книги из ГПНТБ / Васильев, В. В. Гибридные модели задач оптимизации

3.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ

К нелинейным транспортным задачам мы приходим, когда целевая функция (і становится нелинейной. Общая математическая постановка этих задач имеет вид:

Наиболее частым является случай сепарабельности функции ц:

Линейность ограничений задачи (3.29) оставляет желательным использование для целей моделирования электронных цепей на основе аналогии Денниса. При этом структура электрических це­ пей, моделирующих (3.29), (3.31), практически не будет отличаться от соответствующих линейных моделей, за исключением источников напряжения или других элементов, моделирующих элементы целе­ вой функции (3.31).

Получим выражения для вольт-амперных характеристик источ­ ников напряжения, моделирующих элементы целевой функции в предположении ее выпуклости.

В соответствии с аналогией Денниса и минимальными свойст­ вами электрических цепей постоянного тока будем иметь

’и

Дифференцируя обе части (3.32) по верхнему пределу Іц, получим

!И

Введя масштабные соотношения hi — Уіха и произведя необ­ ходимые преобразования, придем к искомому выражению для вольтамперной характеристики:

С учетом полученной зависимости напряжений источников от переменных задачи в качестве моделей ветвей нелинейных транспорт­ ных сетей могут быть использованы схемы, рассмотренные выше для моделирования линейных задач об оптимальном распределении по­ тока в сети (см. рис. 2 0 , а).

Вместо источников напряжения в схемах электронных моделей нелинейных транспортных задач могут быть использованы двух­

£0

полюсные функциональные преобразователи с соответствующим ви­ дом вольт-амперной характеристики.

Частными, но весьма важными нелинейными транспортными за­ дачами являются задачи оптимального распределения ограничен­ ных ресурсов. С целью иллюстрации методов построения электрон­ ных моделей нелинейных транспортных задач рассмотрим две разновидности задачи оптимального распределения ограниченных однородных ресурсов [168].

Предположим, что следует рас­ пределить N поисковых единиц по п районам поиска. Каждый район ха­ рактеризуется различными вероятно­ стями Р,- нахождения в нем искомого объекта и вероятностями Wj, с кото­ рыми единица распределяемых ре­ сурсов (средств) может обнаружить объект в у'-м районе. Если принять предположение о независимости дей­ ствия поисковых единиц, то они мо­ гут обнаружить цель (объект) с ве­ роятностью

/=I

Необходимо определить такое рас­ пределение единиц по районам поиска X/, при котором (3.35) достигнет мак­ симума при выполнении таких огра­ ничений:

(3.36) определяет ограничение на общее число поисковых единиц,

(3.37) ограничивает максимально возможное число единиц, которое можно направить в у-й район.

В известном смысле обратной к этой задаче является следующая. Найти минимальное количество однородных средств и их распре­ деление по районам поиска х/, при которых вероятность обнаруже­ ния объекта была бы не меньше некоторого наперед заданного зна­ чения [|л]:

61

Схема электронной модели прямой задачи (3.35) — (3.37) изобра­ жена на рис. 24, а.

Прямую задачу можно решить также на электронной цепи, не содержащей нелинейных источников, если допустить выполнение итерационного процесса, заключающегося в подборе величин со­ противлений или напряжений источников схемы рис. 24, б, при ко­

Решение обратной задачи на модели рис. 24, а можно осущест­ вить путем регулировки величины тока I N д о тех пор, пока произ­ ведение на величину напряжения U не достигнет величины, соот­ ветствующей необходимому значению вероятности [р].

