книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента
.pdfРассчитываем критерий согласия %2 = 3,51 (табл. 8), Р (%2) =
= 0,48 (рис. 11).
Рассчитаем вероятность безотказной работы за период средней стойкости. Для облегчения расчетов можно воспользоваться гра фиком (рис. 12). По вертикальной оси отложена вероятность без отказной работы в течение времени Т :
Р (i > Т) = I — F (Т),
126 236 368 шт
Количество обработанных колец
а) |
S) |
Рис. 11. Гамма-распределение стойкости резцов:
а —чистовая обточка кольца подшипника при v = /35 м/мин\ б — предварительная обточка
по горизонтальной оси — величина XT. Каждая кривая номо
граммы соответствует своему значению г. В нашем случае XT = = 0,05-2,45 = 12,25, г* = г — 1 = 10,7.
Находим на горизонтальной |
оси |
XT — 12,25. Из этой точки |
|
проводим вертикальную линию |
до |
пересечения |
с линией г* = |
= 10,7 (находим линейной интерполяцией между |
10 и 11). Точку |
||
пересечения сносим на вертикальную шкалу и находим значение
Р (Т) = 0,45. Ясно, что при такой низкой вероятности нельзя
рассчитывать на безотказную работу и, следовательно, средняя стойкость не может быть принята за основу расчета режимов работы.
Решим обратную задачу, а именно найдем значение времени безотказной работы с вероятностью 0,95. От точки 0,95 на
50
Таблица 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет, |
распределения и кр и т ер и я |
%2 д л я ст ойкост и резцов н а |
операции |
окончат ельная обт очка |
|
|||||||
■ 0 = 135 м /м и н (гамма-распределение) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Середина |
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий |
%- |
|
|
|
|
|
|
|
1-Я(Г)= |
|
|
|
|
|
|
Интер |
интерва |
Частота |
Частость |
F (Т ) |
хт |
R (т) |
Рс (Г) |
|
|
|
|
|
валы |
ла Т |
ш, |
= F (T ) |
|
|
|
|
|||||
|
(шт. |
|
|
|
|
|
|
|
( т , |
— тг) ( т , — т 2)2 ( т , |
— т 2)2 |
|
|
колец) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/712 |
68—124 |
96 |
2 |
2 |
0,03 |
4,8 |
0,99 |
0,01 |
0,01 |
0,7 |
1,3 |
1,69 |
2,41 |
124—180 |
152 |
7 |
9 |
0,13 |
7,6 |
0,90 |
0,10 |
0,09 |
6,1 |
0,9 |
0,81 |
0,13 |
180—236 |
208 |
24 |
33 |
0,48 |
10,4 |
0,57 |
0,43 |
0,33 |
22,4 |
1,6 |
2,56 |
0,11 |
236—292 |
264 |
21 |
54 |
0,79 |
13,2 |
0,27 |
0,73 |
0,30 |
20,4 |
0,6 |
0,36 |
0,01 |
292—348 |
■ 320 |
9 |
63 |
0,93 |
16,0 |
0,10 |
0,90 |
0,17 |
11,5 |
2,5 |
6,25 |
0,54 |
348—404 |
376 |
3 |
66 |
0,97 |
18,8 |
0,05 |
0,95 |
0,05 |
3,4 |
0,4 |
0,16 |
0,05 |
404—460 |
432 |
2 |
68 |
1,00 |
21,6 |
0,01 |
0,99 |
0,04 |
1,4 |
0,6 |
0,36 |
0,26 |
х2= £ = 3,51
Рис. 12. Номограмма для определения вероятности безотказной работы по гамма-распределению
вертикальной оси ведем линию до пересечения с кривой г* — 10,7.
Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на горизонталь
ную шкалу и находим значение %Т — 6. Так как А, = 0,05, то сле
довательно,
То,95 = Vs5"= 120 мин-
Логарифмическое нормальное распределение. Плотность ве роятности этого распределения [191 имеет вид
|
|
|
, |
[In Т—М ( | п г } р |
|
|
f(T) = ----- |
2а2 |
|
(66) |
|||
' |
v ' |
|
Та Y 2я |
|
|
|
Если имеются |
результаты |
стойкостных |
испытаний |
Т 1( |
||
TN, то находим величины щ = |
In 7\, их среднее и и дисперсию su |
|||||
по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
£ |
: |
u l |
N |
_ |
|
и |
; |
4 = |
N — 1 L ( « i — ы)2- |
(67) |
||
|
N |
|||||
Параметры распределения будут и и 4 -
В качестве примера логарифмически нормального распределе ния стойкости рассмотрим распределение стойкости сверл 0 5 мм с утолщенной сердцевиной по результатам производственных испы таний. Испытания сверл в количестве 33 шт. проводили на авто заводе им. Лихачева. Обрабатывали детали из стали 40Х, скорость
резания 16,3 м/мин, подача 0,095 мм/об, |
охлаждение — эмульсия. |
Определяем параметры распределения: |
3 |
и = |
£ |
“г |
£ |
n-kU |
|
N |
~~м |
1,53; |
|||
|
|
||||
s = К |
^ |
г £ |
К - « ) 2 = о.27. |
||
Плотность вероятности |
запишется |
в виде |
|||
|
|
0,4343 |
|
(lgr-1,53)» |
|
ПТ) = |
|
|
0,27= |
||
Т-0,27 V2я |
|
|
|||
Функция распределения |
будет |
|
|
|
|
E ( D |
^ o ( i g-£ y2j-5 3 ) , |
||||
Критерий согласия |
|
%2 == 5,0; |
|
Р (%2) = 0,47. Рассчитаем |
|
надежность сверл, т. е. время безотказной работы с вероятностью
р = 0,9.
Р {Г} = 1 - F (Т) = Ф { -1 ■530~ lg Т ] = 0,9.
53
По таблице функции Лапласа находим, что Ф (х) = |
0,9 |
при х = |
||||||||
= 1,28. |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,53 — lg Г |
1,28; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,27 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lg 7"о,9 = |
— 1,28-0,27 -f- 1,58 = |
1,18, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
тогда |
Го,в = |
15,2 |
мин. |
||||
|
|
|
|
Для |
расчета |
надежно |
||||
|
|
|
сти |
используем |
формулу |
|||||
|
|
|
|
1? Тр = и — upsu, |
||||||
|
|
|
где |
ир = |
1,282 |
для |
р = |
|||
|
|
|
= 0,9. |
|
|
|
|
|
нор |
|
|
|
|
|
Логарифмический |
||||||
|
|
|
мальный закон может быть |
|||||||
|
|
|
применен как |
в |
системе |
|||||
|
|
|
натуральных, |
так и деся |
||||||
|
|
|
тичных логарифмов. |
Связь |
||||||
|
|
|
между |
|
параметрами |
рас |
||||
|
|
|
пределений |
при |
десятич |
|||||
|
|
|
ных и |
натуральных |
лога |
|||||
Щ |
|
|
рифмах |
имеет |
следующий |
|||||
и>56 |
|
вид: |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 13. Вероятностная сетка логарифми |
Т2 = ТгА; |
СГ2 = сГ]/4, |
ческого нормального распределения (стойкость |
где индекс 1 |
относится к |
сверл диаметром 5 мм с утолщенной серд |
||
цевиной) |
натуральным |
логарифмам, |
|
А = 0,4343. |
Произведем |
расчет 'распределения стойкости той же партии сверл в нату ральных логарифмах. Для этого воспользуемся вероятностной бумагой логарифмического распределения (рис. 13). Отклады ваем по оси ординат частости, а по оси абсцисс — In стойкости.
