книги из ГПНТБ / Пластическое деформирование металлов [сборник статей]

пока практически неразрешимую математическую задачу. Вместе с тем при определенных допущениях можно получить достаточ­ но надежные для инженерных целей результаты.

Ниже задача расчета температурных полей валка и полосы применительно к холодной и горячей листовой прокатке решается в такой постановке. Рассматривается теплопередача в системе рабочий валок — деформируемая полоса для среднего сечения по длине бочки валка и по ширине прокатываемой полосы, где возникают наибольшие значения температур. Изменением темпе­ ратуры по оси валка в этом сечении пренебрегаем. В выбранном сечении теплопередачу принимаем одномерной в направлении нормали к поверхности валка. Таким образом, с вращающимся валком связывается некоторое фиксированное радиальное направ­ ление, совпадающее с нормалью к его поверхности, а все другие радиальные направления отличаются от выбранного фиксирован­ ного направления только сдвигом по центральному углу, которо­ му соответствует определенное время поворота валка.

Для пластической области расчет изменения температуры вследствие теплопроводности и диссипации энергии пластическо­ го формоизменения проводим в два этапа. Вначале вычисляем повышение температуры полосы на выходе из валков за счет ра­ боты пластической деформации при обжатии от начальной до конечной толщины без учета теплопроводности. Затем решаем уравнение теплопроводности в неподвижной системе валок — полоса за время, соответствующее повороту валка на угол захвата полосы в зоне деформации. Начальное распределение температу­ ры по радиусу валка считается известным (например, постоянная температура перед началом прокатки), а начальное распределе­ ние температуры полосы получаем суммированием заданной тем­ пературы на входе в область деформации с полученным на пер­ вом этапе расчета приращением температуры за счет работы де­ формации. Такой расчет дает распределение температуры для сечения полосы на выходе из валков. Для промежуточных сече­ ний полосы может быть выполнен аналогичный расчет с той раз­ ницей, что приращение температуры полосы будет вычисляться по работе деформации при обжатии полосы от начальной толщи­ ны до толщины в рассматриваемом сечении, а теплопередача в си­ стеме валок — полоса будет рассчитываться для времени поворо­ та валка на часть дуги контакта с полосой, соответствующей рас­ сматриваемому сечению. Разделение расчета температурного поля на два последовательных этапа позволяет избежать решение слож­ ной задачи теплопроводности в подвижной среде с внутренними источниками тепла. Это соответствует одному шагу интегрирова­ ния по методу, предложенному в работе [12] при дополнительном предположении об одномерности теплового потока.

Как показано в работах [4, 13], при высоких скоростях тече­ ния металла, характерных для процессов штамповки и прокатки, предположение об одномерности теплового потока не приводит

80

к грубым ошибкам по сравнению с двумерными решениями. На остальной части полного оборота валка принимаем условия кон­ вективного теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона. При применении смазочно-охлаждающей жидкости на части по­ верхности йалка коэффициент теплоотдачи можно задавать кусоч­ но-постоянной функцией времени. Расчет проводим для некоторо­ го заданного числа тепловых циклов (или оборотов валка). Призна­ ком окончания расчета служит приближение температуры поверх­ ности валка к стационарному значению. При этом основное изме­ нение температуры происходит в тонком поверхностном слое валка, что позволяет рассматривать его как полуограниченное

тело.

Таким образом, в валке и полосе решаются уравнения неста­ ционарной теплопроводности с одной пространственной коорди­ натой. При тонколистовой прокатке температурные изменения происходят в очень тонком поверхностном слое валка. Учитывая, что радиус валка на несколько порядков превышает толщину этого слоя, можем принять декартовы координаты как для валка, так и для полосы. Обозначим декартову координату через х, темпера­ туру — через Т, толщину полосы на выходе из валков — через Н, время — через t. Начало отсчета по оси х совмещаем с середи­ ной толщины полосы. При этих обозначениях уравнение неста­ ционарной теплопроводности для валка имеет вид

где щ — коэффициент температуропроводности материала валка. При прокатке толстых листов с большими обжатиями может ока­ заться существенным влияние кривизны валка на процесс тепло­ передачи. Выбирая полярные координаты с центром на оси валка, вместо уравнения (1) получим

При прокатке толстых и тонких листов для расчетов темпера­ туры по толщине полосы используем уравнение нестационарной

где «2 — коэффициент температуропроводности материала поло­ сы. Начальная температура полосы определяется по значению температуры полосы Тй перед входом в клеть с учетом приращения

81

температуры за счет работы деформации

формация; с — удельная теплоемкость; р — плотность материала полосы.