Задачи распределения ограниченных ресурсов настолько много­ образны, что вопросы их моделирования могли бы составить пред­ мет самостоятельного исследования. Сюда относятся модификации

3.4. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ЗАДАЧ СПУ НА ОСНОВЕ АНАЛОГИИ ДЕННИСА

Так как временная разновидность задачи расчета сете­ вого графика (задача 1 ) является частным случаем задачи об экстре­ мальных путях на графе без петель и контуров, то для ее модели­ рования может быть использована диодная аналогия Денниса, суть которой рассматривалась выше. Моделью работы сетевого графика, таким образом, будет двухполюсник, содержащий последовательное соединение идеальных диода и источника напряжения, величина напряжения которого пропорциональна продолжительности выпол­ нения работы (рис. 25, а). Модели работ для получения сетевого гра­ фика должны быть электрически соединены между собой в соответ­ ствии с его топологией. К полюсам образовавшейся электронной цепи, изображающим начальное 5 Ни конечное SK события графика, необходимо подключить источник тока I (рис. 25, б). В соответст­ вии с минимальными свойствами цепей постоянного тока ток этого источника потечет по моделям работ, находящимся на критическом пути, а напряжение на полюсах источника тока будет пропорцио­ нально длине критического пути сетевого графика. Схема модели сетевого графика рис. 6 приведена на рис. 25, б.

Следует иметь в виду, что описанная выше модель предполага­ ет наличие идеальных диодов и идеальных источников напряжения.

62

Падение напряжения на диоде и внутреннем сопротивлении источ­ ника. при протекании тока по модели работы приводит к погрешнос­ ти величин продолжительности выполнения работы и к искаже­ нию длины критического пути, а также временных характеристик сетевого графика. Кроме того, это падение напряжения вызывает понижение разрешающей способности модели по отношению к рав­ нокритичным путям и их отрезкам. Поэтому при инженерном синте­ зе моделей приходится удовлетворять ряд противоречивых требо­ ваний обеспечения приемлемой точности и разрешающей способ­

ности при ограниченных мощностях и величинах напряжений ис­ точников напряжения моделей работ. Характеристики источников напряжения могут быть сделаны достаточно идеальными. Гораздо­ труднее обеспечить идеальность вольт-амперной характеристики диодов. На рис. 25, в приведена эквивалентная схема модели работ на постоянном токе, а на рис. 25, г — вольт-амперные характери­ стики идеальной модели работы (Г), реальной (2) и модели с нелиней­ ным отрицательным сопротивлением (3), предложенной А. Г. Тимо­ шенко [166].

Можно предложить по крайней мере четыре способа повышения точности модели сетевых графиков. Первый связан с выполнением итерационного процесса компенсации падения напряжения на внут­ реннем сопротивлении моделей работ, по которым протекает ток, путем соответствующего изменения напряжения, моделирующего продолжительность работы. При реализации второго способа на­ пряжение источника модели работы устанавливается большей вели­ чины с таким расчетом, что при протекании тока I напряжение на полюсах модели было бы пропорционально продолжительности ра­ боты. Как будет показано ниже, в определенных условиях этот спо­ соб может привести к искажению формы критического пути.

63.

Третий способ связан с выбором рационального диапазона изменения напряжений источника модели работы, для которого падение напря­ жения на проводящем диоде было бы незначительным и не приво­ дило бы к появлению погрешностей. Этот способ, к сожалению, труд-

ления .измерительного и индикационного режимов работы. При ин­ дикационном режиме к модели подключается источник достаточно большого тока и выделяется форма критического пути. При изме­ рительном режиме производится измерение критического пути и

.других временных характеристик с малым током б/, при котором

.достаточно малы падения напряжения на диодах и внутренних со-

■•64

противлениях источников. Наличие в схемах моделей работ отри­ цательных сопротивлений требует, однако, исследования устойчи­ вости работы модели в целом.