Через полученные точки проводим прямую линию. Параметр и
равен абсциссе, соответствующей накопленной частости 0,50, параметр s„ равен разности абсцисс точек с накопленными частостями 0,50 и 0,159 (значения снимаются со шкалы In t). В зависимости от необходимости значения шкалы In t могут из
меняться прибавлением некоторой величины / с нужным знаком. При этом шкалу абсолютных значений стойкости следует умножить
на е>. В нашем случае получаем |
значения параметров и — 3,56 |
и s = 0,64. Тогда |
|
1 |
(In Г - 3 ,66) = |
2-0,64= |
|
Н Т)= Т /2 л 0 ,6 4 |
|
54
Расчет критерия согласия дает %2 = 4,78 и значение р (%2) = 0,19. Стойкость с вероятностью р = 0,9 будет
In То,9 = |
и — « o,9Su = 3,56— 1,28 • 0,64 = 2,74, |
|
откуда Тол = |
15,6 |
мин. |
Отношение |
параметров распределения при десятичных и на |
|
туральных логарифмах в нашем случае совпадает, с некоторым приближением, со значением А = 0,4343. Действительно,
|
|
Ое = |
|
1,53 |
0,43; |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,56 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Ты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s»ig |
|
0,27 |
= 0,43. |
|
|
|
|
|
|
|
su In |
: |
0,64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение |
Бернштейна. |
|
|
|
|
|||||
Практически |
|
начальное |
каче |
|
|
|
|
|||
ство |
инструмента |
не является |
|
|
|
|
||||
одинаковым для всех экземпля |
|
|
|
|
||||||
ров |
в |
партии, в то же |
время |
|
|
|
|
|||
(особенно при |
лабораторных |
|
|
|
|
|||||
испытаниях на стойкость) усло |
|
|
|
|
||||||
вия |
работы |
|
инструмента |
при |
Рис. |
14. |
Реализация |
линейного про |
||
мерно |
идентичны |
и постоянны. |
|
|
цесса износа: |
|||||
Рассмотрим простейший ли |
/ — экспериментальная; 2 — выравненная |
|||||||||
нейный процесс износа, реали |
|
|
|
|
||||||
зации |
которого имеют вид прямых |
(рис. |
14). В |
общем случае |
||||||
такой процесс может быть представлен аналитически ввиде’т) (t)=
= at |
-f |
р, |
где а и р — независимые случайные величины.’ Вели |
||||||||
чина |
р |
есть начальное |
значение износа р = т] (0), |
величина |
|||||||
а — скорость износа. Случайные вариации а отражают |
различие |
||||||||||
исходных |
свойств объекта, обеспечивающих различные скорости |
||||||||||
износа. |
Если полагать, что значения а и р |
распределены |
нор |
||||||||
мально, |
то |
окажется, что |
г) (t) имеет |
нормальное распределение |
|||||||
с параметрами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ЛТ(т](9} = |
ЛГ{а}* + |
ЛГ{Р}, |
|
|
(68) |
||
|
|
|
|
Я{т|(0} = |
* * £ { « } + D{p}, |
' |
|
(69) |
|||
Если |
hk — предельно допустимый |
уровень |
износа, |
то из |
ра |
||||||
венства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P [ t > T \ = |
p[aT + |
$ ^ h k\ |
|
|
(70) |
||
и нормальности |
т) (t) следует, |
что |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Л* — Af (Р) |
п |
|
|
|
Р { / < 7 ’} = |
1—Р ( г > Г } = Ф |
|
|
М (а) |
|
(71) |
||||
|
|
Р{а) Га + Д (РТ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
V - |
М3 {a} |
J |
|
||
55
Полученное распределение времени т носит название диспер сионного распределения Бернштейна [19 J. От нормального оно отличается тем, что D зависит от Т. Распределение содержит
три параметра:
. Д(а) . |
г |
hk- M m |
(72) |
|
уИа (а) ’ |
М2 {а) ’ |
М {а} |
||
|
После подстановки выражений (72) в формулу (71) распределе ние принимает вид
F(T) |
Ф ~ Т — с |
- |
(73) |
|
. V аТ - + |
b |
|
Вероятность безотказной работы в течение времени Т опреде
ляется по формуле
Р (f > Т\ = 1 — F (Т) = 1 — Ф ' Т — с |
| |
(74) |
_ V а Т “+ |
b |
|
Оценка параметров распределения (73) по данным о времени безотказной работы. Начальную величину износа инструмента можно в ряде случаев принять за постоянную величину, т. е.
