книги из ГПНТБ / Суторихин, Н. Б. Оценка надежности элементов коммутируемых телефонных сетей

значения параметров надежности из следующих выра­ жений:

наработка на отказ

В [38] (показано, 'что если считать поток отказов про­ стейшим, т. е. для случая, когда время безотказной ра­ боты распределено по экспоненциальному закону, вели-

ния х2 с г степенями свободы. Кривая плотности распре­ деления случайной величины х показана на рис 5.2.

Вероятность того, что случайная величина х превос­ ходит х2г, может быть определена следующим образом:

100

P{x>%2 1} —Jxi <p(*)d*, а вероятность того, что случай­ ная величина х 'превосходит %22, записывается как

P { x > l4 = J х| <f(x)dx.

Очевидно, вероятность того, что величина х будет на­ ходиться в пределах от %2i до %22, можно записать так:

щейся ^-распределению с г степенями свободы, вероят­ ность попадания в которую равна доверительной вероят­ ности у. Величины %21 и %2г называются квантилями рас­ пределения %2. Вероятность выхода величины х за эти пределы представляет собой вероятность ошибки и на­ зывается уровнем значимости а = 1 —у.

Если взять вероятности выхода величины х за ниж­ ний и верхний пределы одинаковыми, то они будут рав­ ны P{x<%h} =Р{х >%22 } = (1—у)12 = а/'2. Тогда вероят­ ность P{xS>%21} =' (И +у)/2 = 1—а/Е.

Поэтому для определения пределов, в которых нахо­ дится величина х с доверительной вероятностью у, сле­ дует вычислять квантили распределения х2 при г степенях

Л01

прекращаются непосредственно после наступления н-го отказа, то число степеней свободы г\—<г2 = 2п. В случае если испытания продолжались после re-го отказа, но бы­

А=1 1= 1

регистрировано ни одного отказа, то значения Г и со со­ ответственно вычисляются из выражений (5.12) и (5.13)

при г2 = 2.

При оценке среднего времени и интенсивности вос­ становления доверительные интервалы могут быть определены из следующих выражений:

n nk N nk

X? ('‘a)

102

Квантили x2 при различных степенях свободы и ве­ роятностях P {% 2> % 2q} определяются из табл. П5.1 при­ ложения П5.

При числе степеней свободы г>30 значения этих ве­ роятностей можно определить с помощью таблицы нор­ мированной функции Лапласа (табл. П5.2 приложения П5) P{x?>%2q } ~ 0,5—Ф(г), где z определяется в соот­ ветствии с выражением

=(*+ У2ГЦ)*

Kq 2

При изменении вероятностей P{y?~>y?q} от 0 до 0,5 величина z имеет знак «+ », от 0,5 до 1,0 — знак «—».

Пример 5.1 За период наблюдений 'во время эксплуатации кабельной маги­

страли зарегистрировано 14 отказов НУП. Суммарная наработка всех НУП магистрали составила за этот период 2|1гЗ тыс. часов. Оп­ ределить наработку на отказ и параметр потока одного НУП, а так­ же доверительные интервалы этих параметров для доверительной вероятности -у=0,9.

103

Пример 5.2

За период наблюдения за труппой приборов яе зарегистрировано ип одного отказа. Суммарная наработка всех приборов 103 ч. Опре­ делить с доверительной вероятностью 7=0,95 значение параметра потока отказов.

Тж как во время наблюдений не поступило ни одного отказа,

число степеней свободы гг= 2. Используя выражение (5.13), полу­ чаем

По табл. П5.1 приложения П5 определяем %22(2) для вероятности -Р{х2> х М = 1—0,95=0,05:

Xi (2)= б ,0,

откуда со ^ З -ilO-3 1/ч.

§ 5.3. Проверка гипотезы о законе распределения времени безотказной работы и времени восстановления

При экспериментальном определении параметров на­ дежности устройств, а также определении для «их дове­ рительных интервалов, в § 5.2 предполагалось, что закон распределения безотказной работы и времени восста­ новления устройств — экспоненциальный, что в боль­ шинстве случаев подтверждается на практике.

