книги из ГПНТБ / Пластическое деформирование металлов [сборник статей]

Если же стенки вытяжного перехода имеют различные наклоны,, то внутри проема можно определить контур с равномерным рас­ пределением скоростей. В обоих случаях внутренняя граница поля скоростей на годографе отображается окружностью. Соот­ ветствующее этому граничному условию поле характеристик состоит из двух ортогональных семейств логарифмических спира­ лей. Так как граничные условия для скоростей задаются на непод­ вижном контуре проема матрицы, то годограф в процессе вытяжки

Рис. 3. Листовая заготовка в начале вытяжки. Стрелками показано направление напря­ жений и скоростей на контуре проема матрицы

а — контур проема матрицы; в — наружный контур заготовки; сd, ef ■— перетяжные ребра

не изменяется и процесс может рассматриваться как стационар­ ный. Если знаки главных нормальных напряжений различны, то при условии пластичности Сен-Венана толщина заготовки не изме­ няется. Все перемещения и деформации определяются из условия равенства площадей заготовки и вытяжного перехода.

4. Граничные условия для напряжений

Во избежание нежелательного перетекания металла вдоль кон­ тура проема а, показанного на рис. 3, напряжения должны распре­ деляться равномерно. На внешнем контуре заготовки одно из главных нормальных напряжений равно нулю, а второе пределу текучести. Для того чтобы обеспечить равномерное распределение напряжений на контуре проема матрицы, вводятся перетяжные ребра и пороги.

Вследствие постоянства напряжений на внешнем подвижном контуре заготовки напряженное состояние нестационарное. Одна­ ко нестационарная задача в рассматриваемом случае может быть сведена к автомодельной.

Для этого в качестве параметра принимается какой-либо харак­ терный размер, определяющий положение внешнего контура. На­ пример в случае осесимметричного процесса за параметр можно принять наружный радиус заготовки.

Тогда внешний контур заготовки в автомодельном движении является неподвижным, а контур проема матрицы подвижным.

10

к контуру; касательные напряжения отсутствуют. Величина нор­ мальных напряжений на контуре проема определяется из харак­ теристических соотношений Генки

где а тах — модуль наибольшего угла поворота касательной к ха­ рактеристикам. На тех участках поля, где модуль угла поворота

Рис. 5. Поле линий скольжения (а) и поле скоростей (б) для сложной вы­ тяжки при наличии касательных напряжений на вогнутом участке контура, проема матрицы

касательных к характеристикам меньше атах, предусматриваются перетяжные ребра, обеспечивающие постоянство ог по всему кон­ туру проема. На рис. 5, а перетяжные ребра показаны штрихпунктирными линиями е/ и gh.

На рис. 6 показано поле линий скольжения для контура прое­ ма с большей кривизной вогнутого участка сс'с'с, отделенного от выпуклой части отрезками прямых Ъс. При наличии контактного трения в промежуточной области Ъсс'Ъ' может возникнуть двухос­ ное растяжение, при котором основная система уравнений являет­ ся параболической. Единственная система характеристик в этом случае совпадает с траекториями нормальных напряжений, имею­ щими радиальные направления. Выбирая полярную систему ко­ ординат г, 0 с полюсом в точке 0, получим из условий равновесия и условия текучести а0 = 2к величину радиалыого напряжения на участке сс [5J

(2 1 )

где rt и га — радиусы окружностей с'с' и сс. В случае глубокой вы­ тяжки, во избежание разрывов заготовки должго выполняться

12

условие

(22)

где с — константа, определяемая опытным путем. Из условия те­ кучести и ассоциированного закона течения следует, что деформа­ ции в области ссс'с' равны

Следовательно, наличие вогнутого участка контура проема мат­ рицы приводит к нежелательному уменьшению толщины заготовки.

Рис. 6. Поле линий скольже­ ния при наличии двухосного растяжения на вогнутом уча­ стке

действующая сил, приложенных вдоль характеристики ЪЪ' со сто­ роны гиперболической области; В 0 — равнодействующая сил трения и реакций штампа, приложенных к промежуточной части заготовки. Из уравнения (24) следует, что равновесие промежу­ точного участка, разделяющего гиперболическую и параболиче­

скую области, возможно только при условии, что сила R 0 имеет тот же порядок, что и силы Вр и Bh. Давление прижимного коль­ ца на заготовку мало по сравнению с напряжениями, возникаю­ щими в сечениях заготовки.

Следовательно, область двухосного растяжения может воз­ никнуть только в том случае, если площадь промежуточного уча­ стка достаточно велика.

Напряженное состояние в промежуточной области определя­ ется распределением сил трения и реакцией со стороны части за­ готовки, втянутой в проем матрицы.

В заключение отметим, что методы расчета сложной вытяжки, основанные на построении полей напряжений и скоростей, нахо­ дят успешное применение в промышленности [6J.