Р = Ро — const. Тогда D (Р) = 0.
Следовательно,
|
|
F (Т) = Ф |
|
|
|
|
(75) |
||
Порядок оценки |
параметров |
будет |
при |
этом |
следующий. |
||||
1. |
Данные о |
стойкости |
инструмента |
t x, |
. . ., |
tN |
разбива |
||
выбранными числами |
Т х, Т 2 |
на две группы |
(0, |
Т х) |
и (0, |
Т 2) и |
|||
подсчитывают значения v (7\) |
и v (Т2) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Д Д ) |
|
m (Tj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где j — 1,2; N — общее число данных.
2.По таблице обратной функции Лапласа находят величины
/= 1, 2.
3.Параметры с и а определяют по формулам
С — Т\Т2('Фа — ’Фх) |
(76) |
Т2^2-- ТlTl |
’ |
т2-П
(77)
Т А — Т А ‘
Рассмотрим распределение Бернштейна для стойкости сверл диаметром 10,5 мм в количестве 45 шт.
56
1.Разбиваем результаты испытаний на две группы со сто
костью от 0 до 64 |
мин (п1 = 7) и со |
стойкостью |
от 0 до Т %= |
|||||||
= 104 |
мин (п2 — 31). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (Тд = |
|
- |
= 0,156; |
% (0,156) = - |
1,02, |
||||
|
v'(T2) = ^ |
|
= |
0,689; |
% (0,689) = |
0,49. |
||||
2. |
Определяем параметры уравнения (73) по формулам (76), (77) |
|||||||||
|
; |
_ |
64-104 (6,49 + |
1,02) _ |
|
|
||||
|
|
|
104.0,49 + 64-1,02 |
|
' |
’ |
|
|||
|
|
|
|
104 — 64 |
|
= 0,34. |
|
|||
|
|
|
104-0,49 + 64-1,02 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Запишем функцию |
распределения |
стойкости |
|||||||
|
|
f <7,> = ® (J w -)■ |
|
|
||||||
4. |
Рассчитаем |
критерий согласия |
%2 |
|
|
|||||
|
|
X2 - |
5,74; |
р (х2) |
= |
0,13. |
|
|
||
5. |
Найдем стойкость |
с вероятностью |
р = |
0,9 |
|
|||||
|
|
°-9 = 1- ф ( т # 1 )- |
|
|
||||||
|
7 0 3^ . ’4 |
= |
— 1,282; |
Го,9 = 60 |
мин. |
|||||
Оценка параметров распределения (73) по реализациям износа. На основе испытаний инструмента строятся реализации износа, примерный вид одной из которых представлен на рис. 14. Для оценки параметров распределения величин а и {3 и определения вероятности безотказной работы в течение времени Т при заданном предельном уровне износа hk проделываем следующие операции.
1. Каждую из N реализаций заменяют прямой, которую про
водят на глаз, или по методу наименьших квадратов.
2.Для каждой реализации находят значение а, тангенса ее угла наклона и ординату пересечения с осью ординат р£.