Однако гипотезу о законе распределения времени безотказной работы и времени восстановления устройств всегда возможно проверить с помощью критериев согла­ сия: критерия х2 Пирсона и критерия Колмогорова.

Рассмотрим случай применения критерия %2 Пирсо­ на. Предположим, что но результатам наблюдений во время эксплуатации за однотипными устройствами опре­ делено время наработок (ряд 5.1) или время восстанов­ ления (ряд 5.2). Разобьем все зафиксированные резуль­ таты наблюдений на т разрядов. Это 'рекомендуется де­ лать таким образом, чтобы в каждом разряде было не менее 5—10 наблюдений. Если количество наблюдений в отдельных разрядах получается очень малым (1—2), целесообразно объединять некоторые разряды.

Мера расхождения теоретического и статистического распределений определяется из выражения

2

(5.18)

где mi — число наблюдений в г-ш разряде;

104

N

У] tik — общее число наблюдений;

k-\

ti

p i ^ <p(x)dx — теоретическая вероятность попада-

h—i

■ния случайной величины в каждый из разрядов; <р(х) — плотность теоретического распределения слу­

чайной величины х\

ti-tfi — границы t-ro разряда.

С помощью табл. П5.1 приложения П5 определяется вероятность P{%2>%2q} при числе степеней свободы г. Число степеней свободы определяется из выражения r= m —s, где s — число наложенных связей. Оно прини­ мается равным числу параметров теоретического рас­ пределения, для которых требуется совпадение с пара­ метрами статистического распределения (например, среднее значение, дисперсия), плюс единица. Если полу­ ченная вероятность P{%2 >%2q} ^ 0,3, то гипотеза прини­ мается, в противном случае — отвергается.

При использовании критерия Колмогорова в качестве меры расхождения между теоретическим и статистиче­ ским распределениями принимается максимальное зна­ чение модуля разности между статистической и теоре­ тической функциями распределения

величины х, при неограниченном возрастании числа не­ зависимых наблюдений п (наработок, времен (восстанов­

лений) P{D У п ^ к } = Р(к), где Р (Я) может быть опре­ делено из табл. П5.3 приложения П5.

Для того чтобы с помощью критерия Колмогорова оценить согласованность статистического и теоретическо­ го законов распределения, необходимо на одном графи­ ке построить статистическую и теоретическую функции распределения.

Статистическая функция распределения строится сле­ дующим образом. Из ряда (5Л) или (5.2) определяются максимальный и минимальный члены tMaKCи / Мин и нахо­

105

Далее подсчитывается количество членов Ki в ряде

(5.1) или (5.2), не превышающем tmm+jh, где/= 1,2,.... W.

По оси ординат над точками imm+jh откладывают-

N

ся величины K i/£ nh.

fc=I

Описанное построение показано на рис. 5.3. По полу­ ченной таким образом статистической функции распре­

деления и построенной на этом же графике теоретиче­ ской функции определяется величина D (5.19). Зная ве­

личину D, можно определить X=D'V п, где п в нашем

N

случае равно (см. ряды 5.1 и 5.2) п = ^ щ, и по табл.

fc=i

П5.2 приложения П5 определяется вероятность РЩ . Если Р(л) ^0,3, то гипотеза о законе распределения мо­ жет быть принята.

Критерий Колмогорова целесообразно применять в том случае, если заранее известны не только вид функ­ ции теоретического распределения, но и его параметры, что редко встречается в практике. Если же параметры теоретического распределения выбираются по статисти­ ческим данным, критерий дает заведомо завышенные значения вероятности Р(1). Поэтому гипотеза о законе распределения может быть принята ошибочно.

Функции и плотности распределения для некоторых теоретических законов распределения приведены в табл. П5.4 приложения П5.

106

108

109