книги из ГПНТБ / Кулесский, Р. А. электропривод постоянного тока с цифровым управлением

влияния помех Q{t). На основании принципа суперпози­ ции запишем:

y(t) —t)w (t) +«/Q(0 .

где Ljw(t), г/Q ( /) — реакции системы рис. 2-23,6 соответ­ ственно на W(t) и Q(t).

Подобно рассмотренному в § 3-1 качество отработки полезного сигнала можно оценивать значением интеграла

процесса отработки сигнала W(t) к желаемому процессу

ветствии с этим за критерий качества можно принять ми­ нимум интеграла (4-1) при ограничении среднего уровня

Следует отметить, что ограничение М[і2(/)] не только улучшает энергетические характеристики электроприво­ да, но также снижает вероятность значительных по ве­ личине скачков ускорения, приводящих к механическим ударам в передаче, т. е. повышает надежность работы электропривода.

Структурная схема рис. 2-23,6 была разработана для следящего электропривода, хотя, как отмечено в § 2 -6 ,

она принципиально может быть распространена и на программный электропривод при некоторых типах по­ лезных сигналов. Однако такой привод детально не ис­ следовался, поэтому ниже все изложение будем строить применительно к следящему электроприводу. Примем, что период прерывания Т удовлетворяет неравенству

где Ы .т — значение частоты, выше которой амплитудная частотная характеристика, определяемая как отношение амплитуды синусоидальных колебаний тока якоря к амп­ литуде задающих колебаний, приложенных к точке дей­ ствия помех, близка к нулю.

При выполнении (4-3) в соответствии с теоремой Ко­ тельникова (Л. 1] можно пренебречь импульсным харак-

130

те р е м сигналов в схеме рис. 2-23,6 и перейти для подав­ ляющего большинства промышленных электроприводов к структурной схеме рнс. 4-1. Действительно, при приня­ том в настоящее время подходе к проектированию вен­ тильных электроприводов верхнюю границу полосы про­ пускания контура регулирования тока якоря ограничи­

период прерывания основных аналого-цифровых преоб­ разователей позиционных электроприводов, как отмечено в § 1-5, не превышает 0,01 с. Вместе с тем после прибли­ женного синтеза может быть осуществлена проверка вы­ полнения (4-3) при окончательных значениях параметров регулятора. Для некоторых типовых решений допусти­ мые из удовлетворения (4-3) соотношения между пери­ одом прерывания и значениями параметров регулятора приводятся в § 4-6.

В соответствии с (4-2) искомый оптимальный регу­ лятор в системе рис. 4-1 обеспечивает наилучшее при­ ближение процесса отработки полезного сигнала к же­

лезпый сигнал W(t) согласно формулировке критерия качества (4-'2) используется как «пробный» для про­ верки степени приближения проектируемой системы к эталонной. В силу линейности обеих систем по условию целесообразно зафиксировать значение и, приняв его для наиболее тяжелого случая равным 1. Значениями ц и ѵ/2 в выражении для W(t) (см. § 2 -6 ) можно пренебречь.

Погрешность, вносимая при этом, не преззойдет допусти­ мой статической, а с точки зрения сравнения эталонной и проектируемой систем еще меньше. Тогда

Значения \ \ и М[і2(/)] в (4-2) при заданных харак­ теристиках объекта управления и известных характери­ стиках W(t), Rx{t) и Ry(t) зависят от весовой ^(т) или передаточной G(p) функций системы рис. 4-1. Определе­ ние g(x) и G(p), обеспечивающих выполнение (4-2), представляет собой задачу на условный экстремум, кото­ рая решается ниже методами классического вариацион­ ного исчисления. Искомое выражение весовой шр(т) или передаточной Wp(p) функций регулятора при известных g(i), G(p) определяется однозначно.

Перейдем к выводу уравнений, определяющих опти­ мальную в соответствии с (4-2) систему управления элек­ троприводом, характеризующуюся передаточной функци­ ей регулятора Wv {p) = W a(p) + W R(p)Wlb(p).

4-2. УРАВНЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ОПТИМАЛЬНЫЙ СЛЕДЯЩИЙ ЭЛЕКТРОПРИВОД

к определению условий существования безусловного экс­ тремума. Ход решения вначале включает определение принципиального решения для g( т) или G(p), достав-

132

Мющих минимум (4-5) при неопределенном значении При этом g(x) и G(p) являются функциями множителя г. Значение последнего определяется затем из дополни­ тельного условия M[i2 (Z)]= і2Д0П, после чего g( т) и G{p)

получают свой окончательный вид, однозначно опреде­

системы рис. 4-1. Для этого сначала найдем изображе­

Подставляя (4-11) в (4-9), получаем:

L(P) = G (р) ф (р) Н (р) X

X WAwJ p ) {P) ■Е (Р) = °(Р)р (Р) Е (Р)- (4-12)

Отметим, что при чисто цифровом регуляторе поло­ жения Wn(p) = 0 и Wv (p) =ѴРл(р)Ѵ?ф(р). При этом Л(р)=Я(р)Ф'(р).