13

6. Определение контура заготовки

Контур исходной заготовки определяется путем обращения движения. Задаваясь достнючно малым перемещением на контуре проема матрицы, пользуясь годографом, определяют соответствую­ щие перемещения наружного контура вытяжного перехода. Это построение повторяют до тех пор, пока сумма отдельных переме­ щений на контуре проема матрицы станет равной глубине вытяж­ ного перехода. Последнее построение дает контур заготовки.

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.А. Д . Томленое. Определение формы прижимных поверхностей сложных

вытяжных штампов.— Сб. «Пластическое формоизменение металлов».

М., «Наука», 1967.

2. Д . Д . Ивлев. Теория идеальной пластичности. М., Физматгиз, 1966.

3.Л. Фрейденталь, X. Гейриигер. Математические теории неупругой среды. М., Физматгиз, 1962.

4.А. Норден. Краткий курс дифференциальной геометрии. М., Физматгиз,

1958.

5. В. В. Соколовский. Теория пластичности. М., «Высшая школа», 1969.

6.Л. А. Рубенкова, В. В. Гайдук. Пластическое течение листового металла в процессе формообразования сложных деталей.— Машиноведение, 1972,

№6.

Е. М. ТРЕТЬЯКО В

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ ТОНКОЙ УПРОЧНЯЮЩЕЙСЯ ПОЛОСЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛОЩАДКИ ТЕКУЧЕСТИ

Для ряда процессов горячей и холодной тонколистовой про­ катки, ковки, объемной штамповки и калибровки топких загото­ вок характерно пластическое сжатие тонкой полосы, для которой отношение LjH ^> 1, где L — длина деформируемой полосы, Н — ее толщина.

Теоретической основой анализа процессов пластической дефор­ мации тонких заготовок служат решения теории пластичности о сжатии тонкой полосы. Классическое решение задачи о пласти­ ческом сжатии тонкой идеально пластической полосы было дано Л. Прандтлем [1—3J. В ряде процессов холодной пластической де­ формации заготовка деформируется с малыми величинами обжа­ тий. Это имеет место, например, при дрессировке листовых метал­ лов и калибровке. В таких процессах упругие деформации заготовки оказывают существенное влияние на характеристики процесса и точность получаемых изделий. Для анализа таких про­ цессов требуются решения двумерных упругопластических задач о

14

плоской деформации тонкой полосы. Решение задачи о сжатии тонкой упругой идеально пластической полосы между жесткими плитами приведено в работе [4]. Найдено распределение напряже­ ний и деформаций в упругой и пластической областях, по теореме о разгрузке определены остаточные напряжения в деформирован­ ной тонкой полосе и упругое изменение ее толщины при разгруз­ ке [5J. Когда упругая область становится пластической, то получен­ ное решение переходит в известное решение Прандтля о сжатии

пластически упрочняющегося материала, имеющего площад­ ку текучести

О

тонкой идеально пластической полосы. В работе [6J приведено ре­ шение задачи об упругопластическом сжатии тонкой полосы» упрочняющейся по степенному закону.

При холодной деформации металлов типа малоуглеродистой стали деформируемый металл имеет на диаграмме зависимости ин­ тенсивности напряжений о* от интенсивности деформаций ег площадку текучести (см. рис. 1). Исследование процесса деформа­ ции металла, обладающего площадкой текучести, представляет большой практический интерес. Это существенно, например, для исследования процессов калибровки и дрессировки малоуглероди­ стой стали типа 08КП, особенно для вопросов, связанных с иссле­ дованием напряженно-деформированного состояния заготовки и влияния параметров процессов на механические свойства получа­

ском деформировании металлов указанное условие выполняется с практически достаточной точностью для целого ряда нагружений [1—3]. Таким образом а; = ог (е,) — некоторая функция, харак­ терная для рассматриваемого материала. Так как вид этой функции не зависит от напряженного состояния, то ее обычно определяют по результатам опытов на одноосное растяжение или сжатие. При этом параметры, определяющие механические свойства ме­ таллов, находятся из условия наилучшего совпадения аппрокси­ мационной кривой О; = о, (е;) с экспериментальными данными.

Диаграмма зависимости а, = цг (ег) для упругого пластически упрочняющегося материала, имеющего площадку текучести, по­ казана на рис. 1. Аналитическая форма записи указанной кусочно

15

гладкой кривой Ot = о{ (ег) с участком степенного упрочнения определяется формулами

при 8 j< e s (з;< б 3): Oj = Еъ{,

при S; > вн (з,- > os): Oi = Ce™.

Напомним, что скалярные характеристики напряженно-де­ формированного состояния оi и 8j при плоской пластической де­ формации определяются формулами

отсутствии упругого изменения объема, формула (3) совпадает со значением интенсивности деформаций и в упругой области.