Значение г,, можно принять равным ее = In {Н^Н), где Нх — начальная толщина полосы перед обжатием. Значение ае опре­ деляется по величине ее из диаграммы напряжение — деформа­ ция, полученной при одноосном растяжении или сжатии при фик­ сированных значениях температуры и скорости деформации. При холодной прокатке существенно влияние упрочнения, а тем­ пература и скорость деформации практически не влияют на вели­ чину сг6. При горячей прокатке, проводимой в диапазоне темпера­ тур 800—1200° С, существенна зависимость ое от скорости дефор­

где сг0 — в0 (Т, ее) — эквивалентное напряжение при скорости деформации ё„; п = п (Т, ге) — показатель степени. Функция п линейна относительно температуры, а функция а0 нелинейно зависит от температуры и деформации и обычно дается в виде таблиц [14]. При расчетах на ЭВМ удобно иметь непрерывную функцию, которую можно представить в виде полинома с двумя независимыми переменными (Г, ее), аппроксимирующего таб­ личные данные [15]. Так как при горячей прокатке ое нелинейно зависит от температуры, то, подставляя (5) в (4), получим нели­ нейное уравнение для определения температуры полосы. После преобразований оно может быть представлено в следующем виде, удобном для решения графическим способом [13]:

Значение средней скорости деформации ге, входящей в уравнения (5), (6), находим по формуле А. И. Целикова [16]

где v — окружная скорость валка.

Левая часть уравнения (6) представляет нелинейную функцию температуры, которая может быть построена графически по не­ скольким значениям Т. Так как п — линейная функция темпера­ туры, то правая часть уравнения (6) графически изображается прямой линией, точка пересечения которой с кривой, представ-

82

ляющей левую часть уравнения (6), дает начальное значение тем­ пературы ПОЛОСЫ То.

Начальное температурное поле валка должно быть задано перед расчетом теплопередачи на первом обороте валка, а для каждого последующего оборота валка оно будет совпадать с рас­ пределением температуры, полученным расчетным путем в конце предыдущего оборота. Начальное распределение температуры по­ лосы остается неизменным на каждом обороте валка. Задачу расчета распределения температуры в валке и полосе удобно рас­ сматривать для одного теплового цикла, состоящего из периода контакта между валком и полосой и следующего за ним периода конвективного теплообмена. Длительность теплового цикла равна времени оборота валка t0 = 2nRlv. Номер теплового цикла i (или номер оборота валка, отсчитываемого с начала расчета) служит параметром, от которого зависит распределение температуры в валке и полосе. Начальные условия для валка для первого теп­

Граничные условия формулируются следующим образом. Так как валок принимается полуограниченным телом, то на некотором расстоянии, которое зависит от числа рассчитываемых тепловых циклов, в ралке сохраняется начальная температура и тепловой

ят

= 0> Т = тг, г > г * < д , o < c t< t0

для декартовых и полярных координат соответственно. Значения

83

х* или г* устанавливаются при предварительном расчете тепло­ передачи для заданного числа тепловых циклов. В центре полосы вследствие симметрии имеем адиабатическое условие

t0 на каждом тепловом цикле, то на поверхности полосы и на по­ верхности валка граничные условия меняются в течение цикла.

В период контакта между валком и полосой, длительность которого £i определяется скоростью вращения валка и длиной дуги контакта с деформируемой полосой, могут возникать два варианта граничных условий теплообмена — идеальный контакт с выде­ лением тепла от трения за счет проскальзывания полосы в зонах опережения и отставания и контакт между валком и полосой через термическое сопротивление, создаваемое при горячей прокатке

где fp — коэффициент пластического трения между валком и поло­ сой; vK — средняя скорость проскальзывания полосы в зонах опережения и отставания, которая усредняется по всей дуге кон­ такта; и Я2 — коэффициенты теплопроводности материалов вал­ ка и полосы.

Индексы 1 и 2 при производных относятся к валку и полосе соответственно. При холодной прокатке ае не зависит от темпе­ ратуры и тепловой поток от сил трения, входящий в левую часть условия (15), имеет постоянное значение. При горячей прокатке ае нелинейно зависит от температуры и граничное условие (15) оказывается нелинейным. При f p = 0 условие (15) переходит в гра­ ничное условие четвертого рода [17].

Термическое сопротивление приводит к скачку температуры между валком и полосой на их поверхности контакта. Пренебре­ гая толщиной пограничного слоя и его теплоемкостным сопро­ тивлением, получим

где R 0 — термическое сопротивление пограничного слоя; Т* — температура поверхности валка; Т** — температура поверхности полосы.