Для иллюстрации возможного искажения формы критического пу­ ти при втором способе повышения точности модели рассмотрим при­ мер простейшего сетевого графика, имеющего всего два пути (рис. 26, а и б). С целью упрощения выкладок предположим, что внутренние сопротивления моделей работ линейны, одинаковы и равны г, продолжительности работ каждого из путей равны соот­ ветственно Е и е. Эквивалентная расчетная схема нашего примера изображена на рис. 26, в. Пусть продолжительности работ такие, что критический путь проходит по верхней цепочке работ:

При достаточно малой разности критических путей Де ток I развет­ вится по двум путям. Эго произойдет при равенстве падений напря­ жений на верхней и нижней цепочках моделей работ:

большая часть тока будет протекать по моделям работ некритиче­

ского пути ß >■ Учитывая, что чувствительность индикатора то­

ка может быть достаточно низкой, а в случае более сложных сетей ток верхнего пути может разветвиться на ряд параллельных путей, может случиться так, что индицироваться будет подкритический путь, тогда как основной критический путь будет светиться не пол­ ностью или не будет светиться вовсе.

3.5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕТИ НА ЭЛЕКТРОННОЙ МОДЕЛИ

Временные характеристики для отдельных работ и собы­ тий, за исключением коэффициента напряженности, вычисляются линейно через величины частного и общего критического путей (см.формулы (1.21) — (1.29)). Далее параметры модели и временные характеристики работ будем называть сокращенно: вместо «наиболее

Рис. 27

раннее время возможного начала работы» — «раннее начало работы», «напряжение, пропорциональное длине критического пути» — «на­ пряжение критического пути» и т. д.

Первый метод. Этот наиболее простой способ определения вре­ менных характеристик сетевого графика на модели заключается в нахождении, всех необходимых критических путей и вычислении тре­

66

буемых зависимостей по формулам (1.21) — (1-29) с помощью спе­ циализированного вычислительного устройства. На рис. 27 показа­ ны схемы опытов, которые следует произвести для определения вре­ менных характеристик работы (г, /). При этом нужно помнить, что все характеристики событий выражаются . через характеристики работ.

На рис. 27, а показана схема опыта по измерению продолжи­ тельности работы при установке исходных данных; на рис. 27, б — схема опыта по измерению длины критического пути сетевого гра­ фика. При этом источник тока индикации не подключается к моде­ ли, а между начальным и конечным событиями определяется вели­ чина напряжения, которая пропорциональна длине критического пути.

Схема опыта по определению критического пути между началь­

При измерении частных критических путей необходимо обеспе­ чить открытое состояние диодов моделей работ, образующих эти пути, так как на эти модели действует напряжение общего крити­ ческого пути, запирая соответствующие диоды. С этой целью па­ раллельно вольтметру к событиям, между которыми измеряется критический путь, подключается источник тока / 0. Величина тока должна быть небольшой, но достаточной, чтобы открыть диоды, ле­ жащие на исследуемом пути.

На рис. 27, г дана схема опыта по измерению величины частно­

С помощью этих измерений можно вычислить все остальные харак­ теристики работы событий.

Второй метод. Второй метод определения временных характе­ ристик графика на модели, так называемый метод трех источников, позволяет отказаться от специального вычислительного устройства. Необходимые зависимости получаются с использованием второго закона Кирхгофа путем соответствующей коммутации двух измери­ тельных источников тока, вольтметра и исследуемой модели работы. Так как раннее окончание работы (і, /) отличается от ее раннего на­ чала на величину продолжительности самой работы, то непосред­ ственное измерение напряжения раннего окончания работы может быть произведено по схеме рис. 28, а.

При подключении измерительного источника тока между собы­ тиями / и к диоды частного критического пути открываются и на полюсах источника устанавливается напряжение, пропорциональ­ ное длине частного критического пути, т. е. t/yK= /кр (/, к). Так как между начальным и конечным событиями действует напряжение общего критического пути, то напряжение между событиями н и / на основании второго закона Кирхгофа равно разности двух

напряжений:

Полученная величина определяет позднее окончание работы и для ее измерения на модели можно воспользоваться схемой рис. 28, б. Аналогично, для измерения позднего начала работы применяется схема рис. 28, г.

68

69