133

ЕСЛИ №а ( р ) # '0 то определяя \Wp(p) из соотношения

H подставляя его в выражение для F{p), получаем:

F (р) = \ѴЯ (р) Г ф (р) W0 (р) Ф(р)Н(р)[0-'(р)-\}. (4-13)

Для дальнейших преобразовании изменим порядок операций интегрирования и определения математическо­ го ожидания в (4-14) и рассмотрим выражение

/ = M{[Q.V(/, у + л) +Q„(t, у+гі)]Х

Осуществляя умножение под знаком математического ожидания и учитывая, что автокорреляционная и взаим­ ная корреляционная функции равны:

Кпп (т) =M[n(l )n(t +т)];

Кп т СО =M[n(t) т (/+т)],

представим (4-15) в виде

І = Кхх(у + г[, а+ е) +Кхѵ(-Y + Л. а + е) +

+Дд:у(а+8 , Y + T])+/Cra('Y + i], а + е).

Всилу независимости случайных сигналов Qx(t) и

Qy(t) корреляционные функции Кху (т) = Кух(х) = 0 . Если

134

положения цифро-аналоговый, то в соответствии с (4-13) необходимо принять

Здесь g~(у) весовая функция системы, обратной по отношению к системе с весовой функцией g(y).

Далее из (3-26) записываем входящее в (4-5) выра­ жение для Si, заменив x(t) на W(t)\

S , = W B (х) % Щ (з) % ^ ( t , *) Г (Л з) -

- 2 ® 3 M * £ ( Y ) > W . W * . Y) +

С учетом этого преобразуем первое слагаемое в (4-5),

135

Определение весовой функции замкнутой оптимальной системы привело к интегральному уравнению (4-'26) типа Винера—Хопфа. Решение этого уравнения в комплексной плоскости дается формулой (3-34). Оно будет осущест­ вляться достаточно просто, если Ф<(р), являющееся изоб­ ражением по Лапласу ср(т), может быть представлено дробно-рациональной функцией. Иначе процесс опреде­ ления [С]+ и [С]- согласно (3-34) может быть настолько сложным, что проще окажется найти приближенное ре­ шение (4-26) во временной области [Л. 23]. Таким обра­ зом, после определения Ф(д) необходимо осуществить

Для определения входящих в (3-34) компонентов осу­ ществим двустороннее преобразование Лапласа левой и

137

Мосле осуществления операций преобразования полу­ чаем:

К(р) =Iww{p) + 4 пгН(р)Н{—р)Ф(р) X

R(p) = W3(p)!ww(p) + 4 л г Н ( р ) Щ- р ) X

X Ф (p) Ф i- р ) Wo (p) W0 ( - P) W* (p) Wb (- p ) X

в случае цифро-аналогового регуляторов положения как функцию неопределенного множителя г. Поэтому далее

—00

в(4-17), после преобразований получаем:

М [і2 (/)] из (4-37) ідш , нетрудно определить значение г,

подстановка которого в принципиальное решение для G(p) завершает поиск оптимальной структуры замкну­ той системы. После определения G(p) передаточная функция регулятора Wp(p) при известной W0(p) нахо­ дится однозначно. Далее согласно последовательности

138

приближенного синтеза, изложенной в § 2 -1 , следует вы­

бор передаточных функций Wa(p), \Ѵл(р) и W$(p). Вы­ бор передаточной функции дискретного фильтра W*^(z), определяющей программу .работы ЦВУ, производится из условия эквивалентности ее передаточной функции W)X(p) непрерывного-фильтра. Методика решения такой задачи приводится в [Л. 1]. Перейдем к рассмотрению примеров синтеза регуляторов.

4-3. СИНТЕЗ ЦИФРОВОГО РЕГУЛЯТОРА ПОЛОЖЕНИЯ

Синтез оптимальной передаточной функции цифро­ вого регулятора производится на основе формул (3-34), (4-32) и (4-33). Передаточная функция замкнутого кон­ тура регулирования скорости, определяющая W0(p) по (4-8), в соответствии с общепринятым подходом (Л. 11] выражается как

где Т — некомпенсированная малая постоянная времени

контура регулирования тока якоря.

В большинстве практических случаев полоса частот помех квантования шире полосы пропускания системы, входом которой является точка приложения помех Rx(t), Ry {t), а выходом — точка формирования сигнала тока якоря двигателя і (t) (рис. 4-1). Передаточная функция этой системы определяется согласно (4-12) соотноше­ нием

где F(p) =Н(р)Ф(р) .

Как отмечалось в § 2-6, при приближенном синтезе

диться в интервале частот от 2nU\/o до 2JT£/2/O (рис. 4-2).

широко применяемому на практике в подобных случаях. Однако при этом после определения окончательных вы­ ражений для Wa(p), И7Ф(р) необходимо осуществить про­ верку справедливости принятого предположения о соог-

139