книги из ГПНТБ / Васильев, В. В. Гибридные модели задач оптимизации

возможность определения ресурсов на цифровом аналоге сетевого графика с использованием в качестве моделирующей величины ре­ сурсов постоянного напряжения. Здесь М РХи М Р 2 — модели работ сетевого графика. Величины напряжений Ut моделируют количест­ во потребляемых ресурсов при выполнении каждой работы; они подаются на вход сумматора только когда ключи открыты, т. е. когда работа выполняется. В начальный момент все триггеры уста­ новлены в нулевое состояние. При поступлении сигнала на вход модели работы М РХ о начале ее выполнения триггер Тг устанавли­ вается в единичное состояние и открывает ключ Кх. Напряжение Ux через Кх Издается на один из входов сумматора 2 - Если в этот же

Рис. 107

момент времени на другой вход сумматора подается напряжение, моделирующее потребляемые ресурсы при выполнении другой опе­ рации, то на выходе сумматора будем иметь

t/s = S£/£,

где і — номера работ, выполняемых одновременно.

При появлении сигнала на выходе модели работы об окончании ее выполнения триггер Тх этим сигналом переводится в нулевое состояние. Напряжение Ux при этом отключается от входа суммато­ ра. Таким образом, при определении критического пути сетевого гра­ фика на цифровом аналоге можно получать индикацию распределе­ ния ресурсов за время выполнения проекта. Если при этом выход сумматора подключить к осциллографу, то функцию распределе­ ния ресурсов можно наблюдать визуально.

Рассмотренная схема обладает тем недостатком, что для задания ресурсов необходимо иметь регулируемые источники напряжения, количество которых должно быть равно количеству работ.

173

Для определения функции распределения ресурсов, необходи­ мых для выполнения сетевого графика, может быть применена схе­ ма, показанная на рис. 108. В этой схеме коэффициент передачи усилителя

Ѣъ

и_ 1 = 1

где R t — сопротивление, моделирующее количество ресурсов, необ­ ходимых для выполнения і-й работы; п — номер работы сетевого графика. #

Максимальный коэффициент передачи выбирается таким, чтобы усилитель находился на линейном участке характеристики.

В исходном состоянии ключи К( открыты и закорачивают со­ противления R;. При этом коэффициент передачи усилителя k равен нулю и напряжение на выходе усилителя также равно нулю.

При выполнении і-й работы ключ Kt закрывается и коэффициент передачи

а на выходе сумматора напряжение будет

т. е. пропорционально количеству потребляемых при выполнении і-й работы ресурсов. При одновременном выполнении нескольких работ (например 1-й, 3-й и і-й) напряжение на выходе сумматора

т. e. оно оказывается пропорциональным суммепотребляемых ре­ сурсов. Такая схема позволяет достаточно просто и без особых тех­ нических трудностей получить закон распределения потребляемых ресурсов за время выполнения сетевого графика.

При определении различных видов ресурсов, необходимых для

174

/=і Для регистрации графиков суммарных ресурсов на электронно­

лучевом осциллографе или другом регистрирующем приборе можно использовать падение напряжения на измерительном сопротивле­ нии R0:

175-

Применив преобразователь тока в напряжение на основе операци­ онного усилителя постоянного тока (см. рис. 106, в), можно значи­ тельно уменьшить систематическую погрешность схемы.

Уравнения схемы примут в этом случае следующий вид:

лительного процесса на цифровой модели сетевого графика полу­ чить зависимость от времени суммарного потребляемого ресурса. Если напряжение (6.14) подключить к вертикальному входу осцил­ лографа, временную развертку которого синхронизировать с пуско­ вым сигналом цифровой модели сетевого графика, то на экране по­ явится изображение этой зависимости.

Комбинированная модель рис. 106, б может быть использована для определения стоимостных характеристик различных категорий работ сетевого графика. Действительно, если возвратиться к функ­ циональной схеме модели работы рис. 67, то можно отметить, что в различных режимах на полюс «Индикация» появляется единичный сигнал, когда рассматриваемая работа принадлежит или: а) крити­ ческому пути, б) дереву максимальных путей, в) фронту выполня­ емых работ, г) множеству работ критической зоны и т. д.

При моделировании графиков суммарных ресурсов мы исполь­ зовали сигналы принадлежности работ фронту выполняемых ра­ бот.

Если проводимости gki схемы рис. 106 установить пропорцио­ нальными стоимостям выполнения соответствующих работ, то в ре­ жиме а) мы получим величины Ik или Ѵк, пропорциональными об­ щей стоимости работ критического пути, в режиме б) — стоимости работ дерева максимальных путей, в режиме г) — стоимости работ критической зоны и т. п. Таким образом, стоимостно-ресурсные бло­ ки могут использоваться как устройства предварительной перера­ ботки информации, работающие совместно с цифровой моделью сетевого графика.

Продолжительность выполнения любой работы зависит от числа ее исполнителей и может меняться в некоторых пределах

di/ Dtj.

