книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

Функция распределения

рость износа.

Начальная величина износа h0 является величиной весьма

малой по отношению к конечной величине износа. Еще меньшим является различие между величинами начального износа для различных инструментов из выборки. Исходя из этого, зависимости для различных инструментов данной выборки могут быть пред­ ставлены в виде веера (см. рис. 14) с общим началом в точке (h0, 0),

которая называется полюсом. Такие линейные случайные функ­ ции, имеющие полюс, называются веерными.

60

Математическое ожидание функции (83)

М {Л (0} = hQ+ М \ В } t,

где М {В} — математическое ожидание скорости изменения па­

раметра..

Если отложить по оси ординат величину hk, соответствующую

величине износа, принятой за критерий затупления, то тогда случайное время достижения этого значения hk, т. е. стойкость

При нормальном распределении случайной величины последняя может принимать любые значения от —оо до -foo. Поскольку возможные значения случайной величины скорости износа В

могут быть только положительными и ограничены интервалом (Ьи Ь2), то распределение В будет усеченным нормальным с плот­

ностью

где f (В) — плотность неусеченного распределения; с — норми­

рующий множитель (коэффициент усечения), определяемый из условия, что площадь под кривой распределения равна 1. Таким образом, усеченным нормальным распределением случайной вели­ чины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины.

Итак, усеченное нормальное распределение величины скорости износа будет:

при Ьг < b < Ь2-

Время Т достижения определенной (принятой за критерий

затупления) величины износа режущей кромки инструмента за­ висит согласно формуле (84) от скорости износа В. Распределение величины В известно, оно является усеченно-нормальным (86).

Теперь следует установить, каким будет закон распределения времени Т, т. е. стойкости инструмента. Другими словами, сле­

дует найти распределение функции от случайной переменной. Из математической статистики [14] известно следующее пра­

вило о распределении функции от случайной переменной. Если

61

где В (Т) — функция, обратная ср (В) в нашем случае В (Т) =

-

Поэтому на основе зависимостей (84), (86) и (87) после преоб­ разований получаем: *

где Р — относительный запас стойкости инструмента, имеет раз­ мерность времени; a — относительная средняя скорость износа или коэффициент однородности изменения скорости износа, без­ размерная величина.

Распределение (89) называется альфа-распределением.

вать многочисленные факторы, влияющие на характер распреде­ ления стойкости.

В качестве примера приведем альфа-распределение стойкости сверл 4,2 мм, испытанных в количестве 108 шт. Средняя стой­

кость Т = 107 мин. Параметры распределения а — 0,48; Р =

=100; с = 1,5.

Плотность распределения имеет вид

Подробнее см. работу [34].

62

Стойкость резцов, оснащенных твердым сплавом, также опи­ сывается альфа-распределением. В качестве примера приведем альфа-распределение стойкости резцов, оснащенных твердым спла­

a -распределение как частный случай распределения Бернштейна. При а >> 10 альфа-распределение может быть заменено нор­

мальным.

Анализ реализаций износа

Важнейшими факторами физического содержания процесса, влияющими на закон распределения, являются модели изнашива­

ния. Рассмотрим этот вопрос применительно к режущему инстру­ менту.

Выше рассматривались случайные величины, характерные тем, что в результате опыта они принимали некоторое одно, заранее

63

неизвестное, но единственное значение. Примерами таких случай­ ных величин является период стойкости инструмента, результат измерения какого-либо параметра инструмента, взятого из партии, и т. д. Случайное явление изучалось в статике, в фиксированных условиях отдельного опыта.

На практике часто приходится иметь дело со случайными вели­ чинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Примером такой случайной величины является величина износа режущей кромки инструмента в процессе его работы. Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта', образуют случайные функции. Случайной функцией называется функция, которая

врезультате опыта может принять тот или иной конкретный вид

[14].Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в ре­ зультате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то получим группу или семейство реализаций этой функции.

Встречающиеся на практике реализации процессов износа режущего инструмента близки к линейным: скорость износа каждого инструмента в основном постоянна, а для любого взятого инструмента скорость износа случайна — для каждого инстру­ мента своя. Для описания процессов износа инструмента поэтому целесообразно применить линейные случайные процессы, все реализации которых являются прямыми линиями. Линейные случайные процессы являются весьма удобной моделью процес­ сов износа инструмента, близки к действительным процессам из­ носа; очень просто описывают основные особенности процесса износа; требуют минимального количества экспериментальных данных для вычисления характеристик случайного процесса; дают возможность наиболее просто исследовать надежность эле­ ментов при их износе.