При R 0 О, Т* ->- Т** и граничное условие (16) переходит в граничное условие четвертого рода. Имеются эксперименталь­ ные давные по оценке термического сопротивления, создаваемо­

84

го тонким слоем окислов при обработке металлов давлением с вы­ сокой температурой нагрева заготовок [18]. При холодной про­ катке в режиме гидродинамического трения толщина смазочного слоя б может быть определена расчетным путем [6]. В этом случае значение термического сопротивления равно отношению R 0 = = 6/А', где Я' — коэффициент теплопроводности смазки.

После завершения периода контакта на остальной части тепло­ вого цикла принимается конвективный теплообмен с окружающей

где а — коэффициент теплоотдачи; 0 — температура окружающей среды.

В литературе имеются значения а применительно к холодной прокатке в зависимости от условий охлаждения валков [3]. При горячей прокатке можно учитывать зависимость а от температуры [13] или можно принять среднее значение а для предполагаемого диапазона изменения температуры. Значение а может меняться скачком в некоторый момент времени <2 (fx < 12< t0), при кото­ ром начинает действовать принудительное охлаждение поверхно­ сти валка смазочно-охлаждающей жидкостью

Граничные условия (15) — (17), сформулированные с учетом де­ картовых координат в валке, остаются справедливыми и для по­ лярных координат в валке с заменой х на г.

Описанная постановка задачи позволяет указать некоторый набор безразмерных параметров, зависящих от теплофизических и технологических условий прокатки. Будем считать, что началь­ ное значение температуры полосы с учетом выделения тепла от деформации предварительно вычислено по формуле (4) для холод­ ной прокатки или из уравнения (6) при горячей прокатке. В слу­ чае однородных начальных температурных полей и постоянных значений а1( а 2, принимая в качестве характерных величин Hi2, Тг, аг, Ах получим следующие безразмерные параметры за­ дачи: 1) отношение начальных температур валка и полосы Вг = = Ту/Т 2, 2) отношение коэффициентов температуропроводности В 2 = а2!аг\ 3) отношение коэффициентов теплопроводности В3 = = Я2/Ях; 4) безразмерный коэффициент конвективного теплооб­

мена В4 = ; 5) безразмерное время теплового цикла (одного

оборота валка) Въ= ; 6) отношение времени контакта валка с полосой ко времени теплового цикла Be = £х//0; 7) скачок

85

коэффициента теплоотдачи при охлаждении поверхности валка

В7

h (oti — eta)

toOLl

При постоянном значении термического сопротивления R 0и по­ стоянном значении о» (холодная прокатка) можно указать еще два безразмерных параметра: 8) тепловой поток от сил трения

процесс теплопередачи полностью характеризуется приведенными безразмерными параметрами, то результаты расчетов, выполнен­ ные для некоторых значений этих параметров, описывают все те процессы прокатки, в которых теплофизические и технологиче­ ские характеристики соответствуют этим значениям безразмерных параметров — критериев подобия. Однако при горячей прокатке при условии идеального теплового контакта и fp Ф 0 вследствие сложной нелинейной зависимости ое от температуры не удается получить достаточно малое число критериев подобия. В этом слу­ чае расчет проводится для набора размерных параметров конкрет­ ного процесса прокатки и представляет его математическую модель. Аналогичное замечание относится и к случаю зависимости коэф­ фициента теплоотдачи а от температуры.

Описанная выше задача решалась численным методом сеток на ЭВМ с использованием симметричной неявной разностной схе­ мы Кранка— Николсона и метода прогонки [19]. Свойство безу­ словной устойчивости этой разностной схемы позволяет приме­ нять различные шаги сетки по времени для периода контакта вал­ ка с полосой и периода конвективного теплообмена, которые при прокатке отличаются на несколько порядков.

Алгоритм реализован в ИМАШ на ЭВМ «Минск-32» в виде двух вариантов универсальных программ, написанных на алго­ ритмическом языке «Автокод — Инженер» (АКИ) и пред­ назначенных для расчета как холодной, так и горячей прокатки с различными граничными условиями на контакте валка с поло­ сой. В первом варианте программы используется уравнение тепло­ проводности (1) с декартовой координатой х для валка, а во вто­ ром — уравнение (2) с полярной координатой г. При прочих равных условиях второй вариант программы требует несколько больших затрат машинного времени. При выборе 10—12 простран­ ственных узлов в полосе, 300 пространственных узлов в валке и 50—60 шагов по времени среднее машинное время расчета темпе­ ратурного поля для одного теплового цикла на ЭВМ «Минск-32» составляло (30—40) сек. Сравнение численных результатов с точ­ ными аналитическими решениями [17] для периода контакта вал­ ка с полосой при идеальном тепловом контакте без трения и одно­ родных начальных температурных полях валка и полосы, а также для периода конвективного теплообмена полосы с окружающей средой при а = const и однородном начальном температурном