176

Границы изменения этой продолжительности определяются специ­ фикой работы, предельно возможным количеством исполнителей и др. Более естественной характеристикой работы является не про­ должительность, а трудоемкость в человеко-днях или других со­ поставимых единицах. Когда исполнители или эксперты производят оценку продолжительности работы, они, как правило, исходят из величины ее трудоемкости и вероятного числа исполнителей. В ряде случаев связь между трудоемкостью и продолжительностью работы может приближенно характеризоваться линейной зависимостью

полнителей; t — продолжительность выполнения работы. Количество исполнителей является одной из разновидностей

нескладируемого ресурса, поэтому интересно было бы попытаться построить структуру цифровой модели сетевого графика, в ко­ торой в качестве основных характеристик работ использова­ лись бы их трудоемкости и чис­ ло исполнителей, а продолжи­ тельность выполнения определя­ лась бы автоматически в соответ­ ствии с формулой (6.15).

Из (6.15) следует, что если потребовать, чтобы трудоемкость работы изображалась числом импульсов, а продолжительность выполнения — величиной вре­ менной задержки сигнала, то количество исполнителей долж­ но отображаться величиной час­ тоты тактового генератора. Эти рассуждения приводят нас к необходимости использования ряда тактовых генераторов, час­ тоты которых однозначно со­ ответствуют возможным града­ циям числа исполнителей. Фраг­

мент соответствующей цифровой модели работы приведен на рис. 109. В счетчик Сч1теперь необходимо записывать трудоемкость выполнения работы. На входе счетчиков включен ряд схем Их— Ик, количество которых равно числу возможных градаций исполните­ лей. Схемы трехвходовые. Первые входы всех схем объединены и подключены к единичному выходу триггера Т1 модели работы. Ко вторым входам подключены генераторы тактовых частот, соот­ ветствующих возможным градациям числа исполнителей. Третьи входы схем И подключены к выходам сдвигового регистра, в который

Г л а в а 7

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НА ЦИФРОВЫХ АНАЛОГАХ

7.1. РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ИГР НА ЦИФРОВОЙ МОДЕЛИ ПУТЕМ РЕАЛИЗАЦИИ ИТЕРАТИВНОГО МЕТОДА БРАУНА

Известно [74, 184], что матричные игры можно свести к эквивалентным задачам линейного программирования. На этой основе могут быть построены специализированные электронные мо­ дели матричных игр.

Интересным с точки зрения моделирования представляется итеративный метод решения матричных игр, известный под назва­ нием метода Брауна или метода фиктивной игры. Суть этого метода в следующем. Игра с матрицей А — || a£J- ||т ,„ многократно повторя­ ется. В каждой партии каждый из игроков выбирает чистую стра­ тегию, наилучшую против смешанной стратегии противника, ком­ поненты которой непрерывно корректируются от партии к партии на основе частот использованных чистых стратегий. Доказано [184], что при достаточно большом числе партий выигрыш в методе фик­ тивной игры стабилизируется и стремится к цене игры, а частоты использования чистых стратегий игроков определяют компоненты векторов оптимальных смешанных стратегий.

Математически этот метод сводится к следующему. Пусть после S-й партии первый игрок обнаружил, что его противник выбрал /-ю чистую стратегию 5 /раз (J = 1,2, ..., п). На этом основании пер­ вый игрок предполагает, что его противник придерживается сме­ шанной стратегии:

W(S) = (SJS, S 2/S .......... SJS).

При этом допущении первый игрок выбирает в S + 1 партии is-ю чистую стратегию, обеспечивающую максимальный средний выиг­ рыш против W(S>. Величина определяется как номер максималь­ ной компоненты вектора A W (S>*.

Аналогично второй игрок после t партий предполагает, что сме­

Принципиально описанная последовательность действий игро­ ков может быть реализована на электронных цепях переменной структуры, однако наличие неизбежных для этих целей округле­ ний информации и различного рода погрешностей могут привести к замедлению сходимости итерационного процесса, скорость которого сама по себе невелика.

Рассмотрим несколько вариантов цифровых моделей, допускаю­ щих реализацию указанного метода. Возможная блок-схема модели показана на рис. ПО. С целью упрощения иллюстраций будем ис­ пользовать игру размера 2 X 2 .

Величины элементов матрицы выигрышей ас) хранятся в регист­ рах Рп , ..., Р22. В схеме модели используются также счетчики Ux и 112 по числу чистых стратегий первого игрока, счетчики Wxu W2 по числу стратегий второго игрока, накапливающие сумматорыиндикаторы экстремального сигнала «ЭКСТР-1» и «ЭКСТР-2», схемы И, ИЛИ и логические элементы, управляющие работой модели, куда входят триггеры 7\ и Т2, счетчик числа партий IV формировате­ ли импульсов Фи Ф2, Ф3 и схема # 9.

На рис. ПО одинарными линиями условно показаны цепи управ­ ляющих сигналов, двойными — пути кодовых сигналов. Сумматорыиндикаторы экстремальных сигналов осуществляют раздельное суммирование сигналов, поступающих по отдельным каналам, выде­ ление величины экстремальной (максимальной или минимальной) суммы и определение номера канала, соответствующего экстремаль­ ной величине. Номер этого канала определяется наличием сигнала логической единицы на соответствующем выходе устройства.