Таким образом диаграмма зависимости пг = at (ег), приведен­ ная на рис. 1, т. е. для материала, обладающего площадкой теку­ чести и степенным упрочнением, определяется четырьмя независи­ мыми параметрами: модулем упругости Е, пределом текучести as (или деформацией es), длиной площадки текучести, определяе­ мой интенсивностью деформаций еи, и показателем упрочнения п. Отметим, что указанная диаграмма зависимости а г = а г (ег) однозначно определяет интенсивность напряжений а г по интен­ сивности деформаций ег, но она не имеет взаимно однозначного характера вследствие наличия на ней площадки текучести.

Исходными уравнениями рассматриваемой задачи являются следующие.

Уравнения равновесия при плоской деформации имеют вид

где и и v — координаты перемещения точки по осям х жу прямо­ угольной декартовой системы координат.

16

В упругой области к этим уравнениям присоединяется закон Гука, связывающий напряжения с деформациями

из восьми уравнений с восемью неизвестными: ах, ау, хху, sx,

Oi = os = const. Из этого соотношения и формулы (2) следует хо­ рошо известное условие пластичности Мизеса для идеально пла­ стического материала, деформируемого в условиях плоской де­ формации

В пластической области, т. е. при ег (> в8, согласно деформа­ ционной теории пластичности девиаторы напряжений пропорцио­ нальны девиаторам деформаций, вследствие чего

Условие постоянства объема имеет место, строго говоря, лишь

для пластических составляющих деформаций с? и еу, а не для пол­ ных деформаций нх и еу, как это принято при записи формулы (10)- Но если пренебречь упругим изменением объема, т. е принять значение коэффициента Пуассона, равным 0,5, то условие посто­ янства объема (10) будет выполняться не только в пластической, но и в упругой областях. Последнее следует из формул (6), (10)

изакона Гука (7).

Впластической области уравнения (5), (9), (10) совместно с ус­

ловием пластичности (1) или (8) образуют систему из пяти уравне­

В задаче о сжатии тонкой полосы граничными условиями яв­ ляются (расположение координат показано на рис. 2)

где vK— нормальное контактное перемещение на поверхности полосы; тк — контактное касательное напряжение; р — натяже­ ние на краю полосы.

Согласно принципу Сен-Венана для тонкой полосы последне­ му граничному условию достаточно удовлетворить в интегральной форме

щественной для решения, т. к. натяжение легко вводится в реше­ ние путем наложения гидростатического давления.

В работе [4] построено решение об упругопластическом сжатии тонкой идеально пластической полосы, а в работе [61 получено та­ кое решение для пластически упрочняющейся полосы. Эти реше­ ния получены для значения коэффициента Пуассона v = 0,5 и удовлетворяют граничным условиям типа (11) и (12). Показано, что при значении коэффициента Пуассона v = 0,5 пластической течение тонкой упругой полосы начинается одновременно во всех точках контакта полосы со штампом, т. е. оно не зависит от абс­ циссы х рассматриваемой точки [4,7J. По мере увеличения обжатия пластические области распространяются к центру полосы, и для v = 0,5 получаются предельно простые границы раздела между упругими и пластическими областями, которые являются плоско­ стями параллельными поверхности деформирующих плит [5—7].

Решения для упругопластических полос в работах [4, 6, 7] построены «стыковкой» решений, полученных для упругих и пла­ стических областей. Стыковка решения осуществляется на основе условия непрерывности напряжений и перемещений при переходе через границу раздела упругих и пластических областей. Такой же метод будет применен и для построения решения задачи об уп­ ругопластическом сжатии тонкой упрочняющейся полосы при на­ личии площадки текучести на диаграмме зависимости о, = о* (ег) (см. рис. 1).

Для построения решения существенными являются следующие факты, вытекающие из полученных ранее решений для упругой, идеально пластической и пластически упрочняющейся тонких по­ лос [4—8j- 1) в деформируемой тонкой полосе при граничных ус­

18

ловиях (11) тху и v являются линейными функциями ординаты у; 2) интенсивность деформаций ег в тонкой полосе является моно­ тонной функцией, принимающей минимальное значение е,0 в цент­ ре полосы, т. е. при у — 0, а максимальное eim на поверхности кон­

такта, т. е. при у = + 4^- (см. рис. 2).

Значение интенсивности деформаций siQ в центре полосы, т. е- на оси симметрии у = 0, не зависит от величины контактного тре­ ния и механических свойств полосы [9J и определяется по формуле

имеет площадку текучести (см. рис. 1). Аналитическая форма за­

<e s , r s < &im eu, упругая идеально пластическая полоса, в

центральной части которой имеется упругая область; пластичес­ кие области, отвечающие условию текучести (8) для идеально плас­ тического металла, прилегают к контактным поверхностям г/=

ГГ

= + -^; 3) его > еи, полностью пластическая упрочняющаяся по­

пластически упрочняющихся областей.

Случаи 1 и 2, отвечающие упругой и упругой идеально пласти­ ческой тонким полосам, рассмотрены подробно в работах [8, 9]. Четвертому случаю отвечает классическое решение Прандтля о сжатии тонкой идеально пластической полосы. Остается рассмот­

19