книги из ГПНТБ / Леушин, А. И. Дуга горения. Свойства мощных дуг современных сталеплавильных печей

Применение методов математической статистики может оказать серьезную помощь исследователям для анализа осциллограмм тока п напряжения дуги и выявления су­ ществующих закономерностей.

Если раньше широко использовалась классическая тео­ рия ошибок, основанная на законе нормального распре­ деления и предусматривающая большое число измере­ ний, то с начала XX в. стало развиваться новое на­ правление— статистика малой выборки, или микростати­ стика.

В аналитической работе приходится обходиться сравни­ тельно небольшим числом измерений, которое можно рассматривать как случайную выборку из некоторого бесконечного множества (генеральной совокупности), являющегося математической моделью реально наблю­ даемых величин.

Задача сокращения информации с математической точ­ ки зрения сводится в этом случае к тому, что по выбор­ ке определяют некоторые величины (выборочную дис­ персию и среднее арифметическое значение случайной величины), которые являются оценкой неизвестных па­ раметров (соответственно дисперсии и математического ожидания).

Среди экспериментаторов распространено неправильное мнение о том, что математическая статистика примени­ ма только к большому цифровому материалу. Современ­ ная математическая статистика дает возможность оце­ нивать параметры генеральной совокупности и устанав­ ливать для них доверительные пределы даже по весьма малым выборкам — в некоторых случаях по одной реа­ лизации (осциллограмме).

Таким образом, математическая статистика, с одной сто­ роны, дает возможность компактным образом предста­ вить результаты эксперимента и, с другой стороны, поз­ воляет количественно оценить тот элемент сомнения, который сопутствует каждому эксперименту при малом числе опытов.

Статистика требует при сокращении информации оце­ нивать параметры генеральной совокупности по опреде­ ленной выборке и устанавливать доверительные интер­ валы иногда даже по результатам одного измерения. Результаты же одного измерения случайной выборки с определенной степенью доверия могут быть распростра-

200

Иены на всю генеральную совокупность исследуемого процесса.

Если перевести терминологию математической статисти­ ки на язык электротехники, то весь процесс изменения электрического режима горения дуги в печи можно трактовать как генеральную совокупность исследуемых величин. Под методом малой выборки надо понимать численные значения некоторой совокупности, а под из­

При переменном токе горение дуги и ее характеристики в условиях сталеплавильных печей непрерывно меняют­ ся. Процесс изменения электрических величин режима дуговой печи представляет собой периодический процесс изменения тока и напряжения дуги. Они происходят под действием периодического процесса режима генератора электрической станции. Период изменения тока и на­ пряжения при промышленной частоте составляет '/so се­ кунды. Назовем этот период микропроцессом, это и бу­ дет период кривых, записываемых осциллографом.

Таким образом, по осциллограмме как реализации со­ вокупности тока или напряжения, записанной для неко­ торого момента режима горения дуг, можно изучить весь процесс изменения токов дуги сталеплавильной пе­ чи, установить определенные закономерности в процессе их изменения.

При этом необходимо от описательного способа подтвер­ ждения гипотезы перейти к числовому описанию и вы­ полнить количественный анализ исследуемого процесса. Электрическая дуга в сталеплавильных печах — слож­ ный физический процесс непрерывного случайного изме­ нения состояния. Для описания этого процесса необхо­ димо использовать теоретико-вероятностный способ, а для анализа — методы математической статистики, при­ менительно к непрерывным случайным процессам.

Случайные процессы бывают двух типов: стационарные и нестационарные.

Стационарными случайными процессами называют та­ кие процессы, которые протекают во времени прибли­ зительно однородно и имеют вид непрерывных колеба­ ний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя аплитуда, ни характер этих колебаний не обна­ руживают существенных изменений с течением времени.

При исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя этот процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики.

Нестационарный случайный процесс имеет определен­ ную тенденцию развития во времени. На характеристи­ ки такого процесса влияет момент начала отсчета, т. е. они зависят от времени.

Применительно к режиму горения дуг в сталеплавиль­ ных печах стационарным случайным процессом, очевид­ но, будет режим нормального спокойного горения дуг. При различного рода обрывах горения дуг и коротких замыканиях имеет место нестационарный случайный процесс.

