Таким же сравнением QL для вариантов 16.1 и 16.4 полу­ чим г'= 0,95 : 0,74= 1,28. Это различие в значениях t для первой и второй программ наблюдений полустворов можно объяснить не только количеством малых углов, измеренных в вариантах 16.4 (N=40) и 16.8 (N = 32), но и программами, примененными при определении нестворностей контрольных пунктов. В этом

контрольных пунктов относительно полустворов А С и СВ соот­ ветственно измерением биполярных координат (вариант 11.5) и проложением прямого и обратного ходов по программе наблю­ дений последовательных створов (вариант 12.2). Сравнением QL

створам АС и СВ измерением биполярных координат (ва­ риант 11.5) в 1,22 раза грубее по сравнению с получением их по' программе наблюдений последовательных створов (вариант 12.2).

Следует отметить, что уменьшение значений QL в опти­ мальных вариантах 16.4 и 16.10 по сравнению с их значениями в вариантах 16.1 и 16.8 при q2= 2 происходит только за счет повышения точности определения нестворности добавочного исходного пункта С; ошибки же определения нестворностей

увеличением числа измеряемых углов при определении нествор­ ности добавочного исходного пункта С относительно створа AB.

Контроль створных наблюдений при определении нествор­ ностей добавочного исходного пункта С измерением биполярных

95

«св (км) соответственно для полустворов АС и СВ.

Расчет точности измерения малых углов. Для оптимального варианта 16.10, имеющего q2= 14, формула (III. 10) примет вид

ту = — = - trip =-- 0,27mp,

т. е. ошибка измерения углов у при определении нестворности добавочного исходного пункта С относительно створа AB долж­ на составлять 0,27 т р — ошибки измерения углов при проло-

жении прямого и обратного ходов по программе наблюдений последовательных створов по полустворам АС и СВ.

Как отмечалось выше, различие рассматриваемых двух про­ грамм состоит только в том, что нестворности контрольных пунктов относительно полустворов в первой из них определяются измерением биполярных координат, а во второй — проложением прямого и обратного ходов по программе наблюдений последовательных створов. Следовательно, различие в точности определения нестворностей контрольных пунктов относительно створа AB можно объяснить только достоинствами и недостат­ ками программ, примененных для определения нестворностей

формуле (11.45) вычислить коэффициент Т, то получим

Т= У 5,743 : 2,28 = 1,58,

т.е. достоинства варианта 16.10 второй программы наблюдений полустворов в 1,58 раза выше достоинств варианта 16.4 первой программы наблюдений полустворов. Столь значительная вели­

. 96

чина Т объясняется применением программы наблюдений последовательных створов для определения нестворностей конт­ рольных пунктов в варианте 16.10. Заметим, что при сравнении достоинств вариантов 11.5 и 12.2 (см. табл. 6) этот коэффи­ циент Т оказался равным 3,19.

Для полноты сравнения рассматриваемых программ отметим, что к достоинствам первой программы наблюдений полустворов следует отнести возможность определения нестворностей всех пунктов створа только с трех постановок теодолита (Д, В и С), а недостаток второй программы состоит в необходимости поста­ новки теодолита на всех пунктах створа.

§ 17. Программа наблюдений четвертей створа

Особенности программы наблюдений четвертей створа, пред­ ложенной М. С. Муравьевым [57], состоят в следующем (рис. 17, а):

— пользуясь исходными пунктами А и 5, .определяют нестворность добавочного исходного • пункта С относительно створа AB;

—считая пункты А, С и В исходными, определяют нествор­ ностидобавочных исходных пунктов / и J относительно ■полустворов АС и СВ\

—исходными считают пункты А, /, С, I и В, образующие четверти створа Aj, jC, CJ и JB, определяют нестворности конт­ рольных-пунктов относительно этих четвертей створа.

Переход от нестворностей, полученных относительно полустворов АС и СВ и четвертей створа Aj, jC, CJ и JB, к нествор-

ностям-относительно створа AB совершается путем вычислений. Таким, образом, изложенная программа наблюдений, четвер­ тей створа является трехступенчатой: сначала определяют нестворность добавочного исходного пункта С относительно створа AB, затем, считая исходными пункты А, С и В, определяют нестворности добавочных исходных пунктов / и J относительно полустворов АС и СВ и в последнюю очередь — нестворности остальныхконтрольных пунктов относительно четвертей створа. В данной программе определения нестворностей только пункт С наблюдается визированием по всему створу AB, а не­ створности добавочных исходных / и / и контрольных пунктов — по более коротким направлениям. В этом достоинство про­

граммы наблюдений четвертей створа.

Исследования схем определения нестворностей добавочных исходных пунктов. Если при определении нестворностей по про­ грамме наблюдений полустворов (§ 16) возможна единствен­ ная схема определения нестворности добавочного исходного пункта С (расположенного в середине створа AB) (см. рис. 16) г то в программе наблюдений четвертей створа для определения нестворностей добавочных исходных пунктов /, С и / возможно множество схем, различающихся:

—удалением добавочных исходных пунктов / и / от исход­ ных пунктов А и В при положении добавочного исходного пункта С в-середине створа AB-,

—наблюдаемыми направлениями, связывающими добавоч­

ные исходные пункты /, С и / между собой и с исходными пунк­ тами А и В\

— комбинациями расположения измеряемых малых углов. На рис. 17, а—17, к представлены десять схем определения нестворностей добавочных исходных пунктов /, С и / с измере­

нием от N = 6 до N = 20 малых углов.

При рассмотрении этих рисунков невольно возникает вопрос,, какая из этих схем обеспечит наивысшую точность определе­ ния нестворностей добавочных исходных и контрольных пунк­ тов в целом по оптимальному варианту; чтобы ответить на него, все исследования подразделим на три этапа.

Задача первого этапа исследований состоит в выявлении наиЛучших схем (см. рис. 17) определения нестворностей доба­ вочных исходных пунктов, второго — в отыскании оптимального размещения добавочных исходных пунктов с учетом влияния

98

ошибок измерения малых углов при наблюдении добавочных исходных и контрольных пунктов. Нумерация вариантов, приня­

Примечание: в столбцах 3 и 4 табл. 16 даны номера вариантов, полученных при •определении нестворностей контрольных пунктов соответственно по программе измерений биполярных координат и наблюдений последовательных створов.

В первом этапе исследований для каждой схемы (см. рис. 17) составлено и решено по пять систем нормальных уравнений, соответствующих расположению добавочных исходных пунктов / и / в контрольных пунктах / и г, 2 и 7, D и Е, З к б , k к р при расположении пункта С в середине створа AB.

При составлении систем нормальных уравнений было при­ нято, что малые углы у и б в схемах рис. 17, в—17, к: измерены с ошибкой Шр, Входящей в формулу типа (11.27), и только ма­

лые углы б в схемах рис. 17, а и 17,6 измерены с ошибкой ту , определяемой из соотношения — т у\А 2, т. е. по формуле (III.9) при <72=2.

-.Результаты решения систем нормальных уравнений примени­

веса, приходящегося на один 'Малый угол, измеренный .на ство­ ре,— в табл. 17. В прилож. 7 и табл. 17 даны номера вариан­ тов, рисунков, добавочных исходных пунктов и количество измеренных малых углов N. Учитывая, что добавочные исход­ ные пункты j к J располагаются симметрично относительно ис­ ходных А и В и добавочного исходного С пунктов, всегда будем

4* 99