книги из ГПНТБ / Васильев, В. В. Гибридные модели задач оптимизации

Однородным потоком в сети будем называть функцию X, которая каждой дуге (iß ставит в соответствие численное значение х (iß потока в дуге, причем

X (Ni) — X (iN) = О

при любом і Ф н, к.

Величиной потока X будем называть число

*о = х («> 0 = 2 * (і, к).

ІІ

Сущность задачи о минимальном потоке состоит в следующем. Для сети, представленной графом G (N, А), найти однородный

поток Хт, удовлетворяющий условиям

где R — множество чисел z (iß, поставленных во взаимное соответ­ ствие дугам (iß и представляющих собой ограничение пропускной способности дуги (iß снизу.

Рассмотрим произвольный непрерывный поток, удовлетворяю­ щий ограничениям потоков дуг снизу. Пусть х (iß > z (iß > 0— допустимый поток X. В каждой дуге будет избыток потока Ах (iß =

— X (iß — г (iß ;> 0. В каждой рассматриваемой отдельно от сети дуге (iß можно уменьшить величину потока на Ах (iß. При рас­ смотрении же дуги в составе сети возможное уменьшение потока вет­ ви X (iß будет ограничено условиями непрерывности, которые при­ водят к необходимости уменьшения потока на ту же величину и в других дугах, образующих цепь, проходящую из н в к через дугу (iß, и возможностями уменьшения потока в других ветвях такой цепи.

Очевидно, что уменьшение потока х (iß в линейной сети экви­ валентно наложению потока х (iß в этой же ветви в обратном на­ правлении. Следовательно, можно рассмотреть непрерывный поток

X от к к к, для которого пропускные направления ветвей обратны заданным в исходной сети, удовлетворяющий ограничению сверху:

X (iß < Ах (iß.

Рассмотрим некоторый результирующий поток

30

Тем самым доказано следующее: минимальный поток в сети Х т, удовлетворяющий условиям хт (ij) > г (ij) > 0 , можно найти в

виде

хт= х - х ы,

той же сети), удовлетворяющий ограничениям

xu (ij)< x(ij) — z(ij).

Решение задачи о минимальном потоке выполняется за три этапа.

1.Поиск допустимого потока.

2.Поиск максимального избыточного потока.

3.Определение искомого минимального потока как разности первых двух.

Пе р в ы й э т а п . Один из возможных алгоритмов построения допустимого потока состоит в следующем:

-систему ограничений для максимального избыточного потока. Величина этого потока х0 = 2х (н, і) — 2х (і, к).

II

Вт о р о й э т а п . Для исходной сети ищем максимальный до­

пустимый поток Х и, удовлетворяющий условиям

32

В результате получаем хи (ij) для всех дуг, или только величину

Для иллюстрации приведенно­ го выше метода рассмотрим при­ мер. Пусть задан граф G {N, А) (рис. 9). Ограничения, налагаемые на поток, следующие:

Требуется найти минимальный поток, удовлетворяющий огра­ ничениям

хт (Ф > 2 (*'/)• Допустимый поток определяется в табл. 2.

Таким образом, допустимый поток будет

X {ні) = 14; X {ік) = 4 ; х {ij) = 10; х («/) = 5; х {]‘к) = 15.

Величина допустимого потока

х0 = X {ні) + X {nj) = 14 -f- 5 = 19.

Система ограничений для максимального избыточного потока

Ах {ні) — 4; Ах {ік) = 0; Ах {ij) = 8 ; Ах (я/) = 0; Ах {jK) = 5.

Граф G с ограничениями для поиска максимального избыточно­ го потока изображен на рис. 10. В данном случае единственный воз­ можный путь ш'/'к определяет максимальный избыточный поток Хм:

С целью определения минимального потока транспортной сети при синтезе моделей применяется алгоритм, аналогичный алгоритму определения максимального потока. Этот алгоритм заключается в реализации операции суммирования параллельных потоков и опре­ деления участков с максимальной пропускной способностью.

Для задачи определения минимального потока справедлива сле­ дующая теорема [39].

Для любой транспортной сети минимальная величина потока из н в к равна максимальной пропускной способности разреза, отделяю­ щего н и к .

