книги из ГПНТБ / Васильев, В. В. Гибридные модели задач оптимизации

С точки зрения аналитической механики электрические цепи принадлежат к неконсервативным нелинейным системам [188], для которых принцип наименьшего действия удобно записывать в виде

где R — функция рассеяния (Релея); А — мощность внешних сил.

'Ъ

Рис. 13

В электродинамике и теории подобия применяются две системы электромеханических аналогий; впервой в качестве обобщенных координат используются заряды, во второй — потокосцепления [165].

Свяжем с членами подынтегрального выражения (2.4) их зави­ симости от параметров элементов в различных системах электро­ механических аналогий (табл. 3).

Выбираем электрическую цепь, содержащую т нелинейных ин­ дуктивностей, п нелинейных емкостей, / нелинейных сопротивлений (проводимостей), S нелинейных источников напряжения и р нели­ нейных источников тока. Пусть матрица соединений этой цепи бу*

40

41

дет N. Тогда принцип наименьшего действия запишем в следующем виде:

для первой системы электромеханических аналогий

В (2.6) и (2.8) используются следующие величины: q — вектор

токов ветвей, в том числе и ветвей с источниками тока, яр — вектор напряжений на элементах, в том числе на источниках напряжения.

Проанализируем слагаемые подынтегральных выражений (2.5)

j*Яі Y 1 ddi = Яі^і —j 1M<7i = \ я і О М db

n n n

представляет собой энергию, заключенную в магнитном поле нели­ нейной индуктивности; графическая интерпретация этого интегра­ ла — площадь над кривой вебер-амперной характеристики, огра­ ниченная прямой яр = яр£ (заштрихованная область на рис. 13, б);

представляёт собой энергию электрического поля нелинейной ем­ кости; графическая интерпретация этого интеграла — площадь над кривой кулон-вольтной характеристики, ограниченная прямой q = = qj (заштрихованная область на рис. 13, а);

над кривой ампер-вольтной характеристики нелинейного сопротив­ ления, ограниченная прямой q = qk (область I, рис. 13, b);

42

графическая , интерпретация' интеграла J qk (ф.) dwk — площадь

Последние четыре интеграла имеют размерность мощности и в линейном случае соответствуют мощностям, рассеиваемым на со­ противлениях и отдаваемым в цель источниками-энергии.

Следует иметь в виду, что при использовании первой системы электромеханических аналогий энергетические слагаемые записы­ ваются для всех элементов электрической цепи, кроме источников тока (последние учитываются в уравнениях связи типа (2 .6 ), (2 .1 0 )), а'при использовании второй системы электромеханических анало­ гий — для всех элементов, за исключением источников напряжения (последние учитываются в уравнениях связи типа (2 .8 ), (2 .1 2 )).

Если записать условия равенства нулю вариаций (2.5), (2.7), (2.9) и (2.11) в форме, Лагранжа — Эйлера [73, 182], то полу­ чим уравнения второго закона Кирхгофа (метода контурных токов) для первой системы аналогии и первого закона Кирхгофа (метода узловых напряжений) для второй системы аналогии. При этом урав­ нения связей должны быть использованы для подстановки в варьи­ руемые интегралы с целью исключения линейно зависимых коорди­ нат и скоростей.

43

Для синтеза электронных моделей задач оптимального планиро­ вания можно использовать тот факт, что интегралы, подлежащие вариации, достигают минимума при действительном протекании про­ цессов в цепях.

Проиллюстрируем минимальный принцип на примерах простей­ ших цепей (рис. 14, с, б). На рис. 14 стрелками показаны принятые положительные направления величин.

Рис. 14

Минимальный принцип для цепи рис. 14, а можно записать в виде

Покажем, что условиями минимума вариационного интеграла (2.15) являются уравнения, описывающие поведение цепи в соответ­ ствии со вторым законом Кирхгофа. Поскольку (2.15) не зависит от обобщенных координат, которыми в данном случае являются заря­ ды, уравнения Лагранжа второго рода будут иметь вид

Нетрудно видеть, что (2.17) являются уравнениями второго закона Кирхгофа для контуров, образованных rx, Lu г3 и ra, L2, г8 соответ­ ственно.

44

Д л я схемы рис. 14, б вариационный интеграл запишем в виде

(

Как следует из (2.21), мы получим уравнения второго закона Кирх­ гофа для контуров, образованных внутренними ячейками схемы.

2.3. МИНИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА, НЕ СОДЕРЖАЩИХ РЕАКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Для цепей постоянного тока обобщенные скорости (токи и напряжения) не зависят от времени. В связи с этим за знаки ин­ тегралов можно вынести сомножители, не зависящие от времени:

45

Поскольку для любого фиксированного промежутка времени t0 —

— tl интеграл в (2.23) не зависит от qk, qh минимум (2.23) достига­ ется только за счет выражения, стоящего в квадратных скобках:

Аналогично, по второй системе электромеханических аналогий бу­ дем иметь

'Иг

Рассмотрим пример электрической цепи, содержащей нелиней­

Подставляя в подынтегральное выражение зависимость напряжения от тока и беря интеграл, получим

Уравнения, описывающие поведение этой цепи, будут получены, если приравнять нулю частные производные (2.27) по і2 и і3, под­

Если выражение минимального принципа для этой же цепи за­ писать по второй системе электромеханических аналогий, то полу­ чим

Подставляя (2.31) в (2.30) и приравнивая нулю частную производ­ ную по U23, получим уравнение первого закона Кирхгофа для этой цепи:

Для линейных цепей, содержащих сопротивления и источники,

46

получим следующие выражения минимального принципа, совпадаю­ щие с приведенными у Дж. Денниса [8 6 ]:

Заметим, что здесь и далее уравнения идеальных диодов, транс­ форматоров и зависимых источников энергии, в том числе электрон­ ных усилителей и электронных следящих систем, должны рас­ сматриваться при формулировках минимального принципа в ка­ честве дополнительных ограничений, наряду с ограничениями вида (2 .6 ), (2 .8 ).

2.4. МИНИМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА В СИНУСОИДАЛЬНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ

Рассмотрим произвольную линейную RLC-цепь, содержащую синусоидальные источники напряжения и тока. С целью упрощения выражений воспользуемся известным свойством таких цепей, заключающимся в том, что в установившемся режиме все токи, напряжения цепи, а следовательно, их производные и инте­ гралы являются синусоидальными функциями времени:

Поскольку режим установившийся, а вариационный интеграл берет­ ся по произвольному промежутку времени, выбираем пределы ин­ тегрирования равными периоду основной частоты со т. е.

В соответствии со сделанными замечаниями определим вклад в. вариационный интеграл отдельных групп элементов, а именно: ин­ дуктивностей, емкостей, сопротивлений и источников напряжения. Как и ранее, источники тока учитываются дополнительными усло­ виями, налагаемыми первым законом Кирхгофа.

Для индуктивностей будем иметь

47-

48