книги из ГПНТБ / Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента

отказов весьма мала. Рассмотрим некоторые из примеров нор­ мального распределения стойкости.

Распределение стойкости зенкеров. Обработаны результаты испытаний зенкеров диаметром' 4 Г,35 мм, оснащенных пластин­ ками твердого сплава Т5К10; испытания проводили в производ­ ственных условиях. Всего испытан 41 зенкер. Режимы и условия испытаний: обрабатываемый материал сталь 20X, охлаждение — эмульсия. Скорость резания 70 м/мин, подача 0,9 мм/об, глубина отверстия 180 мм. Статистические характеристики результатов

При этом можно иметь только набор значений самой случайной величины (для испытаний на надежность это — значения моментов отказов всех деталей) или иметь только значения функции рас­ пределения случайной величины (для испытаний на надежность это—значение того, сколько деталей отказало к определенным моментам времени). Близость опытных данных к прямой свиде­ тельствует о их согласии с данным законом распределения, для которого построена вероятностная сетка.

Практическое использование вероятностной сетки происходит следующим образом (рис. 4). Опытные данные наносят на вероят­

ностную сетку в координатах IF (t), t]. Для этого опытные данные

располагаем в ранжированный ряд (по возрастанию стойкости). Подсчитываем эмпирические значения функции распределения случайной величины Т времени работы до отказа по формуле

где tt — момент отказа инструмента; i — порядковый номер испытания; N — общее число испытаний.

* Сетка с функциональными шкалами, на которой функция распределения изображается прямой линией

30

Эта оценка смещена и поэтому, когда i близко к N, при при­

менении вероятностной сетки лучше использовать формулы

* - У .

N

Через нанесенные точки проводим прямую (на глаз, или ме­ тодом наименьших квадратов). Среднее значение (параметр х

Рис. ■#.$! Вероятностная сетка нормального распределения (стойкость зенкеров диаметром 41,35 мм)

распределения) равно абсциссе, соответствующей накопленной частости 0,50, а параметр s равен разности абсцисс точек с накоп­

ленными частостями 0,50 и 0,159.

Для проверки соответствия этого теоретического распределе­ ния эмпирическим данным воспользуемся критерием %2. Схема применения критерия %2 к оценке согласия теоретического и эмпи­ рического распределений сводится к следующему.

1. Определяется мера расхождения %2 по формуле

к —m2)2

(44)

i«=l

где т 1г т2— соответственно эмпирические и теоретические ча­ стоты; k — число разрядов интервалов разбиения совокупности.

32

2. Определяется число степеней свободы / как число разря­

распределения %2 определяется вероятность Р того, что вели­

вероятность получения значений х2 больших, чем 3,05, и, сле­ довательно, гипотеза о соответствии эмпирического распределе­ ния нормальному подтверждается. Так как 0,56 > 0 ,1 , то, сле­ довательно, нормальное распределение не противоречит опыт­ ным данным и нулевая гипотеза подтверждается. На рис. 5 по­ казаны эмпирические и теоретические графики распределений стойкости зенкеров.

Критерий W согласия распределения [53]. Критерий W яв­ ляется более мощным критерием, чем х2. когда имеются ограни­

ченные данные и может применяться для нормального, логариф­ мически нормального и экспоненциального распределений.

Проверим noW -критерию гипотезу о нормальном распределе­

Таблица 4

З н а чен и я ст ойкост и м ет чиков М12 х 1,75

2 = 907 £ = 105 427

5. Сравниваем вычисленное значение W с значением из таб­ лицы распределения этого критерия (см. табл. XI в [53]). Эта таблица дает минимальные значения W, которые получили бы для вероятностей 1, 2, 5, 10 и 50% при различных значениях /г, если бы данные действительно имели нормальное распределение. Таким образом, малые значения W указывают на отсутствие нормальности.

Вычисленное значение (0,942) превышает табличное 50%-ное значение WKP = 0,938, полученное для п = 10. Следовательно,

гипотеза о нормальном распределении подтверждается.

6. Можно провести следующую, (необязательную) проверку. Приближенную вероятность получения вычисленного значения

3 4

= 60 — 36,29 = 23,71 мин.

Аналогично найдем, что время безотказной работы с вероят­ ностью 0,95 будет равно 13,5 мин. Для удобства расчета и анализа надежности инструмента выведем более простую формулу. Как следует из формулы (37) и приведенного выше примера расчета надежности, время Тр безотказной работы с вероятностью р

при нормальном распределении будет

где ир определяется для вероятности Р по табл, в работе [11]

функции нормального распределения и называется его квантилью

Отсюда следует, что' при нормальном законе распределения вероятность достижения средней стойкости равна 0,5.

