книги из ГПНТБ / Левитский, Г. Е. Распространение радиоволн

тогда

Ых—

ofé

и пределы интегрирования по новой переменной ~L

окажется

равными:

<*ѵ = ( % - * • )

о н

Переходя в (17) к'переменной "6 , получим:

і.

— А . ___

_. . . ж

.» -

Умножив и разделив интегралы в правой части на y jr

применим

к ним формулу (16),

положив в ней последовательно

Z=<Xz и

Z - o f , , найдем:

где

<7

и <7

( І 9 >

Подставляя найдеиные значения

в (15), полу-

чим искоиое значение интеграла

7 :

з Х * > №

7

/ А у , / ' * *

J j }

7

' т 'Ы

О, в,

Напомним,

что в этой формуле

Х0 ъ у0 -координаты точки

СГЗ),

а величины оі) , с(г

,J3

и

вычисляются по формулам

(18)

и(19) соответственно.

Формула (20) дает

значение интеграла 7, вычисленного по ме­

тоду стационарной фазы.

В частном случае,

когда:

az =S2 - ° °

и <а, = $t = - <=х>

формулу (19) можно упростить.

В этом случае из

(18) и

(19)

получим:

Подставляя эначения

в (20)^ получим:

V V

(м, M'J+ « lr ( M , M

1 = 0

Ca)

во всех точках

М', кроив точки

U-

условию: Ч >(Ң М ')-+£ при

М '~ ^ М

f z = M M ) .

(б)

Оказывается, что в случае?когда

«5

представляет

собой плоскость

$ п

возиожио существенное

упрощение

.формулы

Кирхгофа (22). Воэможиостя эта

заключается в той,

что функция

У

в формуле

(22)

ие определена однозначно.

Действительно,

если в качестве функции У (М^М)

взять функцию

'& fM .M j

, которая

удовлетворяет „

условиям

(а)

и (б) и одновременно с этим обращается в

нуль на

s5

:

W ( M , M j = 0 ,

■если

М

на

S }

(в)

Заметим, что функция

М ) , удовлетворяющая

условиям (а),(б), и (в),получила наименование функции

Грина.

Построение функций Грина для поверхностей S

слож­

ной формы представляет собой очень,трудную задачу,

а сами

функции оказываются чрезвычайно сложными и лишь в частном

случае, когда

%)~$п —

/

плоскость, функция Грина проста.

Убедимся в этсмТІ для чего

построим функцию:

-ІКІ

СКс

(2 4 )S3

е_

•fr

г

где 2= MM'у

2"= МІ?М'}

М, —зеркальное изображение точки II в

плоскости

$ п

(рис. I I ) .

Докажем,

что функция ^ (М , М )

, определяемая

равенством

( 3

t удовлетворяет

условиям

(а),(б) и (в)

и,

следовательно,является функцией Грина для плоскости.

'

-ІК£

-ikt'

в уравнение

(а),

Подставляя функции

и

ворять и разность:

—

—

- р

, т. е.

функція

(условие

(а)).

Когда

М

О,

а

Z* к конечной величине,

а'это

означает,

что

в пределе

при

<= '

“ О

можно

пронебречь величиной

е

‘**

в сравнении

с

JL

и мы

г'

г

получим:

/

Ф (м г м

) -

"£н).

^7,когда М*~^М (условие

наконец,

когда

М'

находится

на

S ,

как

видно

из рис.

(II) , S’ -

и

X

п

&

М

= о

при

М * яа

(условие

"в").

Таким образом,

построенная нами функция

{У (М ,М ,І

действительно является функцией Грина для плоскости.

Вычислим

Э ^М )М '}

при

М ' на

дп

Проще всего

это сделать,

если ввести

\

декартову

систему координат,

как показано

на рис.

ІІ> и представить

ф .

как функцию

X)

і?.

В э т о й

системе M (0 ,0 ,Z o ),

Тогда

с помощью формулы, определявшей расстояние между

двумя

точками,

найдем;

Из рис II. видно, что

---- ■

Здесь и в дальнейшем будем полагать, что /Г? и Kt'

.

-і/сг'і

в

Эг'і

г'

ß ß

Э ?

Z-zEc

Э г

d z

н

дг' -г +Zo

d z

~

г"

‘

Подставляя найденные значения производных в

выражения для

дф(М,МЧ 7получим:

Эп

.

д

ф

М

, г

Ш - ъ ) в "

fjf-A j е

у .

----- -----------------------------------------------------------

/

При' Д /'

на

,5/р ? т .е . для точки

А /у ,

2"=

и из

последнего равенства следует:

-скг

дЩМ>МІІ= -2ск-^г -cofoC.

д п

%'п

Jb.=zCZ>Scé

Здесь учтено,

что

(рис. I I ) .

Подотавжв

значения Ь-і— і— -в

z

получим

упрощенную

(23;

f

формулу Кирхгофа для

an

плоскости:

и ( м ) = 4±

% № ) ■ т

'<*•

(25)

'Js ,

ИЪ У? •.

применимую рри

выполнении условия:

Рис. / 2

,

£)~0Ң ^ОиМ, -лроелціМ /мх/ем

Ді/ f l не/ S caomße/rtcméet/tw.

flA

- высота аніеннн над

поверхность'!)

земли;

L

- наибольший линейный размер антенны.

Будем предполагать, что выполняется условия:

h/t >?Л

и

.

(26)