86

поле полосы показало, что погрешность численных результатов при указанных выше шагах сетки не превышает 0,5%. Так как температурные поля валка и полосы в изложенной выше постанов­ ке задачи зависят от большого числа параметров, то полгое иссле­ дование влияния этих параметров на температурный режим про­ катки представляет весьма трудоемкую самостоятельную задачу. Приводимые ниже результаты вычислений, показывающие воз­ можности разработанного алгоритма, выполнены для конкрет­ ных примеров холодной и горячей прокатки по исходным данным, представленным НИИТЯЖМаш Уралмашзавода.

При горячей прокатке расчеты проводились для первой после окалинолома клети чистовой группы полосового стана «1700». Приводим исходные данные для этой клети: радиус рабочего валка R = 325 мм, начальная толщина полосы Н 1 = 22,54 мм, толщина полосы после обжатия Н = 10,23 мм, материал полосы — сталь 08кп, температура полосы перед входом в клеть Т0 = =1000° С, материал валков — чугун хромоникелевый, скорость прокатки (окружная скорость поверхности валка v = 2 м/сек). Примем начальную температуру валка Тх = 60° С и коэффициент теплоотдачи при естественном охлаждении валка воздухом а =

=200 втп/м2град. Решая графически уравнение (6) при ее=1п-^- =

=0,793 и ё,е — 17,3 сект1 с использованием параметров зависи­

мости (5) для мягкой стали, приведенной в работе [14J, находим температуру полосы с учетом выделения тепла от работы деформа­ ции Т2 = 1025° С. Длительность теплового цикла (оборота валка) равна t0 = 1,02 сек; длительность периода контакта при заданном обжатии полосы tx = 0,032 сек; при условии, что нейтральное сечение находится в середине дуги контакта с полосой, средняя скорость проскальзывания полосы по поверхности валка равна vK — 0,436 м/сек. Теплофизические характеристики материалов валка и полосы находим по справочным данным [20]: ах =0,72 х

которое может соответствовать слою вторичной окалины между валком и полосой [18]. Для первого варианта граничных условий вследствие сложной нелинейной зависимости ае от температуры температурный режим прокатки не описывается достаточно малым числом безразмерных параметров. Для второго варианта Bs = 0, а для третьего В9 = 0,284. Расчеты проводились по варианту программы, в котором используются полярные координаты для валка.

87

Рис. 1. Горячая прокатка. Распределение температуры в валке для фикси­ рованного радиального направления в конце периода контакта (а) и в конце теплового цикла (б) для идеального теплового контакта между валком и полосой при fp = 0,15;

личением числа тепловых циклов наблюдается быстрое прогрева­ ние поверхностного слоя валка за счет передачи тепла от деформи­ руемой полосы, что приводит к увеличению температуры поверх­ ности валка как в конце периода контакта (см. рис. 1, а), так и в конце теплового цикла (см. рис. 1, б).

На рис. 2, а, б, в показано изменение во времени температуры поверхности валка для фиксированного с вращающимся валком радиального направления при различных номерах тепловых циклов. Наибольшие значения температуры поверхности валка соответствуют концу периода контакта с полосой. Случай идеаль­ ного теплового контакта при наличии трения (рис. 2, а) вызывает наибольший температурный перепад на поверхности валка в те­ чение теплового цикла и значительный температурный перепад в поверхностном слое валка в конце периода контакта с полосой. Термическое сопротивление значительно снижает эти перепады температуры (рис. 2, в).

С увеличением числа тепловых циклов максимальное и мини­ мальное значения температуры поверхности валка быстро прибли­ жаются к некоторым стационарным значениям (рис. 3). При пер­ вых тепловых циклах наблюдается быстрый рост максимальной и минимальной температуры поверхности валка. При идеальном тепловом контакте стационарные значения температуры достига­ ются через—60 тепловых циклов (рис. 3, а), а при термическом

88

сопротивлении максимальное и минимальное значения темпера­ туры приближаются к стационарным значениям через — 270 теп­ ловых циклов (рис. 3, б).

Результаты расчетов распределения температуры по толщине полосы (рис. 4) показали, что при всех трех вариантах условий теплообмена на границе контакта валка с полосой наблюдается снижение температуры поверхностных слоев ^полосы в конце пе­ риода контакта, во наибольшее снижение температуры лолуча-

89>