Зависимость (46) можно представить в виде

где v — коэффициент вариации стойкости.

Отсюда следует, что

Понятно, что даже при значительной вариации стойкость не может быть равна 0 или принимать отрицательное значение. Полученный результат объясняется тем, что при значении ва­ риации более некоторой величины vk случайная величина не будет

нормально распределенной. Нормальное распределение дает при­ ближенное (асимптотическое) описание распределения времени Т.

При небольших значениях вариации вероятность отрицательного значения Т, т. е. вероятность р \Т < 0 ] , заданная как

о

Р { Т ^ 0 } = \ f ( t ) d t ,

36

окажется ничтожно малой величиной и практически не будет влиять на точность расчетов надежности объектов. Если вероят­ ность Р [Т < 0 } оказывается ощутимо большой величиной, то

это означает, что для описания распределения стойкости нельзя использовать нормальное распределение. В этом случае следует подобрать другой закон, например, закон Вейбулла-Гнеденко. Весьма часто ^'нормальным распределением удовлетворительно описывается стойкость резцов, оснащенных твердым сплавом.

Рис. 6. Эмпирическое и теоретическое нормальное рас­ пределения стойкости резцов на операции окончатель­ ной обточки наружного диаметра при v = 105 м/мин

Рассмотрим распределение стойкости резцов на операции окончательной обточки наружного диаметра кольца подшипника. Обрабатываемый материал =—сталь ШХ15, резцы оснащены спла­ вом Т14К8, скорость резания 105 м/мин, 0,4 мм/об; глубина реза­ ния t = 0,5 мм, количество испытаний 56.

Параметры нормального распределения Т = 67 мин; s =

= 19,5 мин; v = -L- = 0,3.

т

Вероятность р (%2) = р (2,48) = 0,65. Значение стойкости с ве­ роятностью р = 0,9

Т’о.в = Т — н0,„s = 67 — (1,28 • 19,5) - 42 мин.

На рис. 6 приведены графики эмпирических и теоретических функций нормального распределения и частостей для данных резцов. Испытаны 10 шт. сверл диаметром 8,2 мм Оренбургского завода сверл (табл. 5). Условия испытаний: скорость резания 35,2 м/мин, подача 0,22 мм/об, обрабатываемый материал—сталь 45, НВ 196, охлаждение — эмульсия.

37

Небольшое число испытаний не позволяет оценивать согласие эмпирического и теоретического нормального распределений по критерию х2- С помощью вероятностной сетки (рис. 7) можно убедиться в том, что выравнивание стойкости сверл по нормаль­ ному закону правомерно.

Оценим надежность сверл

Т0Л = Т — ups — 34 — 1,28-10 — 21,2 мин, 7"*о,95 = Т — ups = 34 — 1,64-10 = 17,6 мин.

Экспоненциальное распределение.

Это распределение [19] характеризует процессы, в которых отказ элемента наступает внезапно, т. е. независимо от того, сколько времени он до этого находился в эксплуатации и каково его состояние. Другими словами, это распределение является следствием предположения, что относительная скорость умень­ шения вероятности безотказной работы с увеличением заданного времени работы является постоянной величиной:

dP (()

Допущение о том, что интенсивность отказов постоянна, ана­ логично предположению о неизменности физико-химических свойств материалов. В действительности все технические устрой­ ства изнашиваются и стареют. Поэтому показательное распреде­ ление времени безотказной работы является весьма грубым при­ ближением к действительности. Примером отказов, подчиня­ ющихся экспоненциальному распределению, являются прокол шины автомобиля, аварии в электросети, отказы некоторых эле­ ментов радиоэлектронных устройств. В режущем инструменте моделью таких отказов могут быть поломки мелкоразмерного

38

инструмента (например, сверл нулевок) при низком качестве, технологических дефектах изготовления, неблагоприятных усло­ виях эксплуатации (неопытный оператор, ручная подача, плохое техническое состояние станка, дефекты материала заготовок).

Хорошие по качеству инструменты, если оншработают в усло­ виях предельных динамических, температурных нагрузок, могут

Следовательно, X есть величина, обратная среднему времени

безотказной работы (интенсивность отказов). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т, удовлетворяющей

уравнению (48), находятся по формулам:

(51)

(52)

39