книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

инструментов, оставшихся к моменту времени t в работоспособном

состоянии.

Статистически интенсивность отказов определяется как отно­

По опытным данным подсчитываются величины X (t) At не­

посредственно по ходу испытаний, не дожидаясь, пока откажут

все инструменты. Однако вследствие того, что X (t) At есть факти­

чески частость, она подвержена большим случайным вариациям, особенно к концу испытаний, когда число оставшихся исправных инструментов невелико. Поэтому для достоверной оценки интен­ сивности отказов необходимо располагать большой группой испы­ таний (порядка сотни).

Казалось бы можно предполагать, что функция X (t) является

для отказов режущего инструмента всегда возрастающей, вслед­ ствие того, что в процессе работы происходит износ (старение) инструмента, т. е. ухудшение его свойств, снижение запаса стой­ кости. Однако, как видно из уравнения (91), экспоненциальное распределение характеризуется постоянством интенсивности от­ казов, равным параметру распределения X. При определенных

условиях отказы режущего инструмента могут следовать экспо­ ненциальному распределению, а следовательно, и иметь в среднем постоянное значение функции отказов.

Гамма-распределение, распределение Вейбулла, нормальное распределение, a -распределение имеют возрастающую интенсив­ ность отказов для определенных численных значений параметров. Интенсивности отказов для нормального распределения и рас­ пределения Вейбулла подсчитываются соответственно по фор­ мулам:

(Г -с )-

80

Интенсивность отказов инструмента при логарифмически нор­ мальном распределении и распределении Бернштейна величин стойкости сначала возрастает, а затем падает до нуля. Однако эти распределения могут адекватно описывать эмпирические дан­ ные отказов режущего ин­ струмента. Это объясняет­ ся не только тем, что опи­ сание отказов производит­ ся в узком интервале вре­ мени. Следует учесть, что стечением времени работы инструмента происходит выбытие худших по каче­ ству инструментов, остают­ ся лучшие, и поэтому ин­ тенсивность отказов мо­ жет с увеличением вре­ мени не увеличиваться,

ауменьшаться. Рассмотрим пример ра­

счета интенсивности от­ казов режущих инстру­ ментов. Рассмотрим функ­ цию нормального распре­ деления стойкости резцов, оснащенных твердым спла­ вом марки Т14К8, испы­ танных в количестве 207

параметрами Т = 65 мин, s = 19 мин.

В табл. 23 дан расчет интенсивности отказов — эмпирических

X* (Т) и выравненных X (Т) (рис. 23). Интенсивность отказов рез-

Таблица 23

О кончат ельная обт очка наруж ной поверхност и Интенсивность от казов (количест во испы т аний т = 207)

Г л а в а ш. Исследование зависимостей на основе

корреляционного анализа

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости

На любой производственный процесс, в том числе на работу режущего инструмента, влияет много факторов (входных перемен­ ных), определяющих конечный результат (выходные переменные). Наблюдая за ходом процесса, можно записать, с одной стороны, параметры этого процесса, и с другой стороны, его результаты. Так, можно записать параметры инструмента и режим его работы, а также выходные переменные — количество деталей, обработан­ ных каждым инструментом до его затупления.

Задача заключается в установлении формы этой связи, с тем чтобы найти значения параметров, обеспечивающие наиболее высокую стойкость. Обычно такие задачи решаются на основе экспериментальных исследований, при которых изменяют только исследуемый фактор. Практически не всегда возможно создать условия, когда все факторы постоянны, изменяется только иссле­ дуемый. Приведем пример. Период стойкости сверла Т зависит от толщины сердцевины сверла К. Но в то же время при одинако­ вых значениях К стойкость разных сверл из одной партии будет

различной. Это объясняется влиянием других случайных факторов, в частности различиями в значениях других параметров сверл (задний угол, ширина ленточки, угол при вершине и др.).

В математическом анализе зависимость между двумя величи­ нами выражается понятием функции у = f (х), где каждому до­

пустимому значению одной переменной соответствует одно и только одно значение другой переменной. Такая зависимость носит на­ звание функциональной; она обнаруживается с помощью строгих логических доказательств и не нуждается в опытной про­ верке.

Между случайными величинами, как правило, может суще­ ствовать лишь связь особого рода, при которой с изменением од­ ной величины меняется распределение другой — такая связь называется стохастической. Изменение случайной величины у,

соответствующее изменению величины х, разбивается при этом на две компоненты: стохастическую (связанную с зависимостью у от х) и случайную (связанную с влиянием «собственных» случай­ ных факторов величин х и у). Если первая компонента отсутствует, то величины у и х независимы. Если же стохастическая компо­ нента не равна нулю, то между у и х есть стохастическая связь.

При этом соотношение между стохастической и случайной ком­ понентами определяет тесноту (силу) связи (понятие, лишенное смысла, для функциональной зависимости). Наконец, отсут­ ствие второй компоненты дает функциональную зависимость. Выявление стохастической связи и оценка ее силы представляют важную и трудную задачу математической статистики.

Статистические зависимости, о которых шла речь, изучаются теорией корреляции, являющейся одним из важных разделов математической статистики. Отыскание формы зависимости яв­ ляется первой основной задачей теории корреляции. Второй задачей является определение тесноты корреляционной связи между рассматриваемыми переменными.