Поскольку случайный процесс является стационарным и протекает однородно во времени, то одна единствен­ ная реализация достаточной продолжительности может служить достаточным опытным материалом для получе­ ния характеристик случайной функции.

Если взять случайную функцию Х(х), то каждая из ее реализаций будет обладать одним и тем же средним значением, вокруг которого происходят колебания, и средним размахом этих колебаний. Очевидно, при до­ статочно большой величине Т эта одна реализация смо­ жет дать хорошее представление о свойствах случайной функции в целом.

Про такую случайную функцию говорят, что она обла­ дает эрготическим свойством.

Эрготическое свойство состоит в том, что каждая от­ дельная реализация случайной функции является «пол­ номочным представителем» всей совокупности возмож­ ных состояний или реализаций. Одна реализация доста­ точной продолжительности может заменить при обработке множество реализаций той же общей продол­ жительности.

Случайные стационарные функции электрического режи­ ма нормального горения дуги будут обладать эрготиче­ ским свойством, и анализ таких функций может быть выполнен по одной реализации их совокупности.

Случайные функции электрического режима при обры­ ве горения дуг не будут обладать эрготическим свойст­ вом, и полный анализ таких функций нельзя выполнить по одной реализации их совокупности. Рассмотрение

202

прерывистого режима можно ограничить анализом од­ ной реализации данного режима горения дуги лишь для

Дуг.

Для выявления электрических характеристик дуги в ста­ леплавильных печах необходимо выбрать необходимые реализации из всей совокупности режима дуг. Очевид­ но, такими реализациями могут являться кривые тока и напряжения, дуги, записанные с помощью осциллогра­ фа, так называемые осциллограммы.

Записав эти кривые как случайные функции электричес­ кого режима горения дуг, обладающих эрготическим

ностях исследуемого процесса и выявить электрические характеристики дуги горения.

ДЕЙСТВУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ КРИВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКА ДУГИ

При строгом анализе электрических цепей, содержащих электрические дуги, кривые напряжений и токов долж­ ны быть приняты несинусоидальными и несимметрич­ ными.

В обычных же исследованиях для облегчения расчетов формы этих кривых заменяют прямоугольными, трапе­ цеидальными или эквивалентными синусоидальными. Точность замены одних кривых другими при этом обыч­ но не указывают.

Возьмем одну типичную несинусоидальную кривую на^ пряжения дуги и выявим точность замены ее другими формами кривых (рис. 48).

Для возможности сравнения различных форм кривых с несинусоидальными кривыми напряжения дуги опре­ делим действующее значение кривой, записанной непо­ средственно осциллографом.

Учитывая, что кривые напряжения дуги имеют несинусоидальную и несимметричную форму, разложим каж-. дый полупериод этих кривых на гармонические состав­ ляющие в ряд Фурье.

t

Амплитуды и углы сдвига определяем по формулам:

A k = VК +А"к * % = a r c t g A l J A k •

После нахождения амплитудного значения каждой гар­ моники найдем действующее значение гармоник напря­ жения дуги:

и действующее значение несинусоидальной кривой на­ пряжения как корень квадратный из суммы действую­ щих значений отдельных гармоник

и = •/ щ + щ + щ+^ + щ

После разложения кривой напряжения дуги, представ­

При замене несинусоидальной формы кривой другими формами кривых должна быть соблюдена эквивалент­ ность преобразования, т. е. равенство площадей, ограни­ ченных данными кривыми и осью абсцисс.

Для определения площади, ограниченной несинусои­ дальной формой кривой и осью, необходимо воспользо* ваться планиметром и по эквивалентности площадей найти значение высот различных форм кривых.

204

Так, площадь кривой несинусоидальной формы, опреде­ ленная планиметром, составила

Р = с{пх — п2) = 143,5 см2,

Полупериод несинусоидалы-юй кривой я равен 14,7 см. Отсюда высота прямоугольника, эквивалентного по пло­ щади фигуре, ограниченной осью абсцисс и несинусои­

Если высоту прямоугольника /г=9,78 см принять за среднее значение эквивалентной синусоиды кривой на­ пряжения дуги, то, следовательно, амплитудное значе­ ние ее составит

^тах = t/cp/0,638 = 15,32 еж, или 53,5 б.