Однако здесь понятие разреза необходимо ввести более строго по сравнению с определением разреза для максимального потока. В задаче о максимальном потоке любой путь из к в к должен содер­ жать, по крайней мере, одну ветвь каждого разреза. Указанная тео­ рема для задачи о минимальном потоке справедлива только в том случае, если любой разрез транспортной сети содержит одну и только одну ветвь каждого пути, соединяющего н и к . Это обуслов­ лено тем', что минимальная пропускная способность каждого пути определяется пропускной способностью, ветви с максимальной вели­ чиной dij. Справедливость сказанного легко показать на примере.

'34

Рассмотрим сеть, изображенную на рис. 11. Цифры у ветвей яв­ ляются величинами пропускных способностей этих ветвей. Величи­ на минимального потока сети равна 9 единицам. Действительно, при таком потоке из я в /с по всем ветвям будет поток, не меньший минимальной пропускной способности, и величина этого потока — минимальная из ,всех допустимых.

В сети рис. 11 множества дуг

2 і = {(я, а); (я, Ь)}, z2 = {(а, к); (b, к)},

z3 = {(я, а); (Ь, к)}, z4 = {(я, b); (а, Ъ); (а, к)}

являются разрезами, отделяющими я н' и к. При этом максимальной про­ пускной способностью обладает раз­

рез г3 = 1 1 , в то время как в действительности минимальный по­ ток из я в к равен 9. В разрезе z3 ветви (я, а) и (b, /с) принадлежат одному пути

L3= {(я, а); (а, &); ф, к)),

минимальная пропускная способность которого обусловлена макси­ мальной величиной dbK= 6 . Минимальный поток этой сети равен максимальной пропускной способности разреза z4 = 9, так как из всех разрезов, содержащих только по одной дуге каждого пути, его минимальная пропускная способность максимальная.

Исходя из теоремы о разрезах и минимальном потоке, задачу определения минимального потока можно свести к определению са­ мого длинного пути сети. С этой целью целесообразно построить граф двойственной исходной сети. Каждый путь этого графа должен соответствовать разрезу исходной транспортной сети в указанном определении.

Для случая планарной сети (какой является сеть рис. 11) по­ строение двойственной сети заключается в замене граней исходной сети узлами и соединении этих узлов ветвями.

Г л а в а 2

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ

И ВОЗМОЖНОСТИ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ

НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

2.1. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследованию экстремальных энергетических свойств электромагнитных систем посвящено достаточно большое число ра­ бот. Еще Максвелл в 1873 г. заметил, что «...в электрических це­ пях, содержащих сопротивления и источники тока, распределение токов, удовлетворяющее законам Кирхгофа, оказывает наимень­ шее тепловое действие» [128].

В работе Мэнли и Роу [192] получены соотношения, касающиеся средней мощности на различных частотах в нелинейных реактивных элементах с однозначными характеристиками и реактивной мощнос­ ти в нелинейных резистивных элементах. Указанные соотношения использовались для анализа явлений в модуляторах, демодулято­ рах, генераторах и других существенно нелинейных устройствах.

Ф. Ридер 1200] применил уравнения Лагранжа для цепей с со­ средоточенными элементами. Он предложил метод, применение кото­ рого позволяет получить выражения, не требующие выполнения операций дифференцирования. В этих выражениях в качестве ос­ новных переменных используют величину заряда для цепей, расчет которых удобно производить методом контурных токов, и величину потока (временного интеграла от напряжения) для цепей, расчет которых удобно производить методом узловых напряжений. Полу­ ченные соотношения используются автором для анализа и построе­ ния электрических аналогов механических систем.

Дж. Деннис [8 6 ] систематически рассмотрел минимальные свой­ ства электрических цепей постоянного тока, содержащих диоды, источники напряжения и тока, сопротивления и трансформаторы постоянного тока. Он показал, что между такими цепями и задача­ ми линейного и квадратичного программирования существует ана­ логия, и дал изящную физическую трактовку методов решения за­ дач программирования.

В работе Париса и Харда [196] экстремальные свойства полей и цепей исследуются с точки зрения вариационного принципа (электромагнитные поля стремятся быть в наинизшем энергетиче­ ском состоянии, совместимом с ограничениями, наложенными на систему). Показана совместимость вариационного принципа Гамиль­ тона для электромагнитного поля с уравнениями Максвелла, а также то, что теоремы о цепях с «наименьшей мощностью», закон о

37

сохранении потока и второй закон Кирхгофа — это частные выра­ жения вариационного принципа.