Рассмотрим подробнее вопрос о характере реализаций износа режущего инструмента. Анализ реализаций износа с позиций вероятностного характера процесса позволяет получить более полную качественную и количественную характеристику процесса износа инструмента. Характер реализаций износа режущего инструмента отражает физические закономерности процесса из­ носа и, следовательно, связан с характером распределения стой­ кости. Анализ многочисленных реализаций износа различных видов режущего инструмента из разных инструментальных мате­ риалов позволяет установить некоторые основные положения и закономерности в поведении реализаций износа режущего инстру­ мента. По внешнему виду реализаций износа можно делать предва­ рительные заключения о приемлемости того или иного теорети­ ческого распределения для описания данного конкретного эмпи­

рического материала.

Рассмотрим типичные примеры реализаций износа инструмента. На рис. 17 показаны реализации износа метчиков М12 со шли­ фованным профилем резьбы, изготовленных из стали Х6ВФ с раз­

64

личной твердостью: HRC 54—55; HRC 57—58 и HRC 60—62.

Скорость резания 2,07 м/мин, длина нарезаемого отверстия 14,5 мм, обрабатываемый материал—сталь 45. По мере увеличе­ ния твердости не только повышалась стойкость метчиков, но и менялся характер реализаций — от типичной веерной до полного

переплетения.

На рис. 18 представлены реализации износа проходных рез­ цов, оснащенных сплавом Т14К8 при обработке стали ШХ15

(случайная выборка 6 реализаций из 50 испытаний). Характерным является отсутствие заметного участка приработки и участка ускоренного износа за пределами критерия hk — 0,6 мм. Среднее

значение скорости износа является постоянной, реализации могут быть аппроксимированы прямой линией. Имеет место пере­ мешивание реализаций.

Статистический анализ реализаций износа. Реализации износа инструмента зависят от начального качества и от случайных ва­ риаций скорости износа. Для оценки превалирующего фактора недостаточно анализировать реализации износа по виду их гра­ фиков, а следует пользоваться объективными методами.

Рассмотрим анализ реализаций износа сверл 8 мм из быстроре­ жущей стали Р9К.5. В табл. 13 приведены данные приращений из­ носа, которые измерялись через каждые 100 шт. просверленных отверстий (14 мин работы) до 84 мин работы, т. е. число интервалов

2. Вычисляем общую среднюю величину приращения износа Ш

Рис, 18. Реализации износа проходных резцов из сплава Т14К8:

1—6— данные для шести инструментов (и = 136 м/мин: t = 0,5 мм;

s— 0,4 мм/об)

3.Вычисляется дисперсия s- величин бМ°, их сумма и средн

66

Таблица 14

Анализ реализаций износа сверл 0 8 мм

4. Теперь можно установить, противоречат ли данные испыт ний предположению об однородности начального качества объ­ ектов.

Для этого надо убедиться, что между величинами s2, s£..........s2

и между величинами 6/i(1>, б/г(2>, . . ., <5/г("> нет существенной раз­ ницы. Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий применим

опытные данные не противоречат гипотезе о равенстве дисперсий.

По таблице работы [11] находим Fq — 2,2. Так как F <i Fq,

то гипотеза о равенстве средних принимается.

68

6.Так как опытные данные не противоречат предположени

hk — 0,5 мм (предельно допустимый уровень износа)

Параметры гамма-распределения могут быть определены, на основе данных испытаний по стойкости:

Расчет критерия %2 согласия эмпирических данных с гамма распределением дает %2 = 1,79; Р (х2) = 0,41.

7. Можно считать, что распределение нормально, если

г/к

: 3,5.

V~rfk

В нашем случае

Следовательно, распределение стойкости сверл 0 8 мм можно считать нормальным.

Рассчитаем параметры нормального распределения, исходя из полученных анализом реализаций результатов.

=s = 16.3 шш-

Значения_Т и s, вычисленные по результатам стойкостных испытаний, Т — 55 мин; s = 14 мин.

Расчет критерия согласия х2 дает х2 = 0,49; Р (х2) = 0,78.

Проверка стационарности экспериментальных данных потока отказов инструмента [19]. Поток отказов является стационар­ ным, если закон распределения группы случайных величин К (ti), К (tz), . . ., К (tn) совпадает с законом распределения случайных

69