Для определения действующего значения эквивалентных несинусоидальных кривых необходимо разложить их на гармонические составляющие. Аналитическое выраже­ ние кривой прямоугольной формы в виде ряда Фурье имеет вид

максимальная ордината кривой. Амплитуда третьей гармоники составляет 33,3, пятой 20% от амплитуды основной синусоиды и т.д.

205

ТОЧНОСТЬ ЗАМЕНЫ НЕСИНУСОИДАЛЬНОЙ КРИВОЙ НАПРЯЖЕНИЯ

ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ КРИВЫМИ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ

Д ля определения точности замены несинусоидальной кривой напряжения дуги эквивалентными кривыми раз­ личных форм проведем сопоставления ранее полученных результатов определения действующего значения за пер­ вый полупериод кривой.

Если действующее значение несинусоидальной кривой

кривая, эквивалентная синусоидальной кривой, за пер­

то же, за второй полупериод Д £ / = — 0,69%.

Таким образом, можно считать обоснованным, что за­ мена несинусоидальной кривой напряжения дуги может быть с точностью до 10% сделана трапецеидальной пря­ моугольной и эквивалентной синусоидальной кривыми. Из них наиболее точные результаты (до 2,1%) обеспе­ чивает замена эквивалентной синусоидальной кривой.

Приведенная точность замены несинусоидальной кривой напряжения другими формами кривых дана для нор­ мального режима горения дуг. Замена же несинусои-

2Q7

дальной формы кривой напряжения душ другими фор­ мами кривых для прерывистого режима горения дуг вообще недопустима. Разница замены кривых в этом случае составляет 20—25%- При наиболее точных рас­ четах нельзя заменять несинусоидальную кривую напря­ жения кривой прямоугольной формы. В этом случае не­ обходимо применять разложение экспериментально по­ лученной кривой напряжения на гармонические состав­ ляющие.

Рассмотрим вопрос о допустимом числе гармоник и наи­ более быстром способе разложения несинусоидальных кривых.

Точность синтеза разлагаемых в ряд гармоник будет тем выше, чем больше число гармоник. Но с увеличени­ ем числа гармоник возрастает трудоемкость анализа, а целесообразная точность синтеза не достигается. Ис­ пользование разработанных упрощающих методов раз­ ложения с помощью шаблонов, группировок, гармоанализаторов и т.д. снижает трудоемкость работы по раз­ ложению, но приводит к дополнительным неточностям. Обычно при разложении несинусоидальных кривых на­ пряжения дуги принимаются во внимание только нечет­ ные гармоники, а четные обычно не учитываются. Но при точном исследовании несинусоидальные кривые дол­ жны быть разложены как на нечетные, так и на четные гармоники.

кривой напряжения [/=21,27 в, тогда действующее зна­ чение первой гармоники составит £7i = 16,3 в, или 76,2%, второй 11,7 в, или 557о, третьей 2,67 в, или 12,55%, чет­ вертой 2,86 в, или 13,5%, пятой 1,8 в, или 8,5%.

Определим действующее значение напряжения, получен­ ного в результате разложения кривой только на 5 гар­ моник. Оно оказалось равным:

^ 1 _ 5 = У266 + 137 + 7,1 Н- 8,25 + 3,98 = 20,6 в, что составляет 97% действующего значения иесинусон-

208

дальной кривой напряжения, определенного на основа­

Если же учесть еще данные с учетом шестой и седьмой гармоник, то действующее значение синтезированной кривой составит 98,2% от действующего значения неси­ нусоидальной кривой.

Дальнейшее увеличение числа гармоник нецелесообраз­ но. Разложение кривых любой формы на семь гармо­ ник методом непосредственного разложения не пред­ ставляет большой сложности. Оно может быть выполне­ но быстро, с надлежащей точностью и применено для разложения кривых любых форм на высшие гармониче­ ские составляющие.

МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ

Анализ мощности электрической дуги выполнен А. И. Леушиным двумя способами: по гармоническим составля­ ющим тока и напряжения дуги и непосредственно по мгновенным значениям кривых тока и напряжения дуги. По первому способу активная мощность при несинусои­ дальных кривых напряжения и тока равна сумме актив­ ных мощностей отдельных гармоник, или

209