3.Вычисляют
N
Е « ‘- |
|
N |
|
м {«1 =- ‘'=1 |
> |
= i v z r r . £ > i - M M ) 2; |
(78) |
N |
|
||
N |
|
/=1 |
|
|
|
|
|
Е й |
|
N |
|
i=i |
я |
IP} = ^ t . E ( P i- - m (P))2. |
(79) |
|
57
Таблица 10 |
|
|
|
Вы равнивание по распределению |
Бернш т ейна |
стойкост и сверл |
|
диам ет ром 10,5 м м при Л* = 0,5 |
м м |
|
|
(метод реализаций |
износа) |
|
|
|
Начальный износ |
Стойкость Т |
Скорость износа |
№ сверл |
(при износе |
|
|
h0 за время |
|
||
|
t 0 = 9 мин |
hf{ — 0,5 мм) |
Т - 1 о |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
0,10 |
117,0 |
0,0037 |
2 |
0,07 |
126,0 |
0,0037 |
3 |
0,07 |
93,6 |
0,0051 |
25 ’ |
0,07 |
99,0 |
0,0048 |
26 |
0,05 |
93,6 |
0,0053 |
27 |
0,05 |
118,8 |
0,0041 |
43 |
0,10 |
77,4 |
0,0058 |
44 |
0,05 |
126,0 |
0,0038 |
45 |
0,08 |
77,4 |
0,0061 |
/l0 = |
0,08 |
|
В = 0,0054 |
Таблица 11 |
|
|
Таблица 12 |
|
|
||
Расчет |
дисперсии |
скорост и |
Расчет дисперсии начального |
||||
износа |
В (сверла 0 |
10,5 |
мм) |
износа Л0 (сверла 0 |
10,5 мм) |
||
№ |
(X. — X) |
|
( дг. - * ) 2 |
ЛГ5 |
|
|
|
по пор. |
|
по пор. |
( х . - х ) 1 |
( X t - X ) ! |
|||
1 |
0,0017 |
|
0,00000289 |
1 |
|
0,02 |
0,0004 |
2 |
0,0017 |
|
0,00000289 |
2 |
|
0,01 |
0,0001 |
3 |
0,0003 |
|
0,00000009 |
3 |
|
0,01 |
0,0001 |
25 |
0,0006 |
|
0, 00000036. |
25 |
|
0,01 |
0,0001 |
26 |
0,0001 |
|
0,00000001 |
26 |
|
0,03 |
0,0009 |
27 |
0,0013 |
|
0,00000169 |
27 |
|
0,03 |
0,0009 |
43 |
0,0004 |
|
0,00000016 |
43 |
' |
0,02 |
0,0004 |
44 |
0,0016 |
|
0,00000256 |
44 |
|
0,03 |
0,0009 |
45 |
0,0007 |
|
0,00000049 |
45 |
|
0,00 |
0,0000 |
|
|
= |
0,00015309 |
|
|
|
I j = 0,0494 |
|
|
s~ = |
0,0000035 |
|
S2 |
0,0494 |
0,00112 |
|
|
|
44 |
||||
|
|
|
|
|
_ |
~ |
|
58
4. По формулам (72) находим параметры а, Ь, с.
5. Вероятность безотказной работы в течение времени Т
определяют по формуле (74).
Оценка надежности по реализациям износа является, как правило, статистически более точной, чем по значениям стойкости.
Применительно к распределению стойкости режущего инстру мента рекомендуемая выше методика изменена следующим обра зом. За величину начального износа принята случайная вели чина hQ, достигнутая за время t0 = 9 мин, что соответствует
50 просверленным отверстиям. Этот период соответствует, при мерно, периоду ускоренного износа (приработки) сверла. За кри терий износа, как и ранее, принята величина hk = 0,5 мм. Период работы Т о до этого критерия является стойкостью. Затем вычи сляется скорость износа В для каждого испытания по формуле
hk—Л0 |
(80) |
T - t о |
|
Исходные данные и результаты расчетов по формуле (80) сводятся в табл. 10. Далее производится расчет математического ожидания и дисперсии для скорости износа и величины начального износа. Расчеты сведены в табл. 11 и 12.
N
2 в‘-
м \ в \ = ^ г -
D [ B ) = 1^ T {Bi - M { B ) ) \
2
M{ho} = ± ± ~ ; ■
D\ho} = -дГ=Т J j Vht— M{/г0})2.
Расчеты дали следующие значения (табл. 10, 11, 12)
М (В) = 0,0054; D {5} = 0,0000035;
М (1г0) = 0,08; 5 (5} = 0,00112.
Находим параметры распределения по формулам (72)
D {5} |
0,0000035 |
„ )Г> |
- № { В ) ~ |
°-00542 |
|
b |
D (/г0) = |
0,00112 _ |
|
Л43 {В} |
0.00542 |
||
|
|||
с = hk- M { h 0} |
0,5 — 0,08 |
||
|
|
77,7. |
|
М (В) 0,0054
(81)
(82)
59