Установление формы связи стойкости с параметрами инструмента на основе парной корреляции

Прямолинейная зависимость. Определим форму связи между стойкостью и отдельными параметрами сверла по результатам производственных испытаний сверл. Для этого отберем партию сверл диаметром 6 мм в количестве 100 шт., заклеймим их поряд­ ковыми номерами и паспортизируем, т. е. измерим значения пара­ метров, которые могут влиять на стойкость сверл (геометрические, конструктивные и физико-механические параметры, как, например, величину заднего угла, толщину сердцевины, твердость и т. п.). Результаты измерений зафиксируем в протоколе против соответ­ ствующего номера сверла. Затем испытаем сверла на конкретной операции сверления. Испытания заключаются в том, что фикси­ руется стойкость каждого сверла, т. е. количество просверленных отверстий до затупления. Результаты испытаний показывают, что сверла имеют самую различную стойкость: от 0,80 до 251,4 мин. Это различие объясняется различными значениями параметров

Рассмотрим, как установить в этих реальных условиях измен­ чивости многих факторов связь одного из них со стойкостью. Так как целью исследования является установление влияния од­ ного из параметров сверла на стойкость, то первый признак счи­ таем аргументом х, а второй — функцией у.

Установим связь между стойкостью и толщиной сердцевины сверла (табл. 24). Видна определенная закономерность: с увели­ чением толщины сердцевины увеличивается средняя стойкость сверл. Представим эту связь графически (рис. 24). Характер расположения точек на графике, соединенных отрезками прямых линий, позволяет считать, что эмпирическая зависимость выра­ жается прямой. При этом предполагается, что для произвольного фиксированного значения х величина у распределена в генераль­

84

Таблица 24

Зависимость стойкости сверл диаметром 6 мм от толщины сердцевины

Соотношение (96) показывает, что случайная величина у (стой­

кость в минутах) в среднем линейно зависит от фиксированного значения х. Значения ро, Pj и о2 — в общем случае неизвестные

параметры генеральной совокупности, которые следует оценить по выборке объема п, состоящей из п пар значений лу, yt (i — 1, 2, . . ., п), представленных на графике (рис. 24) после усреднения

по группам (здесь и далее числами на графиках обозначено коли­ чество испытаний при данном значении х).

Взяв частные производные от левой части выражения (97) по а и b и приравнивая их нулю, получим систему уравнений для опре­

* Это требование не учитывает того, что количества испытаний в группах могут быть различными. Поэтому оценки получаются хотя и несмещенными, но недостаточно эффективными. Для получения более эффективных оценок необ­ ходимо пользоваться «взвешенным» методом наименьших квадратов [28].

86

Коэффициенты b0 и bx могут быть найдены по формулам, выте­

кающим из уравнений (98):

Можно также найти Ь0 и Ьъ решая систему непосредственной

подстановкой в нее данных из табл. 25, в результате чего получаем систему уравнений:

5510,54 = 95Ь0 + 8 5 ,8blt

5127,01 = 85,8Ь0 + 78,05 Ьг.

Решаем систему методом последовательного исключения не­ известных. Для этого делим уравнения на соответствующие коэф­ фициенты при Ъо и вычитаем из одного уравнения другое, получаем

Подставив в это уравнение два любых значения х, получим две

ординаты г/*, по которым проведем прямую на графике (рис. 24). Она ясно показывает, что, несмотря на отдельные отклонения в ходе эмпирической линии регрессии (а если бы нанести на график все фактические экспериментальные точки, а не только их средние групповые, то эти отклонения были бы гораздо больше), четко вы­ рисовывается прямая зависимость стойкости сверл от толщины сердцевины. Многочисленные отклонения отдельных эмпириче­ ских точек от этого закона есть отражение влияния на стой­ кость многих других неучтенных факторов.

Криволинейная зависимость. Расчет параметров криволиней­ ной регрессии производится также на основе способа наименьших квадратов. Например, нужно найти зависимость стойкости сверл диаметром 28 мм от величины заднего угла на основании ре­ зультатов испытаний партии сверл в количестве 45 шт. Составляем по результатам испытаний табл. 25.

Нанесем на график значения х и ух (рис. 25) и построим эмпи­

рическую линию регрессии. Легко видеть, что ее можно аппрокси­

87

мировать квадратической функцией, т. е. параболой второго по­ рядка

Пользуясь методом наименьших квадратов, получают систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров (60, 6г, Ь.2). Вывод опущен, так как он аналогичен предыдущему:

'%У = пЬ0 + Ь1'%х + ЬаS х2;

Данные для решения этой системы берем из табл. 25.

По данным таблицы составляем систему нормальных уравнений:

После деления всех уравнений на коэффициенты при 6„ по­

Вычтем из второго уравнения первое и из третьего — второе, полученные уравнения разделим на коэффициенты при Ь1 и вычтем

Рассмотрим другой пример криволинейной зависимости типа гиперболы —■зависимость стойкости сверл диаметром 8 мм от обратной конусности. На основе результатов испытаний составим

табл. 26. Нанесем на график значения х и ух я получим эмпири­

ческую линию регрессии (рис. 26). По виду этой ломаной линии можно сделать заключение, что ее следует аппроксимировать гиперболой

М\У) = $0 + Ц-, (Ю З)

88

Таблица 25

Расчет зависимости стойкости сверл диаметром 28 мм от заднего угла