Принцип энергетического минимума для стационарных и пере­ менных во времени полей, а также электрических цепей в формули­ ровке Париса и Харда выражается следующим образом:

1 ) элетростатическая энергия, заключенная в объеме произволь­ ной величины, не содержащем зарядов, стационарна в вариацион­ ном смысле;

2 ) распределение постоянных токов такое, что полная энергия магнитостатического поля, обусловленного ими, минимальна;

3)возбуждение электромагнитных полей характеризуется таким распределением токов и зарядов, которое стремится минимизиро­ вать передачу мощности; •

4)токи в цепи распределяются таким образом, что преобразо­ вание мощности минимально, и подчиняются только условиям, на­ лагаемым принципом сохранения' заряда.

Вмонографии А. Н.-Миляха и А. К. Шидловского 1132] вариа­ ционные принципы механики и электродинамики применены к глу­ бокому изучению принципов обратимости и взаимности' явлений в электротехнике.

Вработе [83] Л. В. Данилов минимальные свойства цепей исполь­

зовал для разработки эффективных методов анализа нелинейных электрическихцепей, в частности цепей с диодами.

• В работе [173] И. Л. Хранович минимальные свойства электри­ ческих цепей применяет к анализу и построению электронных мо­ делей задач выпуклого программирования.

Несмотря на наличие такого большого числа работ, посвящен­ ных минимальным свойствам электромагнитных систем, при синте­ зе электронных моделей задач математического программирования встречаются большие затруднения. Частично эти затруднения объясняются отсутствием формулировок частных проявлений ми­ нимального принципа для отдельных часто встречающихся электрон­ ных цепей, которые применяются в качестве электронных моделей.

Настоящая глава посвящена дальнейшему развитию минималь­ ного принципа электрических цепей в направлении формулировки его частных проявлений в следующих случаях:

а) нелинейные электрические цепи постоянного тока; б) линейные электрические цепи переменного тока в установив­

шемся синусоидальном режиме:

в) нелинейные электрические цепи в переходных режимах. Кроме этого формулируется экстремальный принцип в такой фор­

ме, чтобы из него как частные случаи получались известные резуль­ таты, в том числе, например, выражения минимума мощности, при­ веденные у Денниса.

Предпринята попытка выработки рекомендаций по инженерно­ му использованию этого принципа для целей анализа и синтеза электронных моделей различных условно-экстремальных задач.

38

Известно [62, 73, 76, ПО, 111, 147, 172, 177], что осново­ полагающим в аналитической механике является вариационный принцип наименьшего действия^ который формулируется следую­ щим образом: действительное движение системы такое, что инте­ грал плотности іфункции Лаграйжа по произвольному промежутку времени стационарен в вариационном смысле:

q, q — соответственно векторы обобщенных координат и скоростей точек системы.

Следствием (2.1) Являются уравнения Лагранжа второго рода, которые вместе с уравнениями связей определяют полную систему дифференциальных уравнений, описывающую поведение динами­ ческой системы:

т ( т ) " Ж = °- "I <2'3>

В большинстве работ принцип наименьшего действия формули­ руется для линейных и консервативных систем. Ңеконсервативные силы вводятся уже на уровне уравнений Лагранжа.

Несмотря на -то что для анализа электрических цепей исполь­ зование вариационного принципа вряд ли добавит существенно но­ вые данные об их поведении, поскольку уравнения Лагранжа для цепей составляются достаточно просто, при синтезе электронных аналоговых моделей задач на условный экстремум бывает полезно знать вид функционала, который достигает экстремума при дейст­ вительном протекании процессов в схемах моделей.

Рассмотрим частные проявления принципа наименьшего дейст­ вия для нелинейных электрических цепей с сосредоточенными двух­ полюсными элементами, обладающими однозначными и непрерыв­ ными характеристиками.

Прежде всего будем предполагать, что свойства основных' эле­ ментов однозначно определяются соответствующими кулон-вольт­ ными, вебер-амперными или ампер-вольтными характеристиками, и для этих элементов принята указанная на рис. 13 система поло­

жительных направлений величин. Здесь q — величина тока (вре­ менная производная от заряда), ф — величина напряжения (времен­ ная производная от потокосцепления).

39