До начала работы счетчики 1)г, U2, Wi, W2, N и триггеры 7\ и Т2 находятся в нулевом положении. Предварительно на одном из выходов «ЭКСТР-1» устанавливается сигнал логической единицы. Для определенности пусть это будет выход № 1. Сигнал пуска, поступивший на единичный вход триггера Т2, установит его в еди­ ничное положение и откроет схему Я9 на счетный вход триггера Тх. Первый импульс установит его в единичное состояние. Этот сигнал, сформированный Ф2, пройдет через открытую схему # 3 и запишет единицу в счетчике Ux, что будет соответствовать выбору первым игроком в первой партии первой чистой стратегии. Второй импульс установит триггер Тг в нулевое состояние. Сигнал нулевого выхода 7\ поступит на входы схем Ихи И2, но пройдет на выход только схемы Иъ открытой по второму входу единичным сигналом первого выхода «ЭКСТР-1». Выходной сигнал Иг используется в качестве управляю­ щего для выдачи в сумматор-индикатор «ЭКСТР-2» содержимого первой строчки регистров РХ1 и Р12. «ЭКСТР-2» выбирает номер ка­ нала с минимальным содержимым (пусть это будет канал № 2).

стратегии, наилучшей против первой чистой стратегии первого иг­ рока. Импульс Ф3 запишет единицу в счетчике N числа пар­ тии.

180

Очередной импульс тактового генератора приведет к записи содержимого регистров второго столбца Р12 и Р22 в «ЭКСТР-1», выделению в последнем номера канала с максимальным содержи­ мым, записи в соответствующем счетчике единицы и т. д. с той раз­

ницей, что на каждом последующем шаге содержимое группы ре­ гистров будет суммироваться с накопленными ранее числами в сумматорах-индикаторах экстремальных сигналов «ЭКСТР-1» и «ЭКСТР-2». Работа модели будет остановлена по сигналу перепол­ нения счетчика N.

181

Нетрудно видеть, что при прохождении каждых двух импульсов тактового генератора в схеме будет осуществляться преобразование информации, аналогичное преобразованиям при каждой партии в методе фиктивной игры.

При этом содержимое счетчиков и { и Wj соответствует частотам использования чистых стратегий игроков от начала игры, содержи­ мое индикаторов «ЭКСТР-1» и «ЭКСТР-2» — числу проведенных партий. Если емкость счетчика N выбрать достаточно большой (ІО4 — ІО6 единиц), то указанные выше частоты будут стремиться к величинам компонент оптимальных смешанных стратегий игро­ ков, средние выигрыш и проигрыш — к цене игры, увеличенным в число партий раз.

Очевидно, что реализация запоминающих регистров и индикато­ ров экстремальных сигналов может быть различной. В частности, в качестве этих элементов могут использоваться более простые по структуре счетчиковые системы с учетом соответствующей потери быстродействия.

Схема модели на основе счетчиковых систем с ручным вводом информации приведена на рис. 111. Информация о величинах эле­ ментов матрицы А вводится путем коммутации входов схем — И8 с выходами дешифратора датчика временных интервалов, общего для всей модели (на рис. 111 не показан). В качестве такого датчика в данном случае может быть использован десятичный счетчик. Роль сумматоров-индикаторов экстремального сигнала выполняют счет­ чики Счи Сч2, Сч3, триггеры Тг, Т2, Т5, Тв, Т9\ схемы совпадений

И9, И10, # 18; схемы разделения ИЛИ&, ИЛИ3, ИЛИ9, ИЛИ10 (для модели первого игрока). Аналогично для второго игрока.

Счетчики Счг и Сч2 начинают подсчет импульсов тактовой часто­ ты одновременно с датчиком временных интервалов. Счетчик Счх будет остановлен при поступлении сигнала на единичный вход 7\, а счетчик Сч2 — при поступлении сигнала на единичный вход Т2. Это будет соответствовать сложению в прямом коде содержимого счетчиков с элементами одного из столбцов матрицы. В режиме выделения максимального сигнала счетчики объединяются счет­ ными входами с помощью схем ИЛИ5, ИЛИв и опрашиваются им­ пульсами генератора тактовой частоты, подключенного ко входу R. Сигнал переполнения счетчика с максимальным содержимым уста­ новит триггер Тъ или Тв в единичное состояние и запретит поступле­ ние импульсов через схему И1а. Таким образом, в счетчике регенера­ ции Сч3 будет зафиксировано число импульсов, дополняющее мак­ симальный сигнал по емкости счетчика. Аналогичным образом работает сумматор-индикатор минимального сигнала (для модели второго игрока). Выделение минимального сигнала обеспечивается тем, что в счетчиках Сч4 и Счъ информация содержится в дополни­ тельном коде. Счетчики начинают считать после поступления сиг­ налов с выхода триггеров Т3 и Г4. Этим обеспечивается инвертиро­ вание кодов и переход к операции минимизации. Поясним назначение управляющих сигналов схемы: a, b — сигналы ходов отдельных

182