книги из ГПНТБ / Кулесский, Р. А. электропривод постоянного тока с цифровым управлением

ношении полосы частот Rx(t), Ry(t) и полосы пропуска­ ния фильтра (4-39). Если соотношение, иллюстрируемое кривыми на рис. 4-2, не выполняется, то Ф(р) должна определяться согласно (2-98) и процедура определения

Рис. 4-2. Амплитудная частотная

№д(р), ТС'ф(р) повторяется. В данном примере примем Ф(/?) = 1, что справедливо для большинства практиче­ ских случаев. Перейдем к определению принципиального решения для G(p). Подставляя IWw(p) и Н(р) из (4-36) и (4-9) при Ф(р) = 1 в (4-32), получаем:

а >

Здесь

(4-41)

Согласно (3-34) представляет К(р) ів виде произве­ дения К~{р) и К+(р), где

К- ( р ) = - f i - ^ - 2 .6 'Ьа3 + 3,416Ѵ-2,616Ѵ+&^ . ^ ^

А«Ра

Для определения R(p) необходимо выбрать эталон­ ную систему. Как указывалось в § 3-1, выбор эталонной системы должен осуществляться исходя из требуемого качества отработки полезного сигнала. Примем в каче­ стве эталонной идеальную по отношению к полезному сигналу систему с передаточной функцией W3(p) = L Подставляя ее в (4-33), находим:

140

Далее записываем выражение для R(p)/K~(p) и, раз­ лагая его на простые дроби в соответствии с (3-34), по­ лучаем:

Выражение (4-47) определяет принципиальное реше­ ние для G(p). Здесь неопределенным остается значение постоянной времени т=Ь~1, являющейся функцией неоп­ ределенного множителя г (4-41), который должен выби­ раться согласно (4-2), исходя из ограничения М[і2(£)]. Выразим М[і2(/)] через найденное решение для G(p). Подставляя (4-47) и F(p)=H(p) в (4-37), получаем:

гд е

hi(ia) = т 4 (/со) 4 + 2,61т3(ісо)3 +

+ 3,41 т2(гсо)2+2,61т(ісо) + 1.

Пользуясь для вычисления этого интеграла формула­ ми табл. 3-1, находим:

X-5. (4-49)

Р«а Приравнивая (4-49) i^on, получаем:

(4-50)

141

Здесь So должно быть представлено в относительных единицах. Для этого вычисленное по формуле (2-95) зна­

функция разомкнутой оптимальной системы рис. 4 - 1 бу­

дет иметь вид:

Рис. 4-3. ЛАЧХ разомкнутых систем с оптимальными регу­ ляторами положения.

Передаточная функция оптимального регулятора по­ ложения может быть определена из соотношения

kp,.n*W-p.a (p )W 0 ( p ) = J ( p ) ,

142

Подставляя в него / (р) и tѴ0(р) из (4-51) и (4-3), находим:

Выражение (4-52) сложно для реализации. С целью упрощения примем 47^ = 0,77 т. Тогда вторым сомножи­ телем в (4-5'2) можно пренебречь и передаточная функ­ ция регулятора положения принимает вид:

Погрешность при переходе от (4-52) к (4-53), как следует из сравнения кривых 1 и 2 на рис. 4-4, незначи-

Рис. 4-4. Переходные процес­ сы отработки сигнала W(t)

в системе рис. 4-1.

ЩІ).

тельна. Согласно (4-53) оптимальный регулятор является интегрально-пропорциональным и по условию — цифро­ вым, т. е. Wa(p) = 0 и

Чтобы избежать необходимости осуществления опе­ раций умножения в цифровой форме, принимаем соглас­ но (2-4):

W ^ ( p ) ^ l 3 ß T J T n; Г Д1(р ) = 1;

Ц7ф2( р ) = 1 / Г и; Г д (р ) = 1/р.

143

При этом очевидно, что и?*ді (г) = 1 . Определение

как отмечалось в § 2-1 и 2-7, должно произво­ диться из условия обеспечения эквивалентности переда­

Выражение (4-56) для передаточной функции цифро­ вого интегратора пояснялось в примере 2-1. Реализация его требует запоминания предыдущих значений сигналов рассогласования и выходного цифрового интегратора. Более простой вариант построения цифрового интегра­ тора, требующий запоминания только предыдущего зна­ чения одного выходного сигнала, характеризуется пере­ даточной функцией (1-5) и получил широкое использова­ ние на практике. Для лучшего приближения свойств цифрового и аналогового интеграторов, используя ап­ проксимацию Пада [Л. 38], можно представить етР в виде

с (4-56) ЦВУ должно содержать дополнительный сумма­ тор. Возможны и более сложные цифровые интеграторы [Л. 1, 2], т. е. лучшее приближение свойств цифрового и аналогового интеграторов достигается путем усложнения ЦВУ. Выбор того или иного способа реализации цифро­ вого интегратора лучше производить на этапе уточнен­ ного анализа из компромисса между сложностью по­ строения ЦВУ и величиной эффекта, достигаемого этим усложнением. Особенно удобен при этом метод матема­ тического моделирования на цифровых и цифро-аналого­ вых вычислительных машинах.

144

Рассмотренный в данном параграфе синтез регулято­ ра положения справедлив при условии Ф (/?) = ] и \Ѵэ(р) = \. Для других выражении Ф(р) и ином выборе передаточной функции эталонной системы определение G(p) производится аналогично по (3-34), (4-32) и (4-33)

4-4. СИНТЕЗ ЦИФРО-АНАЛОГОВОГО РЕГУЛЯТОРА ПОЛОЖЕНИЯ

В соответствии с изложенным в § 4-2 синтез опти • мальной передаточной функции цифро-аналогового регу­ лятора должен производиться на основе (3-34), (4-34) и (4-35). Примем и в этом случае передаточную функцию эталонной системы Wa(p) — 1, выбрав в качестве эталон­ ной идеальную по отношению к полезному сигналу си­

Отсюда можно заключить, что наличие помех кванто­ вания на входе цифрового регулятора не накладывает ограничений на структуру системы управления. Дейст­ вительно, передаточная функция оптимальной системы может быть выбрана равной передаточной функции эта­ лонной системы. При этом ограничение М{і2(^)] обеспе­ чивается соответствующим выбором Wa(p). Выбор струк­ туры в этом случае должен осуществляться на основе детерминистского подхода, изложенного в гл. 3. Ход ре­ шения при этом включает в себя: 1 ) определение прин­

ципиального решения для G(p)\ 2) расчет параметров G(p), обеспечивающих допустимое в соответствии с (4-2) значение M[t2(/)].

Перейдем к решению этой задачи. Пусть передаточ­ ная функция замкнутого контура регулирования скоро­ сти, как и прежде, определяется (4-38). Зададим соглас­

G(p), 7 * 3 определим из условия Mi[i2(^)] = i2ÄOn. Ограниче­

ние М[і2(^)] обеспечивается ограничением полосы пропу­ скания замкнутой системы. При этом энергия, расходуе­ мая в силовой части электропривода, при каждом значе­ нии полезного сигнала также будет определяться полосой пропускания. Таким образом, в (3-72) величина Л3

косвенно задается из условия ограничения флюктуаций

тока якоря, вызванных действием гіомек квантования. Значения А3, соответствующие различным параметрам полезного сигнала, образуют некоторую область значе­ ний, которую мы назвали допустимой. При этом опти­ мальноспроектированный электропривод при любом ко­ личестве расходуемой энергии из допустимой области значений обеспечивает наилучшее приближение процесса отработки к процессу в эталонной системе.

Найдем принципиальное решение для G(p). Подстав­

где т = 1 /2 Ь.

В (4-65) т является функцией г3, как это следует из (4-60). Выбор г3, а следовательно, и т должен произво­ диться из условия ограничения флюктуаций тока якоря согласно (4-2). Выразим M[i2{t)] через найденное реше­ ние для G(p) с помощью (4-37). Для этого сначала най-

146

дем выражение для W4(p)— WR(p)W<b(p). Передаточная функция разомкнутой оптимальной системы при G(p) в виде (4-65) определяется (3-53). Тогда передаточная функция регулятора может быть найдена из (3-82) при подстановке Ф(р) и lFKC(p) из (3-53) и (4-38).

Согласно (4-66) оптимальный регулятор положения является ПИД регулятором. В соответствии с изложен­ ным в § 2 - 1 в цифровой форме должна вычисляться ин­

тегральная составляющая, в связи с чем принимаем:

где

и—‘ k . С *

Выбирая, как и в § 4-3, Ф(р) = 1, подставляем Ф(р), Ц7ц(р), W0(p) и Н(р) из (4-67), (4-8), (4-9) и (4-38) в (4-13). После вычисления и подстановки F(p) в (4-37), находим:

І6 *д.п. W

Пользуясь для вычисления этого интеграла формула­ ми табл. 3-1, получаем:

А(2Т^ + х)

(4-69)

тз (в^ + ^Г^ + т*)

Искомое значение т, соответствующее допустимому

уровню флюктуаций тока якоря, определяется из уравне­

ния M\P(t)\ = '? , которое в соответствии с (4-69) при­

Согласно правила Декарта уравнение (4-70) имеет один положительный корень, значение которого и опре­ деляет искомую величину т. Так как это уравнение не может быть разрешено в общем виде, для определения т необходимо использовать приближенные методы.

Пример 4-2. Определим значение -с, соответствующее ограниче­

ное 0,095 с. Подставляя т=0,095 с в (3-53), определяем передаточ­ ную функцию разомкнутой оптимальной системы:

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) L(co) =20 lg |7(im) | изображена на рис. 4-3 (кривая 2).

Сравнение частотных характеристик оптимальных систем, представ­ ленных на рис. 4-3, показывает, что использование цифро-аналогово­ го регулятора позволяет при той же заданной степени влияния по. мех квантования обеспечить существенно более широкую полосу пропускания. При этом быстродействие системы с цифро-аналоговым регулятором по сравнению с системой, имеющей цифровой регуля­ тор, возрастает примерно в 2 раза.

Согласно (4-66) регулятор положения является ПИД

ния, определяющая статическую точность, должна вы­ числяться в цифровой форме, а пропорциональная и диф­ ференциальная— в аналоговой. Целесообразно принять

ѴРф(р) = \ / Т а, г д е Ги определяется (4-67), а WR(p) = \/p.

Определение W*R(z) в соответствии с отмеченным в §2-1 и 2-7 должно производиться из условия обеспечения эквивалентности передаточных функций WR(p) и Ц7*д(г). Некоторые способы выбора Т57*д(;г) рассмотрены в § 4-3. Детальное исследование вариантов построения цифровых интеграторов из условия эквивалентности их свойств не­ прерывным интеграторам дается в {Л. 1 , 2 ].

148

Так как (4-66) для Wixri(p) структурно не отличается от Wp,c (p) (4-56), то схема аналогового ПД регулятора положения в принципе не отличается от схемы регуля­ тора скорости. Разница будет заключаться лишь в их параметрах. Поэтому все изложенное по этому вопросу в § 3-3 будет справедливо и здесь. Схемная реализация аналоговых регуляторов детально изложена в [Л. 10, 11, 16, 17].

На рис. 4-4 представлен переходный процесс отра­ ботки полезного сигнала в системе по рис. 4-1 с опти­ мальным регулятором (4-66). Сравнение кривых пере­ ходных процессов, соответствующих оптимально спроекти­ рованным цифровому и цифро-аналоговому регуляторам (кривые 1 и 3), наглядно иллюстрирует преимущест­ ва последнего. Необходимо, однако, отметить, что ис­ пользованный при синтезе цифро-аналоговых регулято­ ров подход предполагает, что уровень помех аналоговых датчиков неизмеримо меньше, чем помех квантования. При большом уровне помех аналоговых датчиков необхо­ димо будет сужать полосу пропускания системы и тогда соотношение кривых переходных процессов на рис. 4-4 не будет столь существенным.

Значение -г промышленных позиционных приводов не удается получить менее (0,04-4-0,06) с. Поэтому если при расчете по (4-70), где х определяется с учетом влияния только помех квантования, значение его будет меньше, то это лишь будет говорить о практически несуществен­ ном влиянии помех квантования и необходимости учета помех аналоговых датчиков. Подход к проектированию при учете последних, изложенный в § 3-5, может быть использован и здесь.

4-5. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ КВАНТОВАНИЯ ПО ВРЕМЕНИ

■При выборе типа дискретных элементов для построения узлов АЦП и ЦВУ, исходя из допустимой степени влияния квантования по времени, необходимо знать допустимое значение периода преры­ вания Т. Для определения его требуется осуществить проверку вы­

полнения неравенства (4-3). Такая проверка может потребоваться и для подтверждения корректности расчета, выполненного согласно методике, изложенной в § 4-2. Проверку (4-3) на основе определе­ ния сос.т, данного в § 4-1, осуществить трудно. Это связано с тем, что выбор степени приближения нулю амплитудной частотной ха­ рактеристики, определяющей сос.т, достаточно произволен, так как лишь косвенно оценивает влияние квантования по времени на про­ цессы в системе. Целесообразно поэтому для ряда типовых структур оптимальных систем, в том числе характеризующихся